初三数学经典例题Word下载.docx
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【4】如果关于x的方程x2-2（1-k）x+k2=0有实数根a,3,那么a+B的取值范围.
根与系数的关系；
根的判别式.
先根据方程有实数根，求出k的取值范围，再根据根与系数的关系求出a+3的取值
范围.
t关于x的方程x2-2（1-k）x+k2=0有实数根a,3,
•••△=[-2（1-k）]2-4X1Xk2>
0,
解得kv12,
T'
a,3是二次函数的两个根，
•a+3=2（1-k）=2-2k,
又•••kv12,
•a+3》1.
此题主要考查了根与学生的关系，将根与系数的关系与不等式变形相结合解题是一种
经常使用的解题方法.
《图形的旋转》
【1】如图，分别以正方形ABCD勺边ABBC为直径画半圆，若正
方形的边长为a，则阴影部分面积为.
相交两圆的性质.
根据两段半圆的交点即为正方形的对称中心，连接ACBD将两个弓形分别进行旋
转，即可将所求的阴影部分的面积转化为半个正方形的面积，即可得出答案.
因为两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为0,连
接AC,则AC必过点0,连接0B
将弓形OmB绕点0旋转并与弓形OaA重合；
同理将弓形OnB绕点0旋转并与弓形ObC重合，
此时阴影部分的面积正好是△ADC的面积，即正方形面积的一半；
因为正方形的边长为a,
所以正方形的面积为为a2,
所以阴影部分的面积为：
？
a2;
故答案为：
a2.
此题考查了相交两圆的性质，此题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，难度适
中，关键是将所求的阴影部分的面积转化为半个正方形的面积.
【2】如图，已知△ABC中，AB=8AC=6AD是BC边的中线，贝UAD的
范围是,
三角形三边关系分析：
延长AD到点E,使DE=AD连接BE,易证明△ADC^^BDE得到BE=AC
在厶ABE中，根据三角形三边关系，得2VAE<
14,即2v2AD<
14,所以AD的范围是KAD
V7；
延长AD到点E,使DE=AD连接BE.
•/BD=CDDE=ADZADC=/EDB=
•••△ADC^ABDE
•••BE=AC
在厶ABE中，根据三角形三边关，得2<
AEV14,即2<
2AD<
14,所以AD的范围是1VAD<
7;
本题考查了三角形的三边关系及全等三角形的判定；
通过作辅助线--倍长中线，把要
求的线段和已知的线段转换到一个三角形中，根据三角形的三边关系求解是正确解答本题的
关键.
《圆》
【1】B是OO的直径P是AB上一点（不与A、B重合）,C是O上一点，试问线段PA,PC,PB三者之间有怎样的数量关系？
考点：
圆的半径；
三角形三边关系
连接OC。
根据三角形两边之和大于第三边及同圆内半径都相等进行进一步解题，即可求出答案。
连接OC，
可知：
AO=CO=B（半径）
根据三角形两边之和大于第三边，可知：
PC+PO>
CO,PC<
CO+PO
而CO=AO=BO=AP+PO,CO+PO=PO+BO=PB
•••PC+PO>
AP+PO,PC<
PB
•••AP<
CP<
BP
【2】
（2004?
本溪）已知点
弦长可能取到的整数值为（
P是半径为5的圆O内一定点，且OP-4则过点P的所有弦中,
）
A.5,4,3B
C.10,9,8,7,6
.10,9,8,7,6,5,4,3
D.12,11,10,9,8,7,6
垂径定理；
勾股定理.
6，因此过点P的所有弦中整数值是6、7、89、10五个值.
点P是圆内的定点，所以过点P最长的弦是直径等于10,
最短的弦是垂直于0P的弦，如图示，OPLAB,
•••AP=BP
由题意知，0A=50P=4
在Rt△AOP中,AP=52-42=3,
•AB=6,即过点P的最短的弦长为6,
所以过P的所有弦中整数值是6、7、&
9、10.
故选C.
解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角
形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d,则有等式r2=d2+（a/2）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个.
【3】
（2010?
