误差理论与数据处理.docx
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误差理论与数据处理
误差理论与数据处理
实验指导书
测控技术与仪器教学部
目录
实验一误差的基本概念
实验二误差的基本性质与处理
实验三误差的合成与分配
实验四测量不确定度
实验五线性参数的最小二乘法处理
实验六回归分析
实验七虚拟直线拟合演示仪
实验八直线位移传感器输出电压与位移直线拟合
matlab软件介绍
MATLAB语言是当今国际上科学界（尤其是自动控制领域）最具影响力、也是最有活力的软件。
它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。
它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。
MATLAB语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。
实验一误差的基本概念
一、实验目的
通过实验了解误差的定义及表示法、熟悉误差的来源、误差分类以及有效数字与数据运算。
二、实验原理
1、误差的基本概念
所谓误差就是测量值与真实值之间的差，可以用下式表示
误差=测得值-真值
（一）绝对误差
某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差。
绝对误差=测得值-真值
（二）相对误差
绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差，因测得值与真值接近，故也可以近似用绝对误差与测得值之比值作为相对误差。
相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值
（三）引用误差
所谓引用误差指的是一种简化和使用方便的仪器仪表表示值的相对误差，它以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得的比值称为引用误差。
引用误差=示值误差/测量范围上限
2、精度
反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度，它与误差大小相对应，因此可以用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。
精度可分
ⅰ准确度它反映测量结果中系统误差的影响程度
ⅱ精密度它反映测量结果中随机误差的影响程度
ⅲ精确度它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可以用测量的不确定度来表示。
3、有效数字与数据运算
含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
数字舍入规则如下：
①若舍入部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。
②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。
③若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。
即当末位为偶数时则末位不变，当末位为奇数时则末位加1。
三、实验内容
1、用自己熟悉的语言编程实现对绝对误差和相对误差的求解。
2、按照数字舍入规则，用自己熟悉的语言编程实现对下面数据保留四位有效数字进行凑整。
原有数据
3.14159
2.71729
4.51050
3.21551
6.378501
舍入后数据
四、实验总结
运行编制的程序，分析运行结果，并写出实验报告。
实验二误差的基本性质与处理
一、实验目的
了解误差的基本性质以及处理方法
二、实验原理
（1）正态分布
设被测量的真值为，一系列测量值为，则测量列中的随机误差为
=-（2-1）
式中i=1，2，…..n.
正态分布的分布密度（2-2）
正态分布的分布函数（2-3）
式中-标准差（或均方根误差）；
它的数学期望为
（2-4）
它的方差为
（2-5）
（2）算术平均值
对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义
在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n而得的值成为算术平均值。
设，，…,为n次测量所得的值，则算术平均值
算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值必然趋近于真值。
-
——第个测量值，=
——的残余误差（简称残差）
2、算术平均值的计算校核
算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：
当为未经凑整的准确数时，则有
1）残余误差代数和应符合：
当=，求得的为非凑整的准确数时，为零；
当>，求得的为凑整的非准确数时，为正；其大小为求时的余数。
当<，求得的为凑整的非准确数时，为负；其大小为求时的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合：
当n为偶数时，A;
当n为奇数时，
式中A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。
（3）测量的标准差
测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差
式中—测量次数（应充分大）
—测得值与被测量值的真值之差
2、测量列算术平均值的标准差
3、标准差的其他计算法
1．别捷尔斯法
三、实验内容：
1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
24.674
24.675
24.673
24.676
24.671
24.678
24.672
24.674
假定该测量列不存在固定的系统误差，则可按下列步骤求测量结果。
1、算术平均值
2、求残余误差
3、校核算术平均值及其残余误差
4、判断系统误差
5、求测量列单次测量的标准差
6、判别粗大误差
7、求算术平均值的标准差
8、求算术平均值的极限误差
9、写出最后测量结果
四、实验总结
运行编制的程序，分析运行结果，并写出实验报告。
实验三误差的合成与分配
一、实验目的
通过实验掌握误差合成与分配的基本规律和基本方法。
二、实验原理
（1）误差合成
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。
因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，这种误差为函数误差。
