下料问题cutting stock problem.docx

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下料问题cuttingstockproblem

下料问题（cuttingstockproblem）

实用下料问题

摘要

针对一维下料优化问题，由于使用传统的规划求解，计算量很大，而且很难求出最终结果，所以我们采用种新的优化思想方法——启发式多层次逐层优化方法，并结合贪心算法解决此问题,基本思想是在求解时，尽可能多的重复使用最优的一种方法进行下料，直到所涉及到的某种零件需求加工完;然后对剩余的零件重复上步的操作，直到所有剩余的零件数目均减小至零为止。

原问题的最优解就是各个序列优化问题所求得的最优下料方式的总和,由于题目中有四天和六天的时间约束，所以分为两个阶段:

无时间约束搜寻下料方式和有交货时间限制的下料方式逐步优化，利用Mathematica求得结果:

完成任务所需原材料数:

811，利用率:

97.60%，废料总长度为:

58012.5mm此时所用方案64种，具体见附录。

最终求得只需9天便可完成全部53套零件的加工任务。

具体的一维下料问题的下料方式数，耗材量，废料长度，利用率如下表所示:

对于二维下料问题，下料方式要满足零件长，宽方向上的套裁，我们通过降维启发式方法即根据题目中宽度单一的特点，我们将原料按照组合50、50，组合50、30、20，组合35、35、30，组合30、30、20、20，以及组合20、20、20、20、20方案将原料切割成3000*50，3000*35，3000*30，3000*20四种“标准件”，转化成了等宽度单一料长的一维下料优化问题，即可通过使用第一题中的启发式多层次逐层优化方法，首先考虑无时间条件约束的情况，我们将这一过程分为两个阶段来实现。

同一维下料问题类似，在有时间约束时，我们将交货时间紧促的零件排在优先位置加工，如此得到结果:

所需原料数:

458，下料方式数为:

66，利用率为:

97.71%

一、题的重述

1.背景

“下料问题（cuttingstockproblem）”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用。

这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。

以单一原材料的二维下料问题为例。

设这种原材料呈长方形，长度为,宽度为，WL

m现在需要将一批这种长方形原料分割成种规格的零件,所有零件的厚度均与原材料

（l,w）,？

（l,w）mwlLwWim,,,,,,,,,1,,一致，但长度和宽度分别为，其中。

种11mmiii

n,？

n零件的需求量分别为。

下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。

特别地，1m

w,W,i,1,？

m当所有零件的宽度均与原材料相等，即，则问题简化为一维下料问题。

i

相关数据表明，原材料成本占总生产成本的百分比可以高达45%,60%，而下料方案的优劣直接影响原材料的利用率，进而影响原材料成本。

因此需要建立优化的下料方案，使得在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务，同时下料方式数也尽量地小。

2.问题

（1）建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型,并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案,同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度。

单一原材料的长度为,需要完3000mm

l成一项有53种不同长度零件的下料任务。

具体数据见附录二表f-1，其中为需求零i

n件的长度，为需求零件的数量。

此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为。

5mmi

据估计，该企业每天最大下料能力是100块，要求在4天内完成的零件标号（）为:

i5,7,9,12,15,18,20,25,28,36,48;要求不迟6天完成的零件标号（）i为:

4,11,24,29,32,38,40,46,50。

（2）建立二维单一原材料实用下料问题的数学模型,并用此模型求解下列问题。

制定出在企业生产能力容许的条件下满足需求的下料方案,同时求出等额完成任务所需的原材料块数和所需下料方式数。

这个问题的单一原材料的长度为，宽度3000mm为,需要完成一项有43种不同长度和宽度零件的下料任务。

具体数据见附录二表100mm

l,w,nf-2，其中分别为需求零件的长度、宽度和数量。

切割时的锯缝可以是直的也iii

可以是弯的，切割所引起的锯缝损耗忽略不计。

据估计，该企业每天最大下料能力是20块要求在4天内完成的零件标号（）为:

3,7,9,12,15,18,20,25,28,36。

i

二、基本假设、符号说明、名词约定1.基本假设

1

（1）假设每个切割点处产生的损耗视为废料，不可忽略。

（2）假设二维下料问题中，零件在原材料中的布局不具体考虑，即若一块原材料加工所得零件种类、数量以及产生废料相同，而仅仅是布局不同时，则视为同种下料方式。

（3）假设在有交货时间限制的零件未加工完的情况下，工厂仍以最大生产能力进行生产。

（4）假设二维下料问题中，所有原材料都沿着长度方向平行切割。

2.符号说明:

符号意义单位

mm原材料的长度L

mmW原材料的宽度

n第种零件的需求量个ii

mmwwW,第种零件的宽度,且iii

mmlwlL,,第种零件的长度，且iiii

a一种下料方式中，切割第种零件的数量个ii

p下料方式数种c下料方式的使用次数次ii

【注】其余没有列出的符号，我们在文中第一次出现时给出具体说明。

3.名词约定

（1）下料方式:

描述如何将单块原料切割为若干零件，即切割零件时，各套零件的组合方式。

一维下料时，以切割点分段;二维下料则存在布局问题，由于本题仅关心不同下料方式所带来的零件生产种类和数量的变化，而与具体布局无关。

因此，对于只是布局不同的下料方式认为同一种下料方式。

（2）下料方案:

描述一批原材料如何分配下料方式以完成任务所需的零件。

如共使用多少原材料，各种原材料采用何种下料方式由于频繁转换下料方式会带来额外的时间和材料的损耗，工厂在确定一批原材料的下料方案后，会尽量将采用相同下料方式的原材料连续切割，减少转换次数，降低生产成本。

2

（3）时间约束:

假设工厂以最大的生产能力生产，并且每天切割的原材料数量为常数，C此时原问题可以转化为无时间约束的多阶段下料方案优化问题。

例如当时，要C,100求四天内完成的零件必须使用前400块原材料生产，六天内完成的零件必须使用前600块原材料生产，等等。

（4）标准件:

指在二维下料时，将原材料按宽度无损失的原则，分割成四种不同宽度的

2222待加工材料，即尺寸分别为3000，50mm、3000，35mm、3000，30mm、3000，20mm，

M、M、M、M分别记为。

如此便可将同种标准件按一维下料的方式切割。

50353020

三、问题的分析

此类问题属于优化问题。

在生产实践中，经常会遇到如钢材、木材等条型材的下料问题，即如何根据原材料的长度、零件的尺寸以及需求量确定出使原材料消耗最少的最优下料方案。

本题要求:

在生产能力容许的条件下完成任务，并同时达到耗材数和下料方式数最少。

一维下料问题是组合优化中的一个经典问题，如果要得到理论上的严格全局最优下料方案。

就要求所有可行下料方式都进入线性规划模型的系数矩阵，从计算的复杂性理论上看，这属于（完全）难问题。

因此，我们放弃常规的整数规划解法，而在以NPCNP

优化选取下料方式的前提下，寻找建立下料方案的模型。

本题要求一个好的下料方案在生产能力允许的条件下要满足三个要求:

首先，应该使原材料的利用率最大，即用最少数量的原材料;其次要求所采用的不同下料方式尽可能少;还要满足每种零件各自的交货时间。

这样，我们可以考虑分层建模:

第一阶段，先仅考虑无时间约束时的模型，以耗材最少为原则搜寻最优的下料方式;第二阶段解决具体问题时，再进一步考虑对零件加工的时间限制。

改进方案以满足要求。

通过计算机编程计算得到我们所需要的最优下料方案。

但由于零件的种类有53种之多，下料方式仍然很多，计算量很大，所以在建立优化模型的基础上，我们需要找到比较合适的算法来解决这类实际问题。

我们力图建立一种实用的模型，并提出一种新的优化思想方法——启发式多层次逐层优化方法，并结合贪心算法解决此问题。

对于二维下料问题，下料方式要满足零件长，宽方向上的套裁，所以远比一维下料复杂且数量大得多。

因此，我们希望通过降维启发式方法即通过形成“板条”而把二维下料问题降为一维下料的方法来解决。

在此称一维下料的原材料为“条材”，而二维下料的原材料为“板材”。

板材与条材的区别在于:

条材加工时只考虑长度而板材要同时考虑长、宽。

如果能把零件成组看待，板条就是这样一种零件组:

其在一个方向上的长度等于或近似于原材料的长（或宽）方向的长度;然后在另一个方向即原材料的宽（或长）方向进行裁剪（这样，二维下料问题因“板条”的引入便降为一维下料问题。

零件的宽度决定板条的种类，当种类确定后，则要在不超过宽（或长）度的前提下在原材料上进行板条的布局（有若干种）。

而布局方式一旦确定，就只剩下每个板条内部零件组的组合问题，这时就可利用一维中求解下料问题的启发式多级序列线性优化的方法来解决。

其建模的具体过程类似于一维的分层建模思想，即先满足原材料最少要求，再从中选出其中满足时间要求的二维下料最优方案。

3

四、模型的建立与求解

问题1（一维下料模型

第一阶段:

无时间约束搜寻下料方式

一维下料模型一启发式多级序列线性优化方法

该模型的基本思想是在每级求解时，尽可能多的重复使用最优的一种方法进行下料，直到所涉及到的某种零件需求加工完;然后对剩余的零件重复上步的操作，直到所有剩余的零件数目均减小至零为止。

原问题的最优解就是各个序列优化问题所求得的最优下料方式的总和。

l，l，,,,，lb，b，,,,，bm12m12m给定种长度的零件，所需的数量分别为，已知原材料长度

aiiL为。

设在最优一种下料方式中，第件零件的加工数量为，由此建立如下模型:

m

maxS,al,iii,1

m,alL,,,iist,,1i

0,a,b，i,1，2，,,,，mii,

a，a，,,,，a12m优化参数变量:

均为非负整数，且不同长度的零件种类有限（即该问题中要求的变量个数有限），可用分枝定界法来求解。

启发式多级序列线性优化计算方法将上述当前最优下料方式计算求解作为多级序列线性优化计算的子程序，在每级求解中重复调用。

完整的求解步骤如下:

步骤1将53种零件中待切割的最长零件作为第一搜索顺序，调用当前最优下料计算子程

m

al,iialiii,1序，求解得到优化值组成的，此时零件之间种类和数量的组合作为第一级下料方式。

dL步骤2计算此种下料方式的重复次数，即此种下料方式所需原材料的根数。

其中

,，，，，，，bbbm12,,,,d，，，min,,,,,,,,aaa12m，，，，，，,,。

b,b,daiiid步骤3计算去掉根后，余下的每种待切割的零件个数置为:

。

bbii步骤4将作为新一级优化计算的给定值，如果所有的都已减小至零，则优化计算结束;否则转至步骤l，重新用当前最优下料方式计算子程序，求得新一级的下料方式和重复次数。

步骤5各级最优下料方式及其重复次数的集合即为多级序列线性优化的最终结果。

4

5

一维问题算法流程图

按照上步骤进行编程求解，利用反复调用函数求解当前最优下料方式Mathematica

（程序见附录一），得出结果如下表1-1:

表1-1最优方案性能参数

下料方式数（种）耗用原材料数目（根）利用率废料总长度（mm）

6481197.60%58012第二阶段:

有交货时间限制的下料方式

在第一阶段中，我们在没有时间限制的条件下笼统地列出了完成全部零件的