芜湖）如图所示，在圆OO内有折线OABC其中OA=8
AB=12/A=ZB=60°
贝UBC的长为（）
A.19B.16C.18D.20
等边三角形的判定与性质.
延长AO交BC于D,根据/A/B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出ODBD的长；
过O作BC的垂线，设垂足为E;
在Rt△ODE中，根据OD的长及/ODE勺度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；
由垂径定理知BC=2BE由此得解.
延长AO交BC于D,作OELBC于E;
•••/A=ZB=60°
aZADB=60;
•••△ADB为等边三角形；
•••BD=AD=AB=12
•OD=4又I/ADB=60,
•DE=12OD=2；
•BE=10;
•BC=2BE=20
故选D.
此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用.
【4】
德州）已知三角形的三边长分别为：
3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公
共点个数所有可能的情况是（）
A.0，1，2，3B.0,1,2,4C.0,1,2,3,4D.0,1,2,4,5
直线与圆的位置关系.
根据勾股定理可得三角形为直角三角形，求出三角形内切圆的半径为1，圆在不同的
位置和直线的交点从没有到最多4个.
32+42=25,52=25,
•••三角形为直角三角形，
设内切圆半径为r，则
1/2（3+4+5）r=1/2X3X4,
解得r=1,
所以应分为五种情况：
当一条边与圆相离时，有0个交点，
当一条边与圆相切时，有1个交点，
当一条边与圆相交时，有2个交点，
当圆与三角形内切圆时，有3个交点，
当两条边与圆同时相交时，有4个交点，
故公共点个数可能为0、1、2、3、4个.
本题考查线段与圆的交点的情况，需要考虑所有的可能情况，先求出内切圆半径是解
题的关键.
【5】某地有一座圆弧形拱桥，圆心为0,桥下水面宽度为7.2m,过0作OCLAB于D,交圆弧于C,CD=2.4m（如图所示）.现有一艘宽3m船舱顶部为方形并高出水面AB2m的货船要经过
拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
垂径定理的应用.
连接ON0B通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）.先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OEN中勾股定理求出
EN的长，从而求得MN的长.
AB2m
如图，连接ON0B
•/OCLAB,
•••D为AB中点，
•/AB=7.2m,
•BD=12AB=3.6m.又CD=2.4m
设OB=OC=ON=r则OD=r-2.4m.
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：
r2=解得r=3.9m.
•/CD=2.4m船舱顶部为方形并高出水面
•CE=2.4-2=0.4m,
--OE=r-CE=3.9-0.4=3.5m,
在Rt△OEN中,EN2=ON2-OE2=3.92-3.52=2.96,•EN=2.96.
•MN=2EN=Z2.96〜3.44米〉3米.
•••此货船能顺利通过这座拱桥.
解决此类桥拱问题，通常是利用半弦，半径和弦心距构造直角三角形，根据直角三角
形中的勾股定理作为相等关系解方程求线段的长度.要注意本题是通过求距离水面2米高处
即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）.
【6】
（2005?
河南）空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，△ABG是等边三角形，C、D是以AB为直径的半圆O的两个三等分点，CGDG分别交AB于点E、F,试判断点E、F分别位于所在线段的什么位置？
并证明你的结论（证明一种情况即可）•
圆心角、弧、弦的关系；
圆周角定理；
相似三角形的判定与性质.
作出辅助线OC//AG便可证明出△AE3AOEC于是可知各线段的比，求出AE=EF=FB
•••点E、F均为所在线段的三等分点，
连接OC设圆的半径长是r，则AB=AG=2r
•••/COA=60，/GAC=60,
•••OC//AG
•••△AE3AOEC
••OEAE=COAG=r：
2r=1:
2,
又•••OE=OF=12EF
•EF：
AE=1:
1,
同理可证：
BF：
FE=1：
1,
故AE=EF=FB
本题将实际问题和三角形相似，圆心角、弧、弦之间的关系联系起来，体现了数学应用于生活，来源于生活的理念.
y轴的直线交圆于
P点在Q点的下方，若P点坐标是（2，1），则圆心
A.（0,3）
B.（0,5/2）C.（0,2）D.（0,3/2）考点：
坐标与图形性质；
勾股定理；
切线的性质.