研究函数误差的内容实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误差计算，称为误差合成。
●随机误差的合成
随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。
1．标准差的合成
若有q个单项随机误差，他们的标准差分别为，，…，，其相应的误差传递系数为，，…，。
根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总标准差为
一般情况下各个误差互不相关，相关系数=0，则有
2．极限误差的合成
在测量实践中，各个单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示，因此极限误差的合成也很常见。
若已知个单项极限误差为，，，，且置信概率相同，则按方和根合成的总极限误差为
●系统误差的合成
系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志，系统误差越大，准确度越低；反之，准确度越高。
1、已定系统误差的合成
已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。
在测量过程中，若有r个单项已定系统误差，其误差值分别为，，…，，相应的误差传递系数为，，…，，则代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为：
2、未定系统误差的合成
①标准差的合成：
若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分别为其相应的误差传递系数为则合成后未定系统误差的总标准差为
当=0，则有
②极限误差的合成
因为各个单项未定系统误差的极限误差为
=1，2，…s
总的未定系统误差的极限误差为
则可得
当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且=0，则有
●系统误差与随机误差的合成
当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将其进行综合，以求得最后测量结果的总误差。
1、按极限误差合成
若测量过程中有r个单项已定系统误差，s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，他们的误差值或极限误差分别为
，，…，
，，…，
，，，
设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的极限误差为
R——各个误差间协方差之和
当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，上式可简化为
系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根
2、按标准差合成
用标准差来表示系统误差与随机误差的合成公式，只需考虑未定系统误差与随机误差的合成问题。
若测量过程中有s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，他们的标准差分别为
为计算方便，设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的标准差为
式中R为各个误差间协方差之和，当合格误差间互不相关时，上式可简化为
对于n次重复测量，测量结果平均值的总标准差公式则为
（2）误差分配
测量过程皆包含多项误差，而测量结果的总误差则由各单项误差的综合影响所确定。
给定测量结果总误差的允差，要求确定各单项误差就是误差分配问题。
1、现设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，则有
=
=
——函数的部分误差。
若已给定，需确定或相应，使满足
式中可以是任意值，为不确定解，需按下列步骤求解。
1按等作用原则
2按可能性调整误差
3验算调整后的总误差
三、实验内容
1、弓高弦长法简介测量大直径。
直接测得弓高h、弦长s，根据h，s间的函数关系利用熟悉的语言编程求解出直径D，以及直径的系统误差、随机误差和所求直径的最后结果。
=50mm,=-0.1mm,0.05
=500mm,=1mm,=0.1
四、实验总结
运行编制的程序，分析运行结果，并写出实验报告。
实验四测量不确定度
一、实验目的
测量不确定度是评定测量结果质量高低的一个重要指标。
通过本次实验要求掌握测量不确定的基本概念、测量不确定度的评定方法、测量不确定度的合成以及评定和表示测量不确定度的基本步骤。
二、实验原理
（1）测量不确定度
测量不确定度是指测量结果变化的不肯定，是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计，是测量结果含有的一个参数，用以表示被测量值的分散性。
（2）标准不确定度的评定
A类评定：
用统计法评定，其标准不确定度u等同于由系列观测值获得的标准差，即u=。
B类评定：
不用统计法评定，而是基于其他方法估计概率分布或分布假设来评定标准差并得到标准不确定度。
（3）合成标准不确定度
当测量结果受到多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度用各标准不确定度分量合成所得的合成标准不确定度表示。
在间接测量中，被测量Y的估计值y是由N个其他量的测得值的函数求得，即
且各直接测的值的测量标准不确定度为，它对被测量值影响的传递系数为则由引起被测量y的标准不确定度分量为
而测量结果y的不确定度应是所有不确定度分量的合成，用合成标准不确定度来表征，计算公式为
为任意两个直接测量值与的相关系数。
若、的不确定度相互独立，即=0，则合成标准不确定度计算公式可表示为
当=1，且、同号，或=-1，且、异号，则合成标准不确定计算公式可表示为
若引起不确定度分量的各种因素与测量结果没有确定的函数关系，则应根据具体情况按A类或B类评定方法来确定各不确定度分量的值，然后按照上述不确定度合成方法求得合成标准不确定度为
（4）测量不确定度计算步骤
1分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确定度分量；
2评定标准不确定度分量，并给出其数值和自由度；
3分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系数；
4求测量结果的合成标准不确定度及自由
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