小波变换完美通俗解读2精编版Word文档格式.docx
《小波变换完美通俗解读2精编版Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小波变换完美通俗解读2精编版Word文档格式.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
其中
是母小波，
是父小波。
需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性，并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。
但大部分小波变换的基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。
引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析（multiresolutionanalysis,MRA）。
说到这里，你的问题可能会井喷了：
好好的为什么出来一个父小波呢？
这个scalingfunction是拿来干嘛的？
它背后的物理意义是什么？
waveletfunction背后的物理意义又是什么？
这个多解析度分析又是什么呢？
不急，下面，我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识，同时再引出新的特性。
假设我们有这样一个信号：
该信号长度为8，是离散的一维信号。
我们要考虑的，就是如何用小波将其展开。
为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小波，哈尔小波。
下面是它的一种母小波：
那如何构建基于这个母小波的基呢？
刚才提到了，要缩放，要平移。
我们先试试缩放，那就是ψ（2n）：
但这样的话，它与自己的内积就不是1了，不符合小波基orthonormal的要求，所以我们要在前面加一个系数根号二，这样我们就得到了另一个哈尔小波的basisfunction：
同理，我们可以一直这样推广下去做scale，得到4n，8n，…….下的basisfunction。
当然在这个例子里，我们信号长度就是8，所以做到4n就够了。
但推广来说，就是这种scaling对母小波的作用为
，这是归一化后的表示形式。
平移的话也很简单，我们可以对母小波进行平移，也可以对scale之后的basisfunction进行平移。
比如对上一幅图中的basisfunction进行平移，就成了
看得出来，平移后的basisfunction和母小波以及仅仅scale过的小波，都是正交的，附合小波basis的特点。
如果我们用ψ（n）来表示这个motherwavelet，那么这些orthonormalbasis函数可以写成：
这里的k是可以看成时域的参数，因为它控制着小波基时域的转移，而j是频域的参数，因为它决定了小波基的频率特性。
看到这里，你应该会感觉很熟悉，因为这里的平移和变换本质和刚才对scalingfunction的平移变换是一模一样的。
这样，我们就有了针对此信号space的哈尔小波basis组合：
图1
可以看出，我们用到了三层频率尺度的小波函数，每往下一层，小波的数量都是上面一层的两倍。
在图中，每一个小波基函数的表达形式都写在了波形的下面。
等等，你可能已经发现了，有问题。
这里为什么多了个没有函数表达式的波形呢？
这货明显不是waveletfunction阿。
没错，它是之前提到的scalingfunction，也就是父小波。
然后你可能就会问，为啥这个凭空插了一个scalingfunction出来呢？
明明目标信号已经可以用纯的小波基组合表示了。
是，确实是，就算不包括scalingfunction，这些小波函数本身也组成了正交归一基，但如果仅限于此的话，小波变换也就没那么神奇的功效了。
引入这个scalingfunction，才能引入我们提到的多解析度分析的理论，而小波变换的强大，就体现在这个多解析度上。
那在这里，我们怎么用这个多解析度呢？
这个哈尔小波basis组合是怎么通过多解析度推导出来的呢？
话说在数学定义中，有一种空间叫Lebesgue空间，对于信号处理非常重要，可以用L^p（R）表示，指的是由p次可积函数所组成的函数空间。
我们在小波变换中要研究的信号都是属于L^2（R）空间的，这个空间是R上的所有处处平方可积的可测函数的集合，这样就等于对信号提出了一个限制，就是信号能量必须是有限的，否则它就不可积了。
小波变换的定义都是基于但不限于L^2（R）中的信号的。
这玩意的特性要具体解释起来太数学了，牵涉到太多泛函知识，我就不在这里详述了。
而且老实说我也没能力完全讲清楚，毕竟不是学这个的，有兴趣可以参考wiki。
总之你记住，小波变换研究中所使用的信号基本都是平方可积的信号，但其应用不限于这种信号，就行了。
对L^2（R）空间做MRA是在干嘛呢？
就是说，在L^2（R）空间中，我们可以找出一个嵌套的空间序列
，并有下列性质：
（i）
（ii）
（iii）
（iv）
（v）有这样一个方程
是
的orthonormal
basis。
我来简单解释一下这些性质。
这个V_j都是L^2（R）空间中的子空间，然后他们是由小到大的，交集是{0}，因为这是最小的子空间，并集就是L空间。
是不是有点难以理解？
没关系，看看下面这个图就清楚了：
这个图是圈圈套圈圈，最里面的圈是V0，之后分别是V1，V2，V3，V4。
那他们有趣的性质就是，假如有一个函数f（t）他属于一个某空间，那你将其在时域上平移，它还是属于这个空间。
但如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。