连接MP过M作MALPQ于A,设OM的半径为R,所以MP=RPA=R-1,MA=PB=2根据勾股定理则有：
MP2=MA2+PA2即可求得R=5/2.
连MP,过M作MALPQ于A贝UPB=MA=2设OM的半径为R,贝UMP2=MA2+PA2
即R2=22+（R-1）2,
解得R=5/2,
解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理
求解.
【8】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门
MN进攻.当甲带球部到A点时，乙随后冲到B点，如图所示，此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？
为什么？
（不考虑其他因素）
圆周角定理.
谁射门好，关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小，当张角越大时，射中的机
会就越大.由图得/B=ZNCM而/NCIM>
ZA,所以/B>
ZA,于是将球回传给乙好些.
迅速回传乙，让乙射门较好.
因为在不考虑其他因素的情况下，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位
置，关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小，当张角越大时，射中的机会就越大，如
图所示，则/AvMCNMB，即/B>
ZA,从而B处对MN的张角较大，在B处射门射中的机会大些.
本题考查了圆周角定理.在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所
对的圆周角是它所对的圆心角的一半.也考查了三角形外角的性质.
【9】如图，/ACB=60，半径为2的OO切BC于点C,若将OO在CB上向右滚动，则当滚动到OO与CA也相切时，圆心0移动的水平距离为（）
A.2nB.4nC.2V3D.4
如图，根据角平分线性质定理的逆定理，得/BCO=30，根据直角三角形的性质求得
0C再根据勾股定理求出CF即可.
如图，连接OCOEOF,
TOO与AC和BC都相切，E和F为切点,
•••OF丄BC,OELAC,
•••/ACB=60,OF=OE
•••/BCO=30,
•/OF=2,
•OC=4
•••由勾股定理得，OF2+CF2=CQ2
•CF=2V3.
2V3.
本题考查了切线的性质、勾股定理以及角平分线性质的逆定理，是基础知识要熟练掌
握.
【10】
绍兴）如图为某机械装置的截面图，相
切的两圆O01,0O2均与OO的弧AB相切，且0102//11（11为水平线），O01,002的半径均为30mm弧AB的最低点到11的距离为30mm公切线12与11间的距离为100mm则O0的半径为（）考点：
相切两圆的性质.
设O0的半径为R,由图可知，CE=100-30=70,DE=CE-CD=70-30=4Q0D=0E-DE=R-40在Rt△001D中，运用勾股定理求R.
如图，设O0的半径为Rmm依题意，得
CE=100-30=70,
•/12/002,•••CD=01D=30
DE=CE-CD=70-30=40
0D=0E-DE=R-40
在Rt△001D中,010=R-3Q01D=3Q
由勾股定理，得0112+0D2=01（2,
即302+（R-40）2=（R-30）2,解得R=80mm故选B.
根据直线与圆相切，圆与圆相切及题中的数量关系，把问题转化到直角三角形中，用勾股定理求解，是解决圆的问题常用的方法.
【11】在Rt△ABC中，/C=90°
AC=3,BC=4若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是.
直线与圆的位置关系；
垂线段最短；
勾股定理•专题：
分类讨论•分析：
此题注意两种情况：
（1）圆与AB相切时；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时.
根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联
系进行求解.
C
如图，•••BOAC,
•••以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点.X\
根据勾股定理求得AB=5.
分两种情况：
-
（1）圆与AB相切时，即r=CD=3X4-5=2.4;
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC<
r<
BC,即3vr<
4.
•3<
4或r=2.4.
本题利用的知识点：
勾股定理和垂线段最短的定理；
直角三角形的面积公式求解；
直线与圆的位置关系与数量之间的联系.
【12】
（2002?
南昌）如图，正三角形ABC的边长为6厘米，OO的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB-BC-CA运动，回到点A时，OO随着点O的运动而移动.
（1）若r=V3厘米，求OO首次与BC边相切时，AO的长.
（2）在0O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况写出不同情况下X的取值范围及相应的切点个数.
