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+2x'
+0s+0s
-3x+5x'
-5x'
+s=702x'
+5x'
=50
3x'
-s=30
x'
x'
x'
s,s≥0
4.解:
标准形式
maxz=10x+5x+0s+0s
3x+4x+s=9
5x+2x+s=8
松弛变量(0,0)
最优解为
x=1,x2=3/2。
5.解:
minf=11x+8x+0s+0s+0s
10x+2x-s=20
3x+3x-s=18
4x+9x-s=36
剩余变量(0,0,13)
最优解为x1=1,x2=5。
6.解:
(1)最优解为x1=3,x2=7。
(2)1<
c<
3。
(3)2<
6。
(4)x=6。
x=4。
(5)最优解为x1=8,x2=0。
(6)不变化。
因为当斜率-1≤-c
c
-1,最优解不变,变化后斜率为1,所以最优解3
不变。
7.解:
设x,y分别为甲、乙两种柜的日产量,目标函数z=200x+240y,线性约束条件:
⎧6x+12y≤120
⎪8x+4y≤64
⎨即
⎪x≥0
⎪⎩y≥0
⎧x+2y≤20
⎪2x+y≤16
⎨
作出可行域.
解
⎧x+2y=20
⎩2x+y=16
得Q(4,8)
z=200⨯4+240⨯8=2720
答:
该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台,可获最大利润2720元.
8.解:
设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,所用钢板面积zm2.目标函数z=x+2y,线性约束条件:
⎧x+y≥12
⎪2x+y≥15
⎪
⎨x+3y≥27
⎧x+3y=27
作出可行域,并做一组一组平行直线x+2y=t.解⎨
⎩x+y=12
得E(9/2,15/2)
.但E不是可行域内的整点,在可行域的整点中,点(4,8)使z取得最小值。
应截第一种钢板4张,第二种钢板8张,能得所需三种规格的钢板,且使所用钢
板的面积最小.
9.解:
设用甲种规格原料x张,乙种规格原料y张,所用原料的总面积是zm2,目标函数z=
⎧x+2y≥2
3x+2y,线性约束条件2x+y≥3
作出可行域.作一组平等直线3x+2y=t.解
⎧x+2y=2
⎩2x+y=3
得C(4/3,1/3)
C不是整点,C不是最优解.在可行域内的整点中,点B(1,1)使z取得最小值.
z最小=3×
1+2×
1=5,
用甲种规格的原料1张,乙种原料的原料1张,可使所用原料的总面积最小为5m2.
10.解:
设租用大卡车x辆,农用车y辆,最低运费为z元.目标函数为z=960x+360y.
⎧0≤x≤10
⎨0
线性约束条件是⎪
≤y≤20
作出可行域,并作直线960x+360y=0.
⎩8x+2.5y≥100
即8x+3y=0,向上平移
⎧x=10
由⎨
⎩8x+2.5y=100
得最佳点为(8,10)
作直线960x+360y=0.
即8x+3y=0,向上平移至过点B(10,8)时,z=960x+360y取到最小值.
z最小=960×
10+360×
8=12480
大卡车租10辆,农用车租8辆时运费最低,最低运费为12480元.
11.解:
设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y,所获利润为z,则z=6x+10y.
