北京西城高三二模数学理科试题及答案.docx
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北京西城高三二模数学理科试题及答案
北京市西城区2015年高三二模试卷
数学（理科）2015.5
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分．考试时
长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷
和答题纸一并交回．
1．设集合，集合，则AB＝（）
A．（－1‚3）B．（1‚3］C．［1‚3）D．（－1‚3］
2．已知平面向量，则
实数k＝（）
A．4B．－4C．8D．－8
3．设命题p：
函数在R上为增函数；命题q：
函数为奇函数．则
下列命题中真命题是（）
4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）
A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9}
5．某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x
满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为
（）
A．3B．4C．5D．6
6．数列为等差数列，满足，则数列前21项的和等于（）
A．B．21C．42D．84
7．若“x＞1”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（）
A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜4
8．在长方体，点M为AB1的中点，点P为对
角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，Q可以重合），则MP＋PQ的最
小值为（）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：
本小题共6小题，每小题5分，共30分．
9．复数＝＿＿＿＿
10．双曲线C：
的离心率为；渐近线的方程为．
11．已知角的终边经过点（－3，4），则cos＝；cos2＝．
12．如图，P为O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B、C，
且PC＝2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交O于点E．若PB＝，则
PA＝；AD·DE＝．
13．现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有
种．（用数字作答）
14．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺
时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记，OP所经过的在正方
形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S＝f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：
①；
②任意，都有
③任意
其中所有正确结论的序号是．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．（本小题满分13分）
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝3，
．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
16．（本小题满分13分）
某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：
台），并根据这
10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名
为该型号电视机的“星级卖场”．
（Ⅰ）当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级
卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；
（Ⅱ）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”
的个数，求X的分布列和数学期望．
（Ⅲ）若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达
到最小值．（只需写出结论）
17．（本小题满分14分）
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，于点E，将△ADE沿DE
折起到的位置，使，如图2．
⑴求证：
平面BCDE；
⑵求二面角的余弦值；
⑶判断在线段EB上是否存在一点P，使平面？
若存在，求出的
值；若不存在，说明理由．
18．（本小题满分13分）
已知函数，其中aR．
⑴当时，求f（x）的单调区间；
⑵当a＞0时，证明：
存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有｜f（x）｜≤m成立．
19．（本小题满分14分）
设分别为椭圆E：
的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，
点B为椭圆E的上顶点，且｜AB｜＝2．
⑴若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；
⑵设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线与y轴相交于点Q，若以PQ为
直径的圆经过点F1，证明：
20．（本小题满分13分）
无穷数列P：
，满足，对于数列P，记
，其中表示集合中最小的数．
（Ⅰ）若数列P:
1‚3‚4‚7‚…，写出；
（Ⅱ）若，求数列P前n项的和；
（Ⅲ）已知＝46，求的值．
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