（3）设0O在整个移动过程中，在△ABC内部、OO未经过的部分的面积为S,在S>
0时，求S关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围.
等边三角形的性质；
解直角三角形.
专题：
综合题；
压轴题.
（1）求人0的关键是求出BQ如果设与BC相切时切点为D的话，可在直角三角形BOD中用半径的长和/ABC的正弦值求出BO的长，也就能求出AO的长了.
（2）考虑直线与圆的位置，只需考虑半径的长以及圆心到直线的距离即可.
当圆的半径正好等于等边三角形的高的时候，那么只有圆心在等边三角形三个顶点时，圆才
与等边三角形相切；
当圆的半径小于高时（半径应大于0）,在每一条边运动时都要与三角形的两边相切即切点
有两个，那么走完3条边后切点应有6个；
当圆的半径大于高的时候，圆与三角形的三边相交或三角形在圆内，因此没有切点.
（3）本题的关键是求出内部三角形的边和相应的高.
根据题意我们不难得出内部的三角形应该和三角形ABC相似，即内部的三角形也应该是等边
三角形.
如果设这个三角形为AB'
C'
那么可作出三角形ABC和A'
B'
的高来求解.连接AA'
并延长其交B'
BC于E,F,那么AE就应该是内部三角形的高，如果求出了高就可以通过三角函数求出内部三角形的边长也就能求出它的面积，因此求AE长就是
解题的关键.
我们观察后发现，EF=r，而AF可以在三角形ABC中求出，那么关键是求AA,可通过构建直角三角形求解.
过A'
作AG丄AB于G,那么A'
G=r,那么我们可根据/AAG的度数用三角函数和r表示出AA'
，这样就能求出AE和内部三角形的边长了，那么根据三角形的面积公式就能得出关于S,r的函数解析式了.
解直角三角形等多个知识
需：
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r<
3）
本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、
占
八、、♦
【13】
无锡）如图，已知点A（63,0）,B（0,6），经过AB的直线I以每秒1个
单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线I上以每秒1个单位的速度沿直线I向右下方向作匀速运动.设它们运动的时间为t秒.
（1）用含t的代数式表示点P的坐标；
（2）过O作OdAB于C,过C作CDLx轴于D,问：
t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？
并说明此时OP与直线CD的位置关系.
一次函数综合题.
代数几何综合题.
【14】如图，点A,B,C,D在OO上，AB=ACAD与BC相交于点E,AE=1/2ED，延长DB到点F,使FB=1/2BD,连接AF.求证：
直线AF与OO相切.
切线的判定.
连OA由AE=1/2ED,FB=1/2BD，贝UAE:
ED=FBBD,根据平行线分线段成比例定理得到BE//AF;
由AB=AC根据垂径定理的推论得到OALBC,贝UOALAF,根据切线的判定
定理即可得到结论.
证明：
连OA如图,
•/AE=1/2ED,FB=1/2BD,
•••AE：
ED=FBBD,
•••BE/AF,
又•••AB=AC
•••弧AB=MAC,
•••OA!
BC,
AF,
•直线AF与OO相切.
也考查
本题考查了切线的判定定理：
过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线.
了垂径定理的推论以及平行线分线段成比例定理.
【15】如图，AB是OO的直径，点P在BA的延长线上,弦CDLAB垂足为E,且PC2=PE?
PO
（1）求证：
PC是OO的切线.
（2）若OEEA=1:
2,PA=6,求OO的半径.
（3）在
（2）的条件下，求sin/PCA的值.
切线的判定与性质；
相似三角形的判定与性质；
锐角三角函数的定义.
（1）连接OC根据PC2=PEP0和/P=ZP,可证明△PC3APEC则/PCO2PEC再由已知条件即可得出PC丄OC
（2）设OE=x贝UAE=2x,根据切割线定理得PC2=PAPB贝UPA?
PB=PRPQ解一元二次方程即可求出x，从而得出OO的半径；
（3）连接BC,根据PC是OO的切线，得/PCA=/B,根据勾股定理可得出CEBC,由三角函数的定义可得出答案.
翳合；
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