同时我们还知道，你要形容每一个空间的话，都需要有对应的orthonormalbasis，这是必然的，那对于V0来讲，它的orthonormalbasis就是
这一系列函数是什么呢？
的时域变换，而且我们刚才也说了，时域上平移，是不会跳出这个空间的。
这样，我们就可以说，由这一系列basis所定义的L^2（R）子空间V0被这些basis所span，表示成：
k从负无穷到正无穷。
上面的bar表示这是一个闭包空间，也就是说
这样，我们就定义了基本的V0这个子空间。
刚才说了，这个子空间的基都是对
的整数时域变换，这里我们称
为scalingfunction，所以换个说法，就是说这里整个子空间V0，由scalingfunction和其时域变换的兄弟们span。
当然，如果这个scalingfunction只是用来代表一个子空间的，那它的地位也就不会这么重要了。
刚才我们提到，这个嵌套空间序列有一个性质，
。
这就是这个函数，如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。
这个性质就有意思了，它代表什么呢？
对于任何一个包含V0的更上一层的空间来讲，他们的基都可以通过对scalingfunction做频域的scale后再做时域上的整数变换得到！
推广开来就是说，当
我们有
这也就意味着，对于任何属于V_j空间的函数f（t），都可以表示为：
到这里，我们就明白这些个子空间和那个凭空冒出来的scalingfunction的作用了。
scaling的构建这些不同的子空间的基础，当j越大的时候，每一次你对频率变换后的scalingfunction所做的时域上的整数平移幅度会越小，这样在这个j子空间里面得到的f（t）表示粒度会很细，细节展现很多。
反之亦然。
通俗点说，就是对scalingfunction的变换平移给你不同的子空间，而不同的子空间给你不同的分辨率，这样你就可以用不同的分辨率去看目标信号。
下面就是时候看看什么是MRAequation了，这是更加有趣，也是更加核心的地方。
通过刚才的讲解，V0属于V1，那scalingfunction
是在V0中的，自然也在V1中了。
我们把他写成V1的基的线性组合，那就是
其中的h（n）是scalingfunction的系数，也叫做scalingfilter或者scalingvector，可以是实数，也可以是虚数。
根号2是为了维持norm为1的。
看，在这个公式里，我们就把属于V0的函数用V1的基表示出来了。
同理，我们可以循环如此，把属于V0的
在V2,V3,…,Vn中表示出来。
这些方程就是MRAequation，也叫refinementequation，它是scalingfunction理论的基础，也是小波分析的基础之一。
好，稍微总结一下。
到现在，已经讲了关于scalingfunction的基本理论知识，知道了信号空间可以分为不同精细度的子空间，这些子空间的basis集合就是scalingfunction或者频率变换之后的scalingfunction，如下图所示：
上图就是四个子空间的basis集合的展览。
通过前面的讨论，我们还知道，一开始的scalingfunction可以通过更精细的子空间的scalingfunction（它们都是对应子空间的basis）来构建。
比如
对于更加finer的scale：
图2
依此类推。
实际上，对于任何scale和translate过的scalingfunction，都可以用更加精细的scale层面上的scalingfunction构建出来。
然后，我们有各种scale下的scalingfunction了，该看看它们分别所对应的嵌套的空间序列
了。
先看看V0，自然就是以基本的scalingfunction为基础去span出来的：
这个不新鲜，刚才就讲过了。
这个子空间代表什么样的信号？
常量信号。
道理很简单，这个scalingfunction在整个信号长度上，没有任何变化。
继续往下看：
这个相比V0更加finer的子空间，代表着这样一种信号，它从1-4是常量，从5-8是另一个常量。
同理我们有：
V2代表的信号，是分别在1，2;
3，4;
5，6;
7，8上有相同值的信号。
那么V3呢？
则表示任何信号，因为对于V3来讲，任何一个时间刻度上的值都可以不一样。
而且现在，我们也可以通过上面的一些scalingfunctions的波形验证了之前提到的多解析度分析中的一个核心性质，那就是：
我们之前讲了一堆多解析度的理论，但直到现在，通过这些图形化的分析，我们可能才会真正理解它。
那好，既然我们有一个现成的信号，那就来看看，对这个信号作多解析度分析是啥样子的：
你看，在不同的子空间，对于同一个信号就有不同的诠释。
诠释最好的当然是V3，完全不损失细节。
这就是多解析度的意义。
我们可以有嵌套的，由scalingfunction演变的basisfunction集合，每一个集合都提供对原始信号的某种近似，解析度越高，近似越精确。
说到这里，可能你对scalingfunction以及多解析度分析已经比较理解了。
但是，我们还没有涉及到它们在小波变换中的具体应用，也就是还没有回答刚才那个问题：
凭空插了一个scalingfunction到小波basis组合中干嘛。
也就是说，我们希望理解scalingfunction是怎么和小波函数结合的呢，多解析度能给小波变换带来什么样的好处呢。
这其实就是是小波变换中的核心知识。
理解了这个，后面的小波变换就是纯数学计算了。
好，我们已经知道，对于子空间V0，basis是scalingfunction：
对应的小波函数是：
