等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析.doc

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等差数列及其前n项和

【考纲说明】

1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质.

2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

3、体会等差数列与一次函数的关系.

4、本部分在高考中占5-10分左右.

【趣味链接】

　高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。

彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。

而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：

第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。

这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。

【知识梳理】

一、等差数列的相关概念

1、等差数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d表示。

2、等差中项

如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：

或

推广：

3、等差数列通项公式

若等差数列的首项是，公差是，则．

推广：

，从而。

4、等差数列的前项和公式

等差数列的前项和的公式：

①；②．

5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系

（数列的前n项的和为）.

二、等差数列的性质

1、等差数列与函数的关系

当公差时，

（1）等差数列的通项公式是关于的一次函数,斜率为；

（2）前和是关于的二次函数且常数项为0。

2、等差数列的增减性

若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，

若公差，则为常数列。

3、通项的关系

当时,则有，

特别地，当时，则有.

注：

4、常见的等差数列

（1）若、为等差数列，则都为等差数列。

（2）若{}是等差数列，则，…也成等差数列。

（3）数列为等差数列,每隔项取出一项仍为等差数列。

5、前n项和的性质

设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前项的和.

①当项数为偶数时，则

②当项数为奇数时，则

（其中是项数为的等差数列的中间项）

6、求的最值（或求中正负分界项）

（1）因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.

（2）①“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当，由可得达到最大值时的值.

②“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和.

即当，由可得达到最小值时的值.

三、等差数列的判定与证明

1、等差数列的判定方法：

（1）定义法：

若或（常数）是等差数列；

（2）等差中项：

数列是等差数列；

（3）数列是等差数列（其中是常数）；

（4）数列是等差数列,（其中、是常数）.

2、等差数列的证明方法：

定义法：

若或（常数）是等差数列．

【经典例题】

【例1】（2006全国）设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3＝15，a1a2a3＝80，则a11+a12+a13等于（）

A.120B.105C.90 D.75

【解析】B

【例2】（2008重庆）已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）

A.4 B.5 C.6 D.7

【解析】C

【例3】（2006全国Ⅰ）设是等差数列的前项和，若，则（）

A．B．C．D．

【解析】D

【例4】（2012四川）设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（）

A.0B.7C.14D.21

【解析】D

【例5】（2009湖南）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）

A．13B．35C．49D．63

【解析】C

【例6】（2009全国Ⅰ理）设等差数列的前项和为，若,则=.

【解析】24

【例7】（2009辽宁理）等差数列的前项和为，且则.

【解析】

【例8】（2011福建）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3.

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.

【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n-1）d

由a1=1，a3=-3，可得1+2d=-3，解得d=-2，从而，an=1+（n-1）×（-2）=3-2n；

（II）由（I）可知an=3-2n，所以Sn=n[1+（3−2n）]2=2n-n2，

进而由Sk=-35，可得2k-k2=-35，即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5，又k∈N+，故k=7为所求．

【例9】（2010山东）已知等差数列满足：

，，的前项和为.

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令（），求数列的前项和为.

【解析】（Ⅰ），

（Ⅱ）

【例10】（2010浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数{an}的前n项和Sn，满足S2S6＋15＝0.

（Ⅰ）若S5＝S.求Sn及a1;

（Ⅱ）求d的取值范围.

【解析】因为SS+15=0,

所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.

故（4a1+9d）2=d2-8.所以d2≥8.

故d的取值范围为d≤-2或d≥2.

【课堂练习】

1、（2011江西卷）设{}为等差数列，公差d=-2，为其前n项和.若，则=（）

A.18 B.20 C.22 D.24

2、（2006重庆）在等差数列中，若a4+a6=12，Sn是数列的前n项和，则S9的值为（）

A.48 B.54 C.60 D.66

3、（2009福建）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则（）

A．1 B．-1 C．2 D．

4、（2011上海）设数列的首项，则_____________.

5、（2008海南）已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=__________.

6、（2012北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若，S2=a3，则a2=______，Sn=_______.

7、（2012浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；

（2）求数列{anbn}的前n项和Tn.

8、（2012北京理）已知是等差数列，，；也是等差数列，，.

（1）求数列的通项公式及前项和的公式；

（2）数列与是否有相同的项？

若有，在100以内有几个相同项？

若没有，请说明理由.

9、（2006北京）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.

（Ⅰ）若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；

（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.

【课后作业】

1、（2007安徽）等差数列的前项和为，若（）

A．12 B．10 C.8 D．6

2、（2008广东）记等差数列的前n项和为，若，，则该数列的公

差d=（）

A．7B.6C.3D.2

3、（2009全国）等差数列中，已知，，，则n为（）

A．48B．49C.50D．51

4、（2007四川）等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（）

A．9B．10C.11D．12

5、（2008福建）设Sn是等差数列的前n项和，若（）

A．1B．－1C．2D．

6、（2010北京）已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有（）

A．α1＋α101＞0　B．α2＋α100＜0　C．α3＋α99＝0　D．α51＝51

7、（2010全国II理）如果，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则（）

A．B．C.++D．=

8、（2012北京理）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）

A．13项B．12项C.11项D．10项

9、（2007全国Ⅱ）已知数列的通项an=-5n+2,则其前n项和为Sn=.

10、（2006山东）设为等差数列的前n项和，＝14，，则＝　　　　.

11、（2011全国Ⅰ）等差数列{}的前n项和记为Sn.已知

（Ⅰ）求通项；（Ⅱ）若Sn=242，求n.

12、（2008宁夏理）已知数列是一个等差数列，且，.

（1）求的通项；

（2）求前n项和的最大值.

13、（2010全国）设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求.

【参考答案】

【课堂练习】

1、B2、B3、A4、1535、156、，

7、

（1）由Sn=，得：

当n=1时，；

当n2时，，n∈N﹡.

由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡.

（2）由

（1）知，n∈N﹡

所以，

，

，n∈N﹡.

8、解：

（1）设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2由a3=a1+2d1得

所以，

所以a2=10,a1+a2+a3=30

依题意，得解得，

所以bn=3+3（n-1）=3n

（2）设an=bm,则8n-6=3m,既①，要是①式对非零自然数m、n成立，只需

m+2=8k,,所以m=8k-2，②

②代入①得，n=3k,,所以a3k=b8k-2=24k-6,对一切都成立。

所以，数列与有无数个相同的项。

令24k-6<100,得又，所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。

9.解：

（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,

故解得d=－2,a1=20.

因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…

（Ⅱ）由得即

由①+②得－7d＜11。

即d＞－.

由①+③得13d≤－1即d≤－于是－＜d≤－

又d∈Z,故d=－1将④代入①②得10＜a1≤12.

又a1∈Z,故a1=11或a1=12.

所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…

【课后作业】

1、C2、C3、C4、B5、A6、C7、B8、A9、10、54

11、解：

（Ⅰ）由得方程组