高考真题文科数学天津卷+Word版含答案.docx
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高考真题文科数学天津卷+Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文科数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:
每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
·如果事件A,B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
·棱柱的体积公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.
·棱锥的体积公式,其中表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高.
一.选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合,,,则
(A)(B)
(C)(D)
(2)设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
(A)6(B)19
(C)21(D)45
(3)设,则“”是“”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
(4)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为20,则输出的值为
(A)1(B)2(C)3(D)4
(5)已知,则的大小关系为
(A)(B)(C)(D)
(6)将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数
(A)在区间上单调递增(B)在区间上单调递减
(C)在区间上单调递增(D)在区间上单调递减
(7)已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且则双曲线的方程为
(A)(B)
(C)(D)
(8)在如图的平面图形中,已知,则的值为
(A)(B)
(C)(D)0
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)i是虚数单位,复数=__________.
(10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′
(1)的值为__________.
(11)如图,已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1,则四棱柱A1–BB1D1D的体积为__________.
(12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________.
(13)已知a,b∈R,且a–3b+6=0,则2a+的最小值为__________.
(14)已知a∈R,函数若对任意x∈[–3,+),f(x)≤恒成立,则a的取值范围是__________.
三.解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
(16)(本小题满分13分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B–).
(Ⅰ)求教B的大小;
(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A–B)的值.
(17)(本小题满分13分)
如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=,∠BAD=90°.
(Ⅰ)求证:
AD⊥BC;
(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
(18)(本小题满分13分)
设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
(Ⅰ)求Sn和Tn;
(Ⅱ)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.
(19)(本小题满分14分)
设椭圆的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线与椭圆交于两点,与直线交于点M,且点P,M均在第四象限.若的面积是面积的2倍,求k的值.
(20)(本小题满分14分)
设函数,其中,且是公差为的等差数列.
(I)若求曲线在点处的切线方程;
(II)若,求的极值;
(III)若曲线与直线有三个互异的公共点,求d的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文科数学答案
参考答案
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分40分.
(1)C
(2)C(3)A(4)B
(5)D(6)A(7)A(8)C
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分.
(9)4–i(10)e(11)
(12)(13)(14)[,2]
三、解答题
(15)本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.
(Ⅰ)解:
由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(Ⅱ)(i)解:
从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.
(ii)解:
由(Ⅰ),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.
所以,事件M发生的概率为P(M)=.
(16)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分13分.
(Ⅰ)解:
在△ABC中,由正弦定理,可得,又由,得,即,可得.又因为,可得B=.
(Ⅱ)解:
在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有,故b=.
由,可得.因为a所以,
(17)本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
(Ⅰ)由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.
(Ⅱ)解:
取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.
在Rt△DAM中,AM=1,故DM=.因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.
在Rt△DAN中,AN=1,故DN=.
在等腰三角形DMN中,MN=1,可得.
所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为.
(Ⅲ)解:
连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.
在Rt△CAD中,CD==4.
在Rt△CMD中,.
所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.
(18)本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.
(I)解:
设等比数列的公比为q,由b1=1,b3=b2+2,可得.
因为,可得,故.所以.
设等差数列的公差为.由,可得.由,可得从而,故,所以.
(II)解:
由(I),知
由可得,
整理得解得(舍),或.所以n的值为4.
(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.
(I)解:
设椭圆的焦距为2c,由已知得,又由,可得由,从而.
所以,椭圆的方程为.
(II)解:
设点P的坐标为,点M的坐标为,由题意,,
点的坐标为由的面积是面积的2倍,可得,
从而,即.
易知直线的方程为,由方程组消去y,可得.由方程组消去,可得.由,可得,两边平方,整理得,解得,或.
当时,,不合题意,舍去;当时,,,符合题意.
所以,的值为.
(20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查函数思想和分类讨论思想,考查综合分析问题和解决问题的能量,满分14分.
(Ⅰ)解:
由已知,可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x,故f‵(x)=3x−1,因此f(0)=0,=−1,又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−f(0)=(x−0),故所求切线方程为x+y=0.
(Ⅱ)解:
由已知可得
f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t22+9t2.
故=3x3−6t2x+3t22−9.令=0,解得x=t2−,或x=t2+.
当x变化时,f‵(x),f(x)的变化如下表:
x
(−∞,t2−)
t2−
(t2−,t2+)
t2+
(t2+,+∞)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6;函数小值为f(t2+)=()3−9×()=−6.
(III)解:
曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d)(x−t2)(x−t2−d)+(x−t2)+6=0有三个互异的实数解,令u=x−t2,可得u3+(1−d2)u+6=0.
设函数g(x)=x3+(1−d2)x+6,则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.
=3x3+(1−d2).
当d2≤1时,≥0,这时在R上单调递增,不合题意.
当d2>1时,=0,解得x1=,x2=.
易得,g(x)在(−∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,
g(x)的极大值g(x1)=g()=>0.
g(x)的极小值g(x2)=g()=−.
若g(x2)≥0,由g(x