⎧0.18x+0.09y≤72
⎧2x+y≤800
⎪0.08x+0.28y≤56即⎪2x+7y≤1400
作出可行域.平移6x+10y=0,如图
⎧2x+y=800
⎩2x+7y=1400
⎧x=350
得⎨
⎩y=100
即C(350,100).当直线6x+10y=0即3x+5y=0平移到
经过点C(350,100)时,z=6x+10y最大
12.解:
模型maxz=500x+400x
2x≤300
3x≤540
2x+2x≤440
1.2x+1.5x≤300
x,x≥0
(1)x=150,x=70,即目标函数最优值是103000。
(2)2,4有剩余,分别是330,15,均为松弛变量。
(3)50,0,200,0。
(4)在[0,500]变化,最优解不变;
在400到正无穷变化,最优解不变。
(5)因为-c=-450≤-1,所以原来的最优产品组合不变。
c430
13.解:
(1)模型minf=8x+3x
50x+100x≤1200000
5x+4x≥60000
100x≥300000
基金A,B分别为4000元,10000元,回报额为62000元。
(2)模型变为maxz=5x+4x
推导出x=18000,x=3000,故基金A投资90万元,基金B投资30万元。
第3章线性规划问题的计算机求解
⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8,这时最大利润是2720
⑵每多生产一件乙柜,可以使总利润提高13.333元
⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时,与其对应的约束条件的对偶价格不变。
比如油漆时间变为100,因为100在40和160之间,所以其对偶价格不变仍为13.333
⑷不变,因为还在120和480之间。
⑴不是,因为上面得到的最优解不为整数解,而本题需要的是整数解⑵最优解为
(4,8)
3.解:
⑴农用车有12辆剩余
⑵大于300
⑶每增加一辆大卡车,总运费降低192元
计算机得出的解不为整数解,平移取点得整数最优解为(10,8)
圆桌和衣柜的生产件数分别是350和100件,这时最大利润是3100元
相差值为0代表,不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。
最优解不变,因为C1允许增加量20-6=14;
C2允许减少量为10-3=7,所有允许增加百分比和允许减少百分比之和(7.5-6)/14+(10-
9)/7〈100%,所以最优解不变。
(1)x=150,x=70;
目标函数最优值103000。
(2)1、3车间的加工工时数已使用完;
2、4车间的加工工时数没用完;
没用完的加
工工时数为2车间330小时,4车间15小时。
含义:
1车间每增加1工时,总利润增加50元;
3车间每增加1工时,总利润增加200
元;
2车间与4车间每增加一个工时,总利润不增加。
(4)3车间,因为增加的利润最大。
(5)在400到正无穷的范围内变化,最优产品的组合不变。
(6)不变,因为在[0,500]的范围内。
(7)所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时,约束条件
1的右边值在[200,440]变化,对偶价格仍为50(同理解释其他约束条件)。
(8)总利润增加了100×
50=5000,最优产品组合不变。
(9)不能,因为对偶价格发生变化。
(10)不发生变化,因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和
25+50≤100%
100100
(11)不发生变化,因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和
50+60≤100%,其最大利润为103000+50×
50−60×
200=93500元。
140140
7.解:
(1)4000,10000,62000。
(2)约束条件1:
总投资额增加1个单位,风险系数则降低0.057;
约束条件2:
年回报额增加1个单位,风险系数升高2.167;
约束条件3:
基金B的投资额增加1个单位,风险系数不变。
量是0,表示投资回报额正好是60000;
约束条件3的松弛变量为700000,表示投
资B基金的投资额为370000。
(4)当c不变时,c在3.75到正无穷的范围内变化,最优解不变;
当c不变时,c在负无穷到6.4的范围内变化,最优解不变。
(5)约束条件1的右边值在[780000,1500000]变化,对偶价格仍为0.057(其他同理)
。
(6)不能,因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和
4+2
>
100%,理由
见百分之一百法则。
4.253.6
(1)18000,3000,102000,153000。
(2)总投资额的松弛变量为0,表示投资额正好为1200000;
基金B的投资额的剩余变量为0,表示投资B基金的投资额正好为300000;
(3)总投资额每增加1个单位,回报额增加0.1;
基金B的投资额每增加1个单位,回报额下降0.06。
(4)c不变时,c在负无穷到10的范围内变化,其最优解不变;
