初中数学圆的知识点总结Word文档下载推荐.docx
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4、圆周角立理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角左理推论1：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角左理推论2：
直径所对的圆周角是直角：
90。
的圆周角所对的弦是直径。
例1如图，在半径为5cm的C）O中，圆心O到弦力B的距离为3cm,
则弦AB的长是（）
A・4cmB.6cmC・8cmD・IOCrn
在一个圆中，若知圆的半径为R,弦长为Q,圆心到此弦的距离为d，回根据垂径左理，有R2=d2+（-）2,所以三个量知道两个，就可求出第三个・答案C
2
例2.如图，4、B、C、D是OO上的三点，ZaAC=30。
，则ZBOC的大小是（）
A、60oB、45。
C、30oD、15°
运用圆周角与圆心角的关系左理，答案：
A
例3、如图1和图2,MN是OO的直径，弦AB.CD0相交于MMD上的一点P,
ΞZAPM=ZCPM.
（1）由以上条件，你认为A3和CD大小关系是什么，请说明理由.
（2）若交点P在C）O的外部，上述结论是否成立若成立，加以证明；
若不成立，请说明理由・
（1）要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等，回只要说明它
们的一半相等.
上述结论仍然成立，它的证明思路与上而的题目是一模一样的・
解：
（1）AB=CD
理由：
过O作OE、OF分别垂宜于AB、CD,垂足分别为E、F
TZAPM=ZCPM・・・ZI=Z2OE=OF
连结0D、OB且OB=OD・•・Rt∆OFD^Rt∆OEB.∙.DF=BE
根据「垂径左理可得：
AB=CD
（2）作OE丄AB,OF丄CD,垂足为E、F
∙.∙ZAPM=ZCPN且OP二OP,ZPEO=ZPFO=90o
・•・Rt∆OPE空Rt∆OPF・•・OE=OF
连接0A、OB、0C.OD
易证Rt∆OBE空Rt∆ODF,Rt∆OAE旻Rt∆OCF
・•・Z1+Z2=Z3+Z4/.AB=CD
例4・如图，是C）O的直径，BD是C）O的弦，延长3D到C,使AC=AB,BD与CD的
大小有什么关系为什么
BD=CD9因为AB=AC.所以这个AABC是等腰，要证明D是BC的中点,
回只要连结AD证明AD是高或是ZBAC的平分线即可・
BD=CD
理由是：
如图24—30,连接AD
∙∙∙AB是C）O的直径・••ZADB=90o即AD±
BC又•・・AC=AB・•・BD=CD
知识点四.圆与三角形的关系
1、不在同一条直线上的三个点确泄一个圆。
2、三角形的外接圆：
经过三角形三个顶点的圆。
3、三角形的外心：
三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。
4、三角形的内切圆：
与三角形的三边都相切的圆。
5、三角形的内心：
三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。
例1如图，通过防治“非典〃.人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了,人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，人、3、C0为市内的三个住宅小区,环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，回要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址・
A∙
B
连结BC,作线段AB.BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收
站所在的位垃・
例2如图，点O是ZkABC的内切圆的圆心.若ZBAC=80。
则ZBOC=（）
此题解题的关键是弄淸三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A
例3如图,RtbABC9ZC=90%AC=3cm,BC=4cm,则它的外心与顶点C的距离为（）.
A.5CmB.C・3cmD・4cm
直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案B
知识点五、直线和圆的位置关系：
相交、相切、相离
当直线和圆相交时，d<
r:
反过来，当dV门甘，直线和圆相交。
当直线和圆相切时，d=r:
反过来，当d=r时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，d>
反过来，当d>
门I寸，直线和圆相离。
切线的性质左理：
圆的切线垂直于过切点的直径
切线的判定左理：
经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：
在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长左理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。
例1、在Z∖MC中，βC=6cm,ZB=30o,ZC=45o,以&
为圆心，当半径r多长时所作
的OA与直线8C相切相交相离
作AD丄BC于D
在RtilABD中，Zb=30o
・•・CD=AD
・・・BC=6cm・・・5Z）+CZ）≡√3^D+^D=（√3+1）^=6
∙∙∙AD=3（√3-l）（c^）
∙∙∙-Ir=3（√3-l）c∙^时，OA⅛BC相切：
>
3（√3-l）cw时，OA与BC相交：
当r<
3（羽一1）Cm时'
OAIjBC相离。
例2.如图，AB为00的直径，C是C）O上一点，D在力3的延长线上，且ADCB=^A.
（1）CD与OO相切吗如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.
（2）若CD与C）O相切，且ZD=30∖80=10,求OO的半径.
