随机过程六更新过程的推广Word格式.docx
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limP（t）
tE（Yi乙）E（Y乙）
交错更新定理的应用
例：
Xn（t）1Sn（t）1SN（t）表示包含点t的更新区间的长度，求XN（t）1的极限分布
解：
设一个开-关循环对应于一个更新区间，且如果整个循环时间大于x，就说整个循环是开的，否则开着的时间就是0,即此系统在一个循环期中或者全开，或者全关着。
注意到
P（XN（t）1x）P（包含t的更新长度大于x）
P（t时刻开着）
由交错更新定理知，若F不是格点的，有
等价地有
]imP（XN（t）ix）
E（循环的开时）
E（X|Xx）P（Xx）
ydF（y）/
x
|imP（XN（t）ix）0ydF（y）/例：
假设顾客按一更新过程来到一家出售单一品种商品地商店，来到的间隔分布F是非格点的。
顾客的需求量假定是独立的，具有共同的分布
G。
商店使用如下的订货策略：
若在为一个顾客服务后的存货量低于s,
则立即订货使之达到S,否则不订货。
于是若为一顾客服务后存货量为x，则订货量为
Sx,xs
0xs
且假定订货瞬间即被补足。
设X（t）为时刻t的存货量，求Xn（x的极限分布。
设X（0）S,如果存货量为x时，我们说系统是开的。
否则是关的这是一个交错更新过程，因此
limP（X（t）x）
E（在一个循环中存货量x的时间）
E（一个循环的时间）
现在如果我们以第飞,…为相继来到的顾客的需求量且设
Nxmin（n:
YYnSx）
在一个循环中“开”的时间=
那么正是这个循环中第Nx个顾客使得存货量降到x以下，也正是第Nx个顾客结束这个循环。
因此，若记Xi（i1）为顾客来到的时间间隔，则
Xi
E（Nx）Mg（Sx）1
E（Ns）Mg（Ss）1
其中MgGi（t），因此
设X!
服从分布G,X2,X3，…独立同分布，分布F,且与X1独立，令So0,
n
SnXj,n1，且定义
i1
ND（t）sup{n:
Snt}
则称随机过程{ND（t）,t0}延迟更新过程。
对于延迟更新过程，类似的有
P（ND（t）n）P（Snt）P（Sn1t）
GFn1（t）GFn（t）
令MD（t）E（ND（t）），则容易证明
MD（t）G*Fni（t）
n1
对于延迟更新过程，也有与更新过程类似的极限定理
定理:
令
xdF（x）
o
（1）
ND（t）
1
a.s.
（2）
MD（t）
（3）
若F不是格点的，则
MD（ta）M（a）
（4）若F与G是格点的，周期为d,贝U
-JlimE（时刻nd的更新次数）一n
（5）若F不是格点的，，设函数h（t）,t[0,]满足
（1）h（t）非负不增；
（2）0h（t）dt
则
更新回报过程设
N（t）
R（t）Ri
i1
其中｛N（t）,t0｝是一个更新过程，Rn，n1,2,…独立同分布，但允许Rn可
以依赖于Xn，所以我们假定（Xn,Rn）独立同分布，则称｛R（t）,t0｝是一个更新回报过程
若更新间隔X1,X2,...,满足EX1，每次得到得回报｛Rn｝满足
ER1，则
/八1ER
（1）limR（t）-,a.s.
ttEX1
（2）lim〔ER（t）
ttEXi
证明：
N（t）N（t）
RR.
R（t）i1.1N（t）
ttN（t）t
由强大数定理知，当t时
R
E（R）,a.s.
又由更新过程的极限性质知
N（t）1
a.s.
tE（X）
于是
（1）得证
（2）由wald等式知
N（t）N（t）1
E（RN（t）1）
E（R）E（R）E（RN（t）i）（M（t）1）E（R）
1i1
从而
ER（t）
M（t）
-E（R）
令g（t）E（RN（t）i），对第一次更新的时刻取条件得
Rxt
E（RN（tx）|X1x）
g（tx）xt
因此
g（t）
E（R1|X1
t）P（X1t）
0g（tx）dF（x）
h（t）
E（R1|X1t）（1
F（s））二
tE（R1|X1
x）dF（x）
这是
一个更新方程
g（t）h（t）0h（ts）dM（s）
E（RN（t）1|SN（t）0）E（R1|X1t）
E（RN（t）
1|SN（t）s）
E（Rn|Xnts）P（
n1
N（t）n）
若令
h（t）E
（R1|X1t）（1
F（s））二tE（R|Xi
x）dF（x）
E（|R1|）0
E（|R||X1x）dF（x）
得h（t）
0且h（t）
E（|R1|）,
于是可选取T使得山（t）|对任何tT成立，由初等更新定理得
|h（t）|tt|h（tx）||h（tx）|
————dM（x）——dM（x）
t0ttTt
M（tT）E|R|M（t）M（tT）
ETXTt
因为可任意小，所以g（t）/t0,
（产品保修策略）设某公司所出售商品采取如下更换策略，若商品出售后，在期限w内损坏，则免费更换同样的产品。
若在（w,wT］期间损坏，则按使用时间折价更换新产品，并且对在（0,w］内更换的新产
品执行原来的更换期，而对在（w,wT］内折价更换的新产品，从更新时刻重新计算更换期。
请讨论长期执行此策略，厂家的期望利润是多少，假定产品一旦损坏，顾客立即更换。
退换或者购买新的？
设t0时用户购买了一个新产品，售价为C,成本为co<
c,产品的寿命为X，它的分布为F（t）,EX。
设用户相邻两次购买（包括全价购买和更换，但不包括免费更换）的时
间间隔为Yi,Y2,…。
容易求出丫1飞,…独立同分布，记G（t）为丫的分布记N（t）为（0，t）时的更换次数，T为第n次更新时刻
由丫1的定义知，YiwRw（Rw是产品在w时刻的剩余寿命）依题意，更换策略为
c（yw）
T
其中y为使用时间。
设（0,Y］内用户花费为ci,则
c
qc（yiw）
¥
wT
wYwTi
从而,
cwT
Ec1c（1G（wT））（tw）d（1G（t））
利用分部积分
CT—cT
Eqt0G（wx）dx〒0PRx）
其中G（t）P（Yt）,
于是
EccP（Rwx）dx
c（w,T）长期平均费用二旦1」J
E¥
T（1M（t））
在（0,w）时间内免费更换产品的个数的期望值为E（N（w））M（w）
因此，在一个购买周期（0,Y］内公司所付成本为c°
［M（w）1］，公司从每个用户所得的长期平均利润为
假设乘客按照一个更新过程来到火车站，其平均来到时间间隔为。
每当有N个人在车站上等待时，就开出一辆火车。
若每当有n个乘客等待时车站就以单位时间nc元比率开支费用，且每开出一辆火车要多开支K元，求此车站每单位时间的平均费用。
解：
将火车开出视为一个循环，则车站的费用就是一个更新酬劳过程。
一个循环的平均长度是来到N个顾客所需的平均时间，因此
E（循环的长度）=N
若以Xn表示一次循环中第n个与第（n+1）个乘客来到的时间间隔，
则一个循环的平均费用为
E（—次循环的费用）
E（cX12cX2c（N1）XN1）K
cN（N1）K
2
因此，平均费用是
c（N1）K
2N
习题：
1、应用交错更新定理求剩余寿命和年龄的分布。
2、证明P（XN（t）1x）1F（x）
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