版高三数学一轮复习3年真题分类考情精解读知识全通关题型全突破能力大提升第6章数列试题文.docx

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版高三数学一轮复习3年真题分类考情精解读知识全通关题型全突破能力大提升第6章数列试题文

第六章数列

考点1数列的概念及简单表示法

1.（2014·新课标全国Ⅱ，16）数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.

1.解析将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；

再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；

再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2.

由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝.

答案　

2.（2014·江西，17）已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：

对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．

2.

（1）解由Sn＝，得a1＝S1＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，

所以数列{an}的通项公式为：

an＝3n－2.

（2）证明要使得a1，an，am成等比数列，只需要a＝a1·am，

即（3n－2）2＝1·（3m－2），即m＝3n2－4n＋2，

而此时m∈N*，且m＞n.

所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．

3.（2014·湖南，16）已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝2an＋（－1）nan，求数列{bn}的前2n项和．

3.解

（1）当n＝1时，a1＝S1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.

故数列{an}的通项公式为an＝n.

（2）由

（1）知，bn＝2n＋（－1）nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n，

则T2n＝（21＋22＋…＋22n）＋（－1＋2－3＋4－…＋2n）．

记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，

则A＝＝22n+1－2，

B＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋[－（2n－1）＋2n]＝n.

故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n+1＋n－2.

考点2等差数列及其前n项和

1.（2015·新课标全国Ⅰ，7）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝（　　）

A.B.C.10D.12

1.解析由S8＝4S4知，a5＋a6＋a7＋a8＝3（a1＋a2＋a3＋a4），

又d＝1，

∴a1＝，a10＝＋9×1＝.

答案B　

2.（2015·新课标全国Ⅱ，5）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝（　　）

A.5B.7C.9D.11

2.解析∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，

∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，

∴S5＝＝5a3＝5.故选A.

答案A　

3.（2014·天津，5）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝（　　）

A.2B.－2C.D.－

3.解析由S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6成等比数列可得（2a1－1）2＝a1（4a1－6），

解得a1＝－.

答案D　

4.（2014·新课标全国Ⅱ，5）等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝（　　）

A.n（n＋1）B.n（n－1）

CD

4.解析因为a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2·a8，

所以（a1＋6）2＝（a1＋2）·（a1＋14），解得a1＝2.

所以Sn＝na1＋d＝n（n＋1）．故选A.

答案A　

5.（2014·重庆，2）在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝（　　）

A.5B.8C.10D.14

5.解析由等差数列的性质得a1＋a7＝a3＋a5，

因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a7＝8，选B.

答案B　

6.（2015·安徽，13）已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），则数列{an}的前9项和等于________．

6.解析由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列．

∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.

答案27　

7.（2015·陕西，13）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________

7.解析由题意设首项为a1，

则a1＋2015＝2×1010＝2020，

∴a1＝5.

答案5　

8.（2014·江西，13）在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．

8.解析由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得

即解得－1

答案　

9.（2016·新课标全国Ⅱ，17）等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，

[2.6]＝2.

9.解

（1）设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，

解得a1＝1，d＝.

所以{an}的通项公式为an＝.

（2）由

（1）知，bn＝.

当n＝1，2，3时，1≤<2，bn＝1；

当n＝4，5时，2≤<3，bn＝2；

当n＝6，7，8时，3≤<4，bn＝3；

当n＝9，10时，4≤<5，bn＝4.

所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.

10.（2014·大纲全国，17）数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.

（1）设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；

（2）求{an}的通项公式．

10.

（1）证明由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，

即bn＋1＝bn＋2.

又b1＝a2－a1＝1，

所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）解由

（1）得bn＝1＋2（n－1），即an＋1－an＝2n－1.

于是，

所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.

又a1＝1，

所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.

11.（2014·浙江，19）已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.

（1）求d及Sn；

（2）求m，k（m，k∈N*）的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.

11.解

（1）由题意知（2a1＋d）（3a1＋3d）＝36，

将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.

因为d＞0，所以d＝2.

从而an＝2n－1，Sn＝n2（n∈N*）．

（2）由

（1）得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝（2m＋k－1）·（k＋1），

所以（2m＋k－1）（k＋1）＝65.

由m，k∈N*知2m＋k－1＞k＋1＞1，

故所以

12.（2014·重庆，16）已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．

（1）求an及Sn；

（2）设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－（a4＋1）q＋S4＝0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.

12.解

（1）因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，

所以an＝a1＋（n－1）d＝2n－1.

故Sn＝1＋3＋…＋（2n－1）＝＝＝n2.

（2）由

（1）得a4＝7，S4＝16.

因为q2－（a4＋1）q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，

所以（q－4）2＝0，从而q＝4.

又因b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，

所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.

从而{bn}的前n项和Tn＝＝（4n－1）．

考点3等比数列及其前n项和

1.（2015·新课标全国Ⅱ，9）已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4（a4－1），则a2＝（　　）

A.2B.1C.D.

1.解析由{an}为等比数列，得a3a5＝a，

所以a＝4（a4－1），解得a4＝2.

设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，

所以a2＝a1q＝.选C.

答案C　

2.（2014·大纲全国，8）设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝（　　）

A.31B.32C.63D.64

2.解析方法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.

若q＝1，则有Sn＝na1，显然不符合题意，故q≠1.

由已知可得两式相除得1＋q2＝5，解得q2＝4.

故q＝2或q＝－2.

若q＝2，代入解得a1＝1，此时S6＝＝＝63.

若q＝－2，代入解得a1＝－3，此时S6＝＝＝63.故选C.

方法二　因为数列{an}为等比数列，若q＝1，则有Sn＝na1，显然不符合题意，故q≠1.

设其前n项和为Sn＝Aqn－A.

由题意可得，两式相除得1＋q2＝5，

解得q2＝4，代入解得A＝1.

故Sn＝qn－1.

所以S6＝q6－1＝（q2）3－1＝43－1＝63.故选C.

方法三　设等比数列的公比为q.

则S2＝a1＋a2＝3，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝（1＋q2）（a1＋a2）＝（1＋q2）×3＝15，

解得q2＝4.

故S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝（1＋q2＋q4）（a1＋a2）＝（1＋4＋42）×3＝63.故选C.

答案C　

3.（2015·新课标全国Ⅰ，13）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．

若Sn＝126，则n＝________.

3.解析由an＋1＝2an知，数列{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，

由Sn＝＝126，解得n＝6.

答案6　

4.（2015·广东，13）若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________.

4.解析∵三个正数a，b，c成等比数列，

∴b2＝ac＝（5＋2）（5－2）＝1.

∵b为正数，∴b＝1.

答案1　

5.（2014·广东，13）等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.

5.解析由等比数列的性质可知a1a5＝a2a4＝a，

于是由a1a5＝4得a3＝2，故a1a2a3a4a5＝32，

则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2（a1a2a3a4a5）＝log232＝5.

答案5　

6.（2016·新课标全国Ⅲ,17）已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1,a－（2an＋1－1）an－2an＋1＝0.

（1）求a2，a3；

（2）求{an}的通项公式.

6.解

（1）由题意得a2＝，a3＝.

（2）由a－（2an＋1－1）an－2an＋1＝0得2an＋1（an＋1）＝an（an＋1）.

因为{an}的各项都为正数，所以＝.

故{an}是首项为1，公比为的等比数列，

所以an＝.

7.（2016·北京，15）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.

7.解

（1）设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，

由得

∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，

又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，

∴1＋（14－1）d＝27，解得d＝2.

∴{an}的通