（1）要说明CD是否是Oo的切线，只要说明OC是否垂直于CD,垂足为C,回因为C点已在圆上.
由已知易得：
ZA二30°
又由ZDCB=ZA=30o得：
BC=BD=IO解：
（1）CD与C）O相切
①C点在00±
（已知）
②∙.∙AB是直径
・•・ZACB=90o,即ZACO+ZOCB=90o•・・ZA=ZOCA且ZDCB=ZA
・•・ZOCA=ZDCB・•・ZOCD=90o综上：
CD是OO的切线・
（2）在Rt∆OCD中，ZD=30o
・•・ZCOD=60o・•・ZA=30o.β.ZBCD=30o
・•・BC=BD=IO
AAB=20,Ar=IO答：
（1）CD是OO的切线，
（2）Oo的半径是10・
知识点六、圆与圆的位置关系
重点：
两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用.
难点：
探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题.
外离：
两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离:
内含：
两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相切：
外切：
两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部
内切：
两圆只有一个公共点，除公共点「外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相交：
两圆只有两个公共点。
设两圆的半径分别为r】、圆心距（两圆圆心的距离）为d,则有两圆的位世关系，d
与rι和々之间的关系.
外离U>
/>
%+厂2
外切<
=>
d=r1+r2
相交O∖r1-r2∖<
d<
r1+r2
内切Od=∖r1-r2∖内含<
O≤d<
∣rι~Γ2∣（其中d=0,两圆同心）
例1・两个同样大小的肥皂「泡黏在一起，其剖而如图1所示（点60,是圆心），分隔
两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线.TP、NP分别为两圆的切线，求ATPN的大小.
（1）
（2）
要求ZTPN,其实就是求ZOPey的角度，很明显，ZPOOZ是正三角形，如图2所示.
∙∙∙PO=OOz=POZ・•・∆P0,0是一个等边三角形・•・ZOPoJ60。
又TTP与NP分别为两圆的切线,AZTPO=90%ZNPoy90。
・•・ZTPN=360o-2×
90o-60°
=120°
例2∙如图1所示，C）O的半径为7cm,点人为OO外一点，OA=ISCm.
求：
（1）作0&
与C）O外切，并求OA的半径是多少
（2）作CM与Oo相内切，并求岀此时04的半径.
（1）作OA和OO外切，就是作以A为圆心的圆与00的圆心距d=ro+rA;
（E2）回作OA与00相内切，就是作以A为圆心的圆与C）O的圆心距d=rA-ro.
如图2所示，
（1）作法：
以A为圆心，γa=15-7=8为半径作圆，则C）A≡的半径为8cm
（2）作法：
以A点为圆心，rr=15+7=22为半径作圆，则C）A的半径为22Cm
例3.如图所示，点&
坐标为（0,3）,OA半径为1,点B在X轴上.
（1）若点3坐标为（4,0）,C）B半径为3,试判断OA与08位宜关系:
（2）若081iM（一2,0）且与Oq相切，求B点坐标・
（1）AB=5>
l+3,外离.
（2）设B（x,0）x≠-2,则AB=√9+√,OB半径为∣×
+2∣,
①设OB与C）A外切，则√9+X2=∣x÷
2∣+1,
当x>
-2时，√9+X2=x+3,平方化简得：
x=0符题意,/.B（0,0）,
当x<
—2时•^9+X2=—X—1,化简得×
=4>
-2（舍），
②设OB与C）A内切，则√9+X2=∣x÷
2∣-lt
当×
-2时，√9+7=x+1,得X二4>
一2,・•・B（4,0）,
<
-2时，√9+X2=-x-3,得X==0,
知识点七、正多边形和圆
讲淸正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、回边长之间的关系.
使学生理解四者：
正多边形半径、中心角、回弦心距、边长之间的关系.
正多边形的中心：
所有对称轴的交点：
正多边形的半径：
正多边形外接圆的半径。
正多边形的边心距：
正多边形内切圆的半径。
正多边形的中心角：
正多边形每一条边所对的圆心角。
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形,每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
例如图，已知正六边形ABCDEF,其外接圆的半径是回求正六边形的周长和而积.
要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA,过O点作OM丄AB垂于M,在RtAAOIWE中便可求得AM,又应用垂径立理可求得AB的长.正六边形的而积是由六块正三角形面积组成的・
360°
如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60%回△OBC是
6
因此，所求的正六边形的周长为6a
等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径・•
在Rt∆OAM中，OA=a,AM=—AB=—a22
利用勾股泄理，可得边心距
OM=J/—（如冷辰
1I∕β3
.∙.所求正六边形的而积=6×
—×
AB×
0M=6×
a×
a=—y/3a2
2222
例2.在直径为AB的半圆内，划岀一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为顶点C在半圆圆周上，苴它两边分别为6和8,现要建造一个内接于△A8C0的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上,如图24-94的设计方案是使AC=8,BC=6.
（1）求ZkABC的边AB±
的高/1.
h_DNNF
（2）设DN=x,且=——，当X取何值时，水池DMN的而积最大
hAB
（3）实际施工时，发现在ABk距3点1・85的M处有一棵大树，问：
这棵大树是否位于最大矩形水池的边上如果在，为了保护大树，请设计出列外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.
要求矩形的面积最大，先要列出而积表达式，再考虑最值的求法，初中
阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值.（3）的设讣要有新意，回应用圆的对称性就能
⑴FhABCG=AC-BCWh=C8x6
AB
圆满解决此题.
10
h—DNNFII10（4.8-X）
（2）Th==——且DN=X・∙.NF=
hAB4.8
-^（X-）2≤0
25
・・・一一（X-）2+1242且当X=时，取等号
XX
・•・当X=时，SDEFN最大.
（3）当SDEFN最大时，X=,此时，F为BC中点，在Rt∆FEB中，EF=,BF=3.
・•・BE=√DE2-EF2=√32-2.42=
VBM=,ΛBM>
EB,即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案.
T当X二时，DE=5AAD=,
由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示：
C
此时，SAC=6,BC=&
AD=,BE=,这样设计既满足条件,又避开大树.
知识点八、弧长和扇形.圆锥侧面积面积
（
n。
的圆心角所对的弧长L=—,扇形而积S扇二竺空、圆锥侧面积而积及其它
180360
们的应用.
公式的应用.
1・n。
的圆心角所对的弧长L=—
180
2.圆心角为n。
的扇形而积是S扇形=罟?
3.全面积是由侧面积和底面圆的而积组成的，所以全而积=兀rL+r2.
例1.操作与证明：
如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：
正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.
如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD（Z）分別交于点M、N,连结OA、OD.・・•四边形ABCD是正方形
・•・0A=0D,ZAOD=90%ZMAO=ZNDO,
又ZMON=90o,ZAOM=ZDON.∙.&
AMO旻△DNO
.∙.AM=DN.∙.AM+AN=DN+AN=AD=a
特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为泄值a.故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为泄值a.
例2.已知扇形的圆心角为120°
面积为300；
TCm2.
（1）求扇形的弧长：
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截而而积为多少
⑴由S询鵠求出R,再代入＜2）若将此扇形卷成
一个圆锥，回扇形的弧长就是圆锥底而圆的周长，就可求圆的半径，英截而是一个以底是直径，回圆锥母线为腰的等腰三角形.
（1）如图所示：
（2）如图所示:
1
F.,.SWurtj=—×
BC×
AD
=—×
2×
10×
20>
/2=200∖∕2（cm2）
因此，扇形的弧长是20兀Cm卷成圆锥的轴截而是200√2cm2.
最新考题
中考要求及命题趋势
1、理解圆的基本槪念与性质。
2、求线段与角和呱的度数。
3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。
4、直线和圆的位豊关系。
⅜
5、圆的切线的性质和判泄。
6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。
7、圆和圆的五种位置关系。
8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。
两圆相切、相交的性质。
9、掌握弧长、扇形而积汁算公式。
10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。
11、掌握圆柱、圆锥的侧而积和全而积计算。
2015年中考将继续考查圆的有关性质，英中圆与三角形相似（全等）。
三角函数的小综合题为考査重点；
直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点：
继续考查圆与圆的位置五种关系。
对弧长、扇形而积讣算以及圆柱、圆锥的侧而积和全面积的计算是考査的重点。
应试对策
圆的综合题，除了考切线必须的问题。
一般圆主要和前而的相似三角形，和前而大的知识点接触。
就是说几何所有的东西都是通的，你学后而的就自然牵扯到前而的，前而的忘掉了，简单的东西忘掉了，后而要用就不会用了，所以几何前而学到的知识、常用知识，后面随时都在用。
直线和圆以前的部分是重点内容，后而扇形的而积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后而都是一些填空题和选择题，对于扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧而积的
公式记住了就可以了。
圆这一章，特别是有关圆的性质这两个单元，重要的概念、左理先掌握了，你首先要掌握这些，题目就是左理的简单应用，所以概念和定理没有掌握就谈不到应用，所以你首先应该掌握。
掌握之后，再掌握一些这两章的解题思路和解题方法就可以了。
你说你已经把一些这个单元的基本左理都掌握了，那么我可以在这里面介绍一些掌握的解题思路，这样你把这些都掌握了，解决一些中等难题。
都是哪些思路呢我暂认为你基本知识掌握了，那么，在圆的有关性质这一章，你需要掌握哪些解题思路、解题方法呢第一，这两章有三条常用辅助线，一章是圆心距，第二章是直径圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离，这是一条常用的辅助线。
有几个分析题目的思路，在圆中有一个非常重要，就是弧、常与圆周角互相转换，那么怎么去应用，就根据题目条件而
考査目标一.主要是指圆的基础知识.包括圆的对称性，圆心角与弧.弦之间的相等
关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。
这
部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算
例1.如图，AB是OO的直径，BC是弦，OD丄BC于&
交BC于D.
