江苏高考数学立体几何真题汇编Word下载.docx

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C

D

E

F

C₁

B₁

A₁

（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C

（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，

因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC

（2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，

又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D，

又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C⊂平面BB1C1C

故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，

故平面A1FD⊥平面BB1C1C

（2010年第16题）

如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，

∠BCD＝90°

．

（1）求证：

PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离．

（1）因为PD⊥平面ABCD，

BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．

由∠BCD＝90°

，得CD⊥BC，

又PD∩DC＝D，PD、DC⊂平面PCD，

所以BC⊥平面PCD．

因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．

解：

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．

由

（1）知：

BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．

易知DF＝

，故点A到平面PBC的距离等于

（方法二）等体积法：

连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．

因为AB∥DC，∠BCD＝90°

，所以∠ABC＝90°

从而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．

由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P—ABC的体积V＝

S△ABC×

PD＝

因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．

又PD＝DC＝1，所以PC＝

＝

由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝

由VA——PBC＝VP——ABC，

S△PBC×

h＝V＝

，得h＝

，

故点A到平面PBC的距离等于

（2011年第16题）

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°

E、F分别是AP、AD的中点

（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

（1）在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴BC∥AB，

又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD

（2）连接BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°

，∴△PAD为正三角形

∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴BF⊥平面PAD

又∵BF⊂平面BEF，

∴平面BEF⊥平面PAD

（2012年第16题）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE．

（1）∵是ABC－A1B1C1直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC

又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD

又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面ADE，CC1∩DE＝E

∴平面ADE⊥平面BCC1B1

（2）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1

∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1

∴CC1⊥A1F

又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1

∴A1F⊥平面BCC1B1，

由

（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD

又∵AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

∴A1F∥平面ADE

（2013年第16题）

如图，在三棱锥S－ABC中，平面平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AB＝AS，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E,G分别是棱SA,SC的中点．

（1）平面EFG∥平面ABC；

（2）BC⊥SA．

证：

（1）∵SA＝AB且AF⊥SB，

∴F为SB的中点．

又∵E，G分别为SA，SC的中点，

∴EF∥AB，EG∥AC．

又∵AB∩AC＝A，AB

面SBC，AC⊂面ABC，

∴平面EFG∥平面ABC．

（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，

AF⊂平面ASB，AF⊥SB．

∴AF⊥平面SBC．

又∵BC⊂平面SBC，

∴AF⊥BC．

又∵AB⊥BC，AF∩AB＝A，

∴BC⊥平面SAB．

又∵SA⊂平面SAB，

∴BC⊥SA．

（2014年第16题）

如图，在三棱锥P－ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点．

已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC．

（1）∵D,E为PC,AC中点

∴DE∥PA

∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF

∴PA∥平面DEF

（2）∵D,E为PC,AC中点

∴DE＝

＝3

∵E,F为AC,AB中点

∴EF＝

＝4

∴DE2＋EF2＝DF2∴∠DEF＝90°

，∴DE⊥EF

∵DE∥PA，PA⊥AC

∴DE⊥AC

∵AC∩EF＝E

∴DE⊥平面ABC

∵DE⊂平面BDE，

∴平面BDE⊥平面ABC．

（2015年第16题）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，

B1C∩BC1＝E

（1）DE∥平面AA1CC1

（2）BC1⊥AB1

（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C

（2）因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC

因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1，

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1，

又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC，

又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1

（2016年第16题）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．

A1

B1

C1

（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．

（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC

在△ABC中，因为D、E分别为AB，BC的中点，

∴DE∥AC，于是DE∥A1C1

又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，

∴直线DE∥平面A1C1F

（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，

∵A1C1⊂平面A1B1C1，

∴A1A⊥A1C1

又∵A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，

∴A1C1⊥平面ABB1A1

∵B1D⊂平面ABB1A1，

∴A1C1⊥B1D

又∵B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，

∴B1D⊥平面A1C1F

∵B1D⊂平面B1DE

∴平面B1DE⊥平面A1C1F

（2017年第15题）

如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC

（1）在平面内，∵AB⊥AD，EF⊥AD

∴EF∥AB

又∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC

∴EF∥平面ABC

（2）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD

BC⊂平面BCD，BC⊥BD

∴BC⊥平面ABD

∵AD⊂平面ABD

∴BC⊥AD

又∵AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC

∴AD⊥平面ABC

又∵AC⊂平面ABC，

∴AD⊥AC

（2018年第15题）

在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.

（1）AB∥平面A1B1C；

（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC

（1）平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1

⇒AB∥平面A1B1C

⇒四边形A1B1BA为菱形⇒AB1⊥A1B

⇒AB1⊥BC

⇒AB1⊥平面A1BC

⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC