中考数学专题练习三角形Word下载.docx

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AMN的周长等于2。

M'

（2）“全等三角形”在综合题中的应用

例5.如图5,已知：

点C是/FAE的平分线AC上一点，CE!

AECF丄AF,E、F为垂足。

点B在AE的延长线上，点D在AF上。

若AB=21,AD=9,BC=DC=10。

求AC的长。

F

DC

AEB

图5

5、中考点拨

例6.如图，在ABC中，已知/B和/C的平分线相交于点F,过点F作DE//BC,交AB

于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE的长为（）

A.9B.8C.7D.6

DF\E

BC

6、题型展示

例7.已知：

如图6,ABC中，AB=AC/ACB=90°

D是AC上一点，AE垂直BD的延

1长线于E,AEBD。

BD平分/ABC

例8.某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。

如图

花坛外有满足条件PB=AB的一棵树P,现要在花坛内装一喷水管

件AD=BD,/DBP=DBC才能使花坛内全部位置及树

为多少度时，才能达到上述要求?

H

C

图6

7,在正三角形ABC

D,点D的位置必须满足条

P均能得到水管D的喷水，问/BPD

图7

【实战模拟】

1.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm,则这个等腰三角形

底边的长为。

2.在锐角ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC,则/ABC=。

3.如图所示，D是ABC的/ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。

试比较/BAC与

/B的大小关系。

12

DCE

4.如图所示，AB=AC/BAC=90°

M是AC中点，AE±

BM

/AMB=ZCMD

，求证：

a、b、c一定是

5.设三个正数a、b、c满足a2b2c22a4b4c4

某个三角形三边的长。

【试题答案】

1.

180°

间接

证明：

由ADLBC于D,可得/CAD=ZABC

又ABD

ABEEBD

贝UZABD

ZEBD

可证ZCAD

即ZBED

ZC

说明：

在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于求得。

2.证明：

延长AM到D,使MD=AM连接BD

在CMA和BMD中，AMDM，/AMCZDMB,CMBM

CMABMD

BDAC

在ABD中，ABBDAD，而AD2AM

ABAC2AM

AM—ABAC

在分析此问题时，首先将求证式变形，得2AMABAC，然后通过倍长中

线的方法，相当于将AMC绕点旋转180°

构成旋转型的全等三角形，把ACAB2AM转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。

很自然有

11

-ABACAM-ABAC。

请同学们自己试着证明。

22

3.证明：

过M作MGLAD于G•/DM平分ZADCMCIDCMG_AD

•••MC=MG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等）

•/MC=MB•MG=MB

而MGLAD,MBLAB

•M在ZADC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）

•DM平分ZADC

本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG=

MB同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。

4.分析：

欲证AMN的周长等于2，需证明它等于等边ABC的两边的长，只需证

MNBMCN。

采用旋转构造全等的方法来解决。

以点D为旋转中心，将DBM顺时针旋转120。

，点B落在点C的位置，点M落在M'

点的位置。

得：

ZMBD=ZNCD=90°

RtMBDRtM'

CD

ZDCM'

ZDBM90

•ZNCD与ZDCM构成平角，且BM=CM,DM=DM'

ZNDM-ZNDOZCDM'

=ZNDC

+ZBDM=120°

—60°

=60°

在MDN和M'

DN中，

DMDM'

，/MDNZM'

DN60,DNDN

MDNM'

DN（SAS）

MNM'

N

NM'

CCNBMCN

MNBMCN

AMN的周长AMANMNAMANBMCNABAC2

通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。

5.分析：

要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是已知长度

的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE、

CE的长，使问题得以解决。

解:

•/AC平分ZFAECF丄AF，CE丄AE

•••CF=CE

CFCE

ZFZCEA90

ACAC

ACFACE（HL）

AFAE

CDBC

ZFZCEB90

CDFCBE（HL）

•BE=DF

设BEDFx，则AEABBE21x,AFADDF9x

AEAF，21xx9，x6

在RtBCE中，CE.BC2BE2.102628

在RtACE中，AC.AE2CE2,21628217

答：

AC的长为17。

6.分析：

初看此题，看到DE=DF+FE后，就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得DE,但

由于DF与FE的长都无法求出，于是就不知怎么办了？

其实，若能注意到已知条件中的“BD

+CE=9”，就应想一想，DF+FE是否与BD+CE相关？

是否可以整体求出？

若能想到这一点，就不难整体求出DF+FE也就是DE的长了。

解：

•/BF是/B的平分线

•••/DBF=ZCBF

又DE//BC

•••/DFB=ZCBF

•••/BDF=ZDFB

•DF=BD

同理，FE=CE

•DF+FE=BD+CE=9

即DE=9

故选A

7.分析：

要证/ABD=ZCBD可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。

注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。

简证：

延长AE交BC的延长线于F

易证ACFBCD（ASA或AAS

AFBD

AEBD

AE-AFEF

于是又不难证得BAEBFE（SAS）

/ABD/CBD

•BD平分/BAC

通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。

8.分析：

此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：

如

图7,D为正ABC内一点，P为正ABC外一点，PB=ABAD=BD,/DBP=ZDBC求/

BPD=?

在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。

连CD

BPABBC

ZDBPZDBC

BDBD

PBDCBD（SAS）

ZBPDZBCD

ACBC

又ADBD

CDCD

ACDBCD（SSS

ZACDZBCD30

ZBPD30，即ZBPD30时，才能达到要求。

实战模拟答案

1.5cm

2.45

3.分析：

如图所示，ZBAC是ACD的外角，所以BAC1

因为Z1=Z2，所以ZBAC>

Z2

又因为Z2是BCD的外角，所以Z2>

ZB,问题得证。

ZBAOZB

vZCD平分ZACE•••/1=Z2

vZBAOZ1,•••/BAOZ2

vZ2>

ZB,「.ZBAOZB

4.证明一：

过点C作CF丄AC交AD的延长线于F

又/BAC=ZACQ90°

AC=AB

ABMCAF

AMCF,ZFZAMB

又AMkMC二MC=CF

又Z3=Z4=45°

CD=CD

CDMCDF

ZFZCMD

ZAMBZCMD

证明二：

过点A作AN平分ZBAC交BM于N

90

/2/BAE/3/BAE

/2/3

又AN平分/BAC

Z1ZC45

又AB=AC

ABNCAD

ANCD

又ZNAMZC45

AM=CM

NAMDCM

ZAMBZCMD

若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用

和它相等的量代换。

若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。

5.证明：

由已知得：

4a

.44几2^2

bc2ab

2b2c2

r22

2ca

2a4

4

2b2c

即a4

442

bc2a

b22b2c2

b2ab

2c2a22b

224

cc

4a2

b20

22〜22

.24

■2.2

a

b2ca

bc

4ab

.2

b

c

2ab

2ab0

ab

a1

bca

c0

ca

cb

a、b、c是某一三角形三边的长。