精品新人教A版高中数学必修432 简单的三角恒等变换教学案.docx
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精品新人教A版高中数学必修432简单的三角恒等变换教学案
3.2简单的三角恒等变换
【教学目标】
会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,引导学生推导半角公式,积化和差、
和差化积公式(公式不要求记忆),使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
【教学重点、难点】
教学重点:
引导学生以已有公式为依据,以推导半角公式,积化和差、和差化积公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力。
教学难点:
认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【教学过程】
复习引入:
复习倍角公式、、
先让学生默写三个倍角公式,注意等号两边角的关系,特别注意。
既然能用单角
表示倍角,那么能否用倍角表示单角呢?
半角公式的推导及理解:
例1、试以表示.
解析:
我们可以通过二倍角和来做此题.(二倍角公式中以代2,代)
解:
因为,可以得到;
因为,可以得到.
两式相除可以得到.
点评:
⑴以上结果还可以表示为:
并称之为半角公式(不要求记忆),符号由角的象限决定。
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。
⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换,三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系他们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点。
变式训练1:
求证
积化和差、和差化积公式的推导(公式不要求记忆):
例2:
求证:
(1);
(2).
解析:
回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式,观察公式与所证式子的联系。
证明:
(1)因为和是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边着手.
;.
两式相加得;
即;
(2)由(1)得①;设,
那么.
把的值代入①式中得.
点评:
在例2证明中用到了换元思想,(1)式是积化和差的形式,(2)式是和差化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式.
变式训练2:
课本p1422
(2)、3(3)
例3、求函数的周期,最大值和最小值.
解析:
利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相应的值。
解:
,
所以,所求的周期,最大值为2,最小值为.
点评:
例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式中的作用.
变式训练3:
课本p1424、
(1)
(2)(3)
探究:
求y=asinx+bcosx的周期,最大值和最小值.
小结:
我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活运用.
作业布置:
课本p143习题3.2A组1、
(1)(5)3、5
3.2简单的三角恒等变换(导学案)
课前预习学案
一、预习目标:
回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式,预习简单的三角恒等变换。
二、预习内容:
1、回顾复习以下公式并填空:
Cos(α+β)=Cos(α-β)=
sin(α+β)=sin(α-β)=
tan(α+β)=tan(α-β)=
sin2α=tan2α=
cos2α=
2、阅看课本P139---141例1、2、3。
三、提出疑惑:
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标:
会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,会推导半角公式,积化和差、和差化积公式(公式不要求记忆),进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
学习重点:
以已有公式为依据,以推导半角公式,积化和差、和差化积公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力。
学习难点:
认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力。
二、学习过程:
探究一:
半角公式的推导(例1)
请同学们阅看例1,思考以下问题,并进行小组讨论。
1、2α与α有什么关系?
α与α/2有什么关系?
进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。
2、半角公式中的符号如何确定?
3、二倍角公式和半角公式有什么联系?
4、代数变换与三角变换有什么不同?
探究二:
半角公式的推导(例2)
请同学们阅看例2,思考以下问题,并进行小组讨论。
1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点?
它们与例2在结构形式上有什么联系?
2、在例2证明过程中,如果不用
(1)的结果,如何证明
(2)?
3、在例2证明过程中,体现了什么数学思想方法?
探究三:
三角函数式的变换(例3)
请同学们阅看例1,思考以下问题,并进行小组讨论。
1、例3的过程中应用了哪些公式?
2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数?
并求y=asinx+bcosx的周期,最大值和最小值.
三、反思、总结、归纳:
sinα/2=cosα/2=tanα/2=
sinαcosβ=cosαsinβ=
cosαcosβ=sinαsinβ=
sinθ+sinφ=sinθ-sinφ=
cosθ+cosφ=cosθ-cosφ=
四、当堂检测:
课本p143习题3.2A组1、(3)(7)2、
(1)B组2
课后练习与提高
一、选择题:
1.已知cos(α+β)cos(α-β)=,则cos2α-sin2β的值为()
A.-B.-C.D.
2.在△ABC中,若sinAsinB=cos2,则△ABC是()
A.等边三角形B.等腰三角形
C.不等边三角形D.直角三角形
3.sinα+sinβ=(cosβ-cosα),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于()
A.-B.-C.D.
二、填空题
4.sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________.
5.已知α-β=,且cosα+cosβ=,则cos(α+β)等于_________.
三、解答题
6.已知f(x)=-+,x∈(0,π).
(1)将f(x)表示成cosx的多项式;
(2)求f(x)的最小值.