（2）请写出五个不同类型的正确结论：
（2）若BC=8,ED=I9求C）O的半径.
运用圆的垂径上理等内容
（1）不同类型的正确结论有：
①BE=CE;
②弧BD二弧CD③ZBED=90°
④ZBOD=ZA;
Q）ACwOD,⑥AC丄BC;
®
O£
2+SE2=O82;
®
Saabc=BC∙OE;
⑨厶BoD是等腰三角形，⑩厶BOE-厶BAC;
（2）∙∕OD±
BC.••・BE=CE=-BC=4・
设Oo的半径为/?
则0E=OD-DE=R~2.
⅛Rt∆OEB中，由勾股泄理得
0E2÷
BE2=OS2,即（R-2）2+42=R2・解得R=5..∙.C）O的半径为5
例2•已知：
如图等边AABC内接于C）O,点P是劣弧PC上的一点（端点除外）,延长必至使BD=AP,连结CD・
（1）若AP过圆心0,如图①，请你判断APDC是什么三角形并说明理由・
（2）
若AP不过圆心0,如图②，ZkPDC又是什么三角形为什么
∙∙∙AAPCm∕∖BDC・∙∙∙PC=DC
又TAP过圆心O,AB=AC9ZEAC=60°
∙∙∙ABAP=ZPAC=-ZBAC=30°
.∖ΛBAP=ABCP=30o,ZPBC=ZPAC=30°
∙∙∙ZCPD=ZPBC+ZBCP=30o+30o=60o∙'
∙HPDC为等边三角形.
（2）仍为等边三角形
先证AAPC^ABDC（过程同上）:
∙PC=DC
[
∖9ABAP+APAC=ωo又*ZBAP=ABCP,ZPAC=APBc
・∖ZCPD=ZBCP+ZPBC=ZBAP+ZPAC=6OQ
又TPC=DC••・∕∖PDC为等边三角形.
例3”⑴如图OA、OB是Oo的两条半径，且0A±
0B,点C是OB延长线上任意一点：
过点C作CD切OO于点D,连结AD交DC于点E.求证：
CD=GE
（2）若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F,交OO于X,其他条件不变,那么上述结论CD=CE还成立吗为什么
（3）若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到C）O外的CF,点E是DA的延长线与CF的交点•其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗为什么
本题主要考查圆的有关知识•考查图形运动变化中的探究能力及推理能力.
解答:
（l）ilE明：
连结OD贝∣JθD±
CD,/.ZCDE+ZODA=90o
在Rt∆AOE中，ZAEO+ZA=90o
在OO中，OA=OD・・.ZA=ZODA,.∙.ZCDE=ZAEO
又・・•ZAEO=ZCED,ZCDE=ZCED/.CD=CE
（2）CE=CD仍然成立・
■/原来的半径OB所在直线向上平行移动.∙∙CF丄AO于F,
在Rt∆AFE中，ZA+ZAEF=90o・
连结OD,有ZODA+ZCDE=90%且OA=OD・ZA=ZODA
・•・ZAEF=ZCDE又ZAEF=ZCED/.ZCED=ZCDE/.CD=CE（3）CE=CD仍然成立.
T原来的半径OB所在直线向上平行移动.AO丄CF
延长OA交CF于G,在Rt∆AEG中，ZAEG+ZGAE=90o
连结OD,■有ZCDA+ZODA=90∖且OA=OD/.ZADO=ZOAD=ZGAE
・•・ZCDE=ZCED・•・CD=CE
考査目标二.主要是指点与圆的位置关系.直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。
学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。
例1、AB是OO的直径，Pl切Oo于A,OP交OO于C,连BC.若ZP=30,
求Z3的度数./一~
运用切线的性质・
••・PA切Oo于4AB是00的直径，・•・ZPAO=90.
VZP=30,AZAOP=60・・・・ZB
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