随机过程六更新过程的推广Word格式.docx
《随机过程六更新过程的推广Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《随机过程六更新过程的推广Word格式.docx(9页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
limP(t)
tE(Yi乙)E(Y乙)
交错更新定理的应用
例:
Xn(t)1Sn(t)1SN(t)表示包含点t的更新区间的长度,求XN(t)1的极限分布
解:
设一个开-关循环对应于一个更新区间,且如果整个循环时间大于x,就说整个循环是开的,否则开着的时间就是0,即此系统在一个循环期中或者全开,或者全关着。
注意到
P(XN(t)1x)P(包含t的更新长度大于x)
P(t时刻开着)
由交错更新定理知,若F不是格点的,有
等价地有
]imP(XN(t)ix)
E(循环的开时)
E(X|Xx)P(Xx)
ydF(y)/
x
|imP(XN(t)ix)0ydF(y)/例:
假设顾客按一更新过程来到一家出售单一品种商品地商店,来到的间隔分布F是非格点的。
顾客的需求量假定是独立的,具有共同的分布
G。
商店使用如下的订货策略:
若在为一个顾客服务后的存货量低于s,
则立即订货使之达到S,否则不订货。
于是若为一顾客服务后存货量为x,则订货量为
Sx,xs
0xs
且假定订货瞬间即被补足。
设X(t)为时刻t的存货量,求Xn(x的极限分布。
设X(0)S,如果存货量为x时,我们说系统是开的。
否则是关的这是一个交错更新过程,因此
limP(X(t)x)
E(在一个循环中存货量x的时间)
E(一个循环的时间)
现在如果我们以第飞,…为相继来到的顾客的需求量且设
Nxmin(n:
YYnSx)
在一个循环中“开”的时间=
那么正是这个循环中第Nx个顾客使得存货量降到x以下,也正是第Nx个顾客结束这个循环。
因此,若记Xi(i1)为顾客来到的时间间隔,则
Xi
E(Nx)Mg(Sx)1
E(Ns)Mg(Ss)1
其中MgGi(t),因此
设X!
服从分布G,X2,X3,…独立同分布,分布F,且与X1独立,令So0,
n
SnXj,n1,且定义
i1
ND(t)sup{n:
Snt}
则称随机过程{ND(t),t0}延迟更新过程。
对于延迟更新过程,类似的有
P(ND(t)n)P(Snt)P(Sn1t)
GFn1(t)GFn(t)
令MD(t)E(ND(t)),则容易证明
MD(t)G*Fni(t)
n1
对于延迟更新过程,也有与更新过程类似的极限定理
定理:
令
xdF(x)
o
(1)
ND(t)
1
a.s.
(2)
MD(t)
(3)
若F不是格点的,则
MD(ta)M(a)
(4)若F与G是格点的,周期为d,贝U
-JlimE(时刻nd的更新次数)一n
(5)若F不是格点的,,设函数h(t),t[0,]满足
(1)h(t)非负不增;
(2)0h(t)dt
则
更新回报过程设
N(t)
R(t)Ri
i1
其中{N(t),t0}是一个更新过程,Rn,n1,2,…独立同分布,但允许Rn可
以依赖于Xn,所以我们假定(Xn,Rn)独立同分布,则称{R(t),t0}是一个更新回报过程
若更新间隔X1,X2,...,满足EX1,每次得到得回报{Rn}满足
ER1,则
/八1ER
(1)limR(t)-,a.s.
ttEX1
(2)lim〔ER(t)
ttEXi
证明:
N(t)N(t)
RR.
R(t)i1.1N(t)
ttN(t)t
由强大数定理知,当t时
R
E(R),a.s.
又由更新过程的极限性质知
N(t)1
a.s.
tE(X)
于是
(1)得证
(2)由wald等式知
N(t)N(t)1
E(RN(t)1)
E(R)E(R)E(RN(t)i)(M(t)1)E(R)
1i1
从而
ER(t)
M(t)
-E(R)
令g(t)E(RN(t)i),对第一次更新的时刻取条件得
Rxt
E(RN(tx)|X1x)
g(tx)xt
因此
g(t)
E(R1|X1
t)P(X1t)
0g(tx)dF(x)
h(t)
E(R1|X1t)(1
F(s))二
tE(R1|X1
x)dF(x)
这是
一个更新方程
g(t)h(t)0h(ts)dM(s)
E(RN(t)1|SN(t)0)E(R1|X1t)
E(RN(t)
1|SN(t)s)
E(Rn|Xnts)P(
n1
N(t)n)
若令
h(t)E
(R1|X1t)(1
F(s))二tE(R|Xi
x)dF(x)
E(|R1|)0
E(|R||X1x)dF(x)
得h(t)
0且h(t)
E(|R1|),
于是可选取T使得山(t)|对任何tT成立,由初等更新定理得
|h(t)|tt|h(tx)||h(tx)|
————dM(x)——dM(x)
t0ttTt
M(tT)E|R|M(t)M(tT)
ETXTt
因为可任意小,所以g(t)/t0,
(产品保修策略)设某公司所出售商品采取如下更换策略,若商品出售后,在期限w内损坏,则免费更换同样的产品。
若在(w,wT]期间损坏,则按使用时间折价更换新产品,并且对在(0,w]内更换的新产
品执行原来的更换期,而对在(w,wT]内折价更换的新产品,从更新时刻重新计算更换期。
请讨论长期执行此策略,厂家的期望利润是多少,假定产品一旦损坏,顾客立即更换。
退换或者购买新的?
设t0时用户购买了一个新产品,售价为C,成本为co<
c,产品的寿命为X,它的分布为F(t),EX。
设用户相邻两次购买(包括全价购买和更换,但不包括免费更换)的时
间间隔为Yi,Y2,…。
容易求出丫1飞,…独立同分布,记G(t)为丫的分布记N(t)为(0,t)时的更换次数,T为第n次更新时刻
由丫1的定义知,YiwRw(Rw是产品在w时刻的剩余寿命)依题意,更换策略为
c(yw)
T
其中y为使用时间。
设(0,Y]内用户花费为ci,则
c
qc(yiw)
¥
wT
wYwTi
从而,
cwT
Ec1c(1G(wT))(tw)d(1G(t))
利用分部积分
CT—cT
Eqt0G(wx)dx〒0PRx)
其中G(t)P(Yt),
于是
EccP(Rwx)dx
c(w,T)长期平均费用二旦1」J
E¥
T(1M(t))
在(0,w)时间内免费更换产品的个数的期望值为E(N(w))M(w)
因此,在一个购买周期(0,Y]内公司所付成本为c°
[M(w)1],公司从每个用户所得的长期平均利润为
假设乘客按照一个更新过程来到火车站,其平均来到时间间隔为。
每当有N个人在车站上等待时,就开出一辆火车。
若每当有n个乘客等待时车站就以单位时间nc元比率开支费用,且每开出一辆火车要多开支K元,求此车站每单位时间的平均费用。
解:
将火车开出视为一个循环,则车站的费用就是一个更新酬劳过程。
一个循环的平均长度是来到N个顾客所需的平均时间,因此
E(循环的长度)=N
若以Xn表示一次循环中第n个与第(n+1)个乘客来到的时间间隔,
则一个循环的平均费用为
E(—次循环的费用)
E(cX12cX2c(N1)XN1)K
cN(N1)K
2
因此,平均费用是
c(N1)K
2N
习题:
1、应用交错更新定理求剩余寿命和年龄的分布。
2、证明P(XN(t)1x)1F(x)