c不变时,c在2到正无穷的范围内变化,其最优解不变。
(5)约束条件1的右边值在300000到正无穷的范围内变化,对偶价格仍为0.1;
约束条件2的右边值在0到1200000的范围内变化,对偶价格仍为-0.06。
(6)600000+300000=100%故对偶价格不变。
900000900000
(1)x=8.5,x=1.5,x=0,x=0,最优目标函数18.5。
函数分别提高2和3.5。
(3)第3个,此时最优目标函数值为22。
(4)在负无穷到5.5的范围内变化,其最优解不变,但此时最优目标函数值变化。
(5)在0到正无穷的范围内变化,其最优解不变,但此时最优目标函数值变化。
(1)约束条件2的右边值增加1个单位,目标函数值将增加3.622。
(2)x目标函数系数提高到0.703,最优解中x的取值可以大于零。
(3)根据百分之一百法则判定,因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和
1
14.583
+2≤100%,所以最优解不变。
∞
(4)因为15+65
100%,根据百分之一百法则,我们不能判定其对偶
30-9.189111.25-15
价格是否有变化。
第4章线性规划在工商管理中的应用
为了用最少的原材料得到10台锅炉,需要混合使用14种下料方案。
设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x1
1,x12,x13,x14,如表4-1所示。
表4-1各种下料方式
下料方式
2
3
4
5
6
8
9
10
11
12
13
14
2640mm
1770mm
1650mm
1440mm
minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14
s.t.2x1+x2+x3+x4≥80
x2+3x5+2x6+2x7+x8+x9+x10≥350
x3+x6+2x8+x9+3x11+2x12+x13≥420
x4+x7+x9+2x10+x12+2x13+3x14≥10
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14≥0
通过管理运筹学软件,我们可以求得此问题的解为:
x1=40,x2=0,x3=0,x4=0,x5=116.667,x6=0,x7=0,x8=0,x9=0,x10=0,x11=140,x12=0,x13=0,x14=3.333
最优值为300。
(1)将上午11时至下午10时分成11个班次,设xi表示第i班次新上岗的临时工人数,建立如下模型。
minf=16(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)s.t.x1+1≥9
x1+x2+1≥9x1+x2+x3+2≥9x1+x2+x3+x4+2≥3x2+x3+x4+x5+1≥3x3+x4+x5+x6+2≥3x4+x5+x6+x7+1≥6x5+x6+x7+x8+2≥12x6+x7+x8+x9+2≥12x7+x8+x9+x10+1≥7x8+x9+x10+x11+1≥7
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11≥0
通过管理运筹学软件,我们可以求得此问题的解如下:
x1=8,x2=0,x3=1,x4=1,x5=0,x6=4,x7=0,x8=6,x9=0,x10=0,x11=0,最优值为320。
在满足对职工需求的条件下,在11时安排8个临时工,13时新安排1个临时工,14时新安排1个临时工,16时新安排4个临时工,18时新安排6个临时工可使临时工的总成本最小。
(2)这时付给临时工的工资总额为320,一共需要安排20个临时工的班次。
约束松弛/剩余变量对偶价格
------------------------------10−4
200
320
490
50−4
650
700
800
90−4
1000
1100
根据剩余变量的数字分析可知,可以让11时安排的8个人工做3小时,13时安排的
1个人工作3小时,可使得总成本更小。
(3)设xi表示第i班上班4小时临时工人数,yj表示第j班上班3小时临时工人数。
minf=16(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8)+12(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9)s.t.x1+y1+1≥9
x1+x2+y1+y2+1≥9
x1+x2+x3+y1+y2+y3+2≥9
x1+x2+x3+x4+y2+y3+y4+2≥3
x2+x3+x4+x5+y3+y4+y5+1≥3
x3+x4+x5+x6+y4+y5+y6+2≥3x4+x5+x6+x7+y5+y6+y7+1≥6x5+x6+x7+x8+y6+y7+y8+2≥12x6+x7+x8+y7+y8+y9+2≥12x7+x8+y8+y9+1≥7
x8+y9+1≥7x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下:
x1=0,x2=0,x3=0,x4=0,x5=0,x6=0,x7=0,x8=6,y1=8,y2=0,y3=1,y4=0,y5=1,y6=0,y7=4,y8=0,y9=0。
最优值为264。
具体安排如下。
在11:
00-12:
00安排8个3小时的班,在13:
00-14:
00安排1个3小时的班,在
15:
00-16:
00安排1个3小时的班,在17:
00-18:
00安排4个3小时的班,在18:
00
-19:
00安排6个4小时的班。
总成本最小为264元,能比第一问节省320−264=56元。
设xij,xij’分别为该工厂第i种产品的第j个月在正常时间和加班时间内的生产量;
yij为i种产品在第j月的销售量,wij为第i种产品第j月末的库存量,根据题意,可以建立如下模型:
∑∑
maxz=
[Sy
–
Cx
-Cx]-
Hw
⎧
⎪∑ax≤r(j=1,L
⎪
6)⎫
⎪∑⎪
ax
≤r
(j=1,L
6)
s.t.⎨y
≤d(i=1,L
5;
j=1,L
6)⎬
⎪w=w
+x+x
y(i=1,L
6,其中,w,=0
w=k)⎪
x≥0,x
≥0,y
≥0(i=1,L
⎪⎪
⎩w≥0(i=1,L
6)⎭
4.解:
(1)设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1,x2,x3,则可建立下面的数学模型。
maxz=10x1+12x2+14x3
s.t.x1+1.5x2+4x3≤2000
2x1+1.2x2+x3≤1000
x1≤200
x2≤250
x3≤100
x1,x2,x3≥0
x1=200,x2=250,x3=100,最优值为6400。
即在资源数量及市场容量允许的条件下,生产A200件,B250件,C100件,可使生产获利最多。
(2)A、B、C的市场容量的对偶价格分别为10元,12元,14元。
材料、台时的对偶价格均为0。
说明A的市场容量增加一件就可使总利润增加10元,B的市场容量增加一件就可使总利润增加12元,C的市场容量增加一件就可使总利润增加14元。
但增加一千克的材料或增加一个台时数都不能使总利润增加。
如果要开拓市场应当首先开拓C产品的市场,如果要增加资源,则应在0价位上增加材料数量和机器台时数。
(1)设白天调查的有孩子的家庭的户数为x11,白天调查的无孩子的家庭的户数为x12,晚上调查的有孩子的家庭的户数为x21,晚上调查的无孩子的家庭的户数为x22,则可建立下面的数学模型。
minf=25x11+20x12+30x21+24x22s.t.x11+x12+x21+x22≥2000
x11+x12=x21+x22x11+x21≥700x12+x22≥450
x11,x12,x21,x22≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。
x11=700,x12=300,x21=0,x22=1000,最优值为47500。
白天调查的有孩子的家庭的户数为700户,白天调查的无孩子的家庭的户数为30
0户,晚上调查的有孩子的家庭的户数为0,晚上调查的无孩子的家庭的户数为10
00户,可使总调查费用最小。
(2)白天调查的有孩子的家庭的费用在20~26元之间,总调查方案不会变化;
白天调查的无孩子的家庭的费用在19~25元之间,总调查方案不会变化;
晚上调查的有孩子的家庭的费用在29到正无穷之间,总调查方案不会变化;
晚上调查的无孩子的家庭的费用在-20~25元之间,总调查方案不会变化。
(3)发调查的总户数在1400到正无穷之间,对偶价格不会变化;
有孩子家庭的最少调查数在0到1000之间,对偶价格不会变化;
无孩子家庭的最少调查数在负无穷到1300之间,对偶价格不会变化。
管理运筹学软件求解结果如下:
设空调机、洗衣机的月供应量分别是x,y台,总利润是P,则P=6x+8y,可建立约束
条件如下:
30x+20y≤300;
5x+10y≤110;
x≥0
y≥0
x,y均为整数。
使用管理运筹学软件可求得,x=4,y=9,最大利润值为9600;
7.解:
1、该问题的决策目标是公司总的利润最大化,总利润为:
0.5x1+0.2x2+0.25x3
决策的限制条件:
8x1+4x2+6x3≤500铣床限制条件
4x1+3x2≤350车床限制条件
3x1+x3≤150磨床限制条件即总绩效测试(目标函数)为:
maxz=0.5x1+0.2x2+0.25x32、本问题的线性规划数学模型
maxz=0.5x1+0.2x2+0.25x3S.T.8x1+4x2+6x3≤500
4x1+3x2≤350
3x1+x3≤150
x1≥0、x2≥0、x3≥0
最优解(50,25,0),最优值:
30元。
3、若产品Ⅲ最少销售18件,修改后的的数学模型是:
maxz=0.5x1+0.2x2+0.25x3
S.T.8x1+4x2+6x3≤500
x3≥18
这是一个混合型的线性规划问题。
代入求解模板得结果如下:
最优解(44,10,18),最优值:
28.5元。
设第i个月签订的合同打算租用j个月的面积为xij,则需要建立下面的数学模型:
min
f=2800x11+4500x12+6000x13+7300x14+2800x21+4500x22+6000x23+2800x31+4500x32+2800x41
s.t.x11≥15
x12+x