然后子空间V1的basis集合是这俩哥们：
看出什么规律了么？
多看几次这三个图，你会惊讶地发现，在V0中的scalingfunction和waveletfunction的组合，其实就是V1中的basis！
继续这样推导，V1本来的的basis是：
然后V1中对应的waveletfunction是
他们的组合，本质上也就是V2的basis（参考图2）。
你继续推导下去，会得到同样的结论：
在scalej的waveletfunction，可以被用来将Vj的basis扩展到V（j+1）中去！
这是一个非常非常关键的性质，因为这代表着，对任何一个子空间Vj，我们现在有两种方法去得到它的orthonormalbasis：
1.一种就是它本来的basis
，对任意k。
2.第二种就是它上一个子空间的basis
，对任意k，以及上一级子空间的waveletfunction
第二种选择能给我们带来额外的好处，那就是我们可以循环不断地用上一级子空间的scalingfunction以及waveletfunction的组合来作为当前子空间的基。
换句话说，如果针对V3这个子空间，它实际上就有四种不同的，但是等价的orthonormalbasis：
数字语文资源网1.本级（V3）的scalingfunctionbasisset
未来两年大学生活的计划
2.上一级（V2）的scalingfunction+waveletfunction;
3.上上一级（V1）的scalingfunction+上上一级（V1）的waveletfunction+上一级（V2）的waveletfunction;
4.上上上一级（V0）的scalingfunction+上上上一级（V0）的waveletfunction+上上一级（V1）的waveletfunction+上一级（V2）的waveletfunction
好，看看最后一种选取方式，有没有感到眼熟？
对了，它就是我们之前提到的“针对此信号space的哈尔小波basis组合”，参见图1。
现在我们知道了，这个scalingfunction不是凭空插进去的，而是通过不断的嵌套迭代出来的：
）
新初一语文那为什么我们最后选定的是这种选取方式呢？
实际上，刚才介绍的这个性质已经告诉我们，对于任何的scalej0，我们都可以给我们的signalspace找到一组orthonormalbasis，这个basis是通过组合scalej0上的scalingfunction以及所有在scalej，j>
=j0上的wavelets得到的。
这样，基于这个orthonormalbasis，所有信号空间中的信号都可以写成组成这个basis的functions的线性组合：
数学专业论文选题
有机化学试题及答案对应的系数的计算和平常一样：
摆渡自己的阅读及答案
这，就是最终的，也是最核心的，小波变换形式。
不管是信号压缩，滤波，还是别的方式处理，只要是用小波变换，都逃不出这个基础流程：
1.选取合适的waveletfunction和scalingfunction，从已有的信号中，反算出系数c和d。
智慧树《管理学》答案2.对系数做对应处理
概率论期末试卷及答案3.从处理后的系数中重新构建信号。
这里的系数处理是区别你的应用的重点。
比如图像或者视频压缩，就希望选取能将能量聚集到很小一部分系数中的小波，然后抛弃那些能量很小的小波系数，只保留少数的这些大头系数，再反变换回去。
这样的话，图像信号的能量并没有怎么丢失，图像体积却大大减小了。
还有一个没有解释的问题是，为什么要强调尺度函数和小波函数组成一个orthonormalbasis呢？
计算方便是一方面，还有一个原因是，如果他们满足这个性质，就满足瑞利能量定理，也就是说，信号的能量，可以完全用每个频域里面的展开部分的能量，也就是他们的展开系数表示：
到这里，我们对小波变换的形式就讲完了。
虽然是用的最简单的哈尔小波为例子，但举一反三即可。
我们着重介绍了多解析度分析以及它给小波变换带来的杀手锏：
时域频域同时定位。
结束之前，再多说几句小波变换的意义。
我们拿刚才例子中V3子空间的第二种可选择的orthonormalbasis作为例子：
期末冲刺100分完全试卷答案左边这四个basis组成元素，也就是scalingfunctions，的系数，表征的是信号的local平均（想想它们和信号的内积形式），而右边的这四个basis组成元素，也就是waveletfunctions，的系数则表征了在local平均中丢失的信号细节。
得益于此，多解析度分析能够对信号在越来越宽的区域上取平均，等同于做低通滤波，而且，它还能保留因为平均而损失的信号细节，等同于做高通滤波！
这样，我们终于可以解释了waveletfunction和scalingfunction背后的物理意义了：
waveletfunction等同于对信号做高通滤波保留变化细节，而scalingfunction等同于对信号做低通滤波保留平滑的shape！
对小波变换的基础知识，我们就讲到这里。
需要注意的是，这只是小波变换最基本最基本的知识，但也是最核心的知识。
掌握了这些，代表你对小波变换的物理意义有了一定的了解。
但对于小波变换本身的讲解，一本书都不一定能将讲透，还有很多的基础知识我都没有讲，比如如何构建自己的scalingfunction，选取合适的系数集h[k]，并由此构建自己的waveletfunctions。
所以，如果有深入下去研究的同学，好好买一本书来看吧。
而只是希望用小波变换来服务自己的应用的同学，个人觉得这些知识已经足够让你用来起步了。
《春雨》阅读答案小学Published2011-02-18
Filedin
algorithm
andtagged
傅立叶变换,
小波变换,
信号处理
升级会员 