旅行售货员问题毕业设计论文.docx

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旅行售货员问题毕业设计论文

摘要

旅行售货员问题是一个古老而典型的组合优化问题。

对该问题合理而有效的解法不但有重要的理论和学术意义，同时对众多工程实际中的应用提供了重要的指导意义。

这篇论文首先对问题进行了大体的陈述，对其进行了数学描述。

在此基础上,本文对问题进行了进一步的定义。

论文介绍了五种算法的基本概念、原理、意义及发展现状。

这五种算法包括动态规划法、分支界限法、回溯法、遗传算法和微粒子算法。

并展示了部分算法的部分数学过程。

关键词：

旅行售货员问题；遗传算法；微粒子算法；回溯法

SeveralSolutionstoTravelingSalesmanProblem

Abstract

Travelingsalesmanproblemisanoldandtypicalhardcombinatorialoptimizationproblem,itsvalidandeffectivesolutionsnotonlyhasimportanttheoreticalandacademicvalues,butalsohasimportantguidingsignificanceformanypracticalengineeringapplications.

Theessaystartswiththegeneralaccountof,explainsthemathematicaldescriptionof.Ontheoriginalbasis,theessaymadethroughclassificationof;Theessayintroducedthebasicconcept,principle,procedureandsignificanceoffivetypesofalgorithm,includingdynamicprogramming,branchboundingmethod,backtrackingmethod,Geneticalgorithm,ParticleSwarmOptimization.Italsodisplayedsomemajorprocessinmathematicways.

.

KeyWords：

TravelingSalesmanProblem;GeneticAlgorithm;BacktrackingAlgorithm

目录

摘要I

AbstractII

引言1

1旅行售货员问题的研究现状2

1.1旅行售货员问题概述2

1.2旅行售货员问题的数学描述3

1.3旅行售货员问题的分类4

1.4前人的工作5

1.4.1精确算法5

1.4.2启发式算法5

1.5本章小结5

2精确算法求解策略及优化算法6

2.1动态规划法解旅行售货员问题6

2.1.1动态规划思想简介6

2.1.2动态规划求解旅行售货员问题6

2.2分支限界法解问题6

2.3回溯法解旅行售货员问题8

2.3.1回溯法思想简介8

2.3.2回溯法求解履行商问题8

2.3.3回溯法的不足9

2.3.4回溯算法的改进9

2.4三种精确算法的比较10

2.4.1动态规划法和回溯法的比较10

2.4.2分支限界法和回朔法的比较11

3遗传算法解决旅行售货员问题12

3.1启发式算法简介12

3.2遗传算法介绍12

3.2.1遗传算法发展12

3.2.2遗传算法自身特点13

3.2.3遗传算法总结13

3.3基本遗传算法求解旅行售货员问题14

4微粒子算法简介15

4.1微粒子算法历史15

4.3微粒子算法结合旅行售货员问题15

5旅行售货员问题的应用16

结论17

参考文献18

附录Ａ　旅行售货员问题的最小耗费分枝定界算法19

附录Ｂ　旅行售货员问题的回溯法22

致谢24

引言

旅行售货员问题（TravelingSalesmanProblem），是计算机算法中的一个经典的难解问题，已归为完备问题（Nonpolynomial）类。

围绕着这个问题有各种不同的求解方法，已有的算法如动态规划法，分支限界法，回溯法等，这些精确式方法都是指数级的，根本无法解决目前的实际问题，贪心法是近似方法，而启发式算法不能保证得到的解是最优解，甚至是较好的解释。

所以我认为很多问题有快速的算法（多项式算法），但是，也有很多问题是无法用算法解决的。

事实上，已经证明很多问题不可能在多项式时间内解决出来。

但是，有很多很重要的问题他们的解虽然很难求解出来，但是他们的值却是很容易求可以算出来的。

这种事实导致了完全问题。

凡是在多项式复杂程度内可以求出最优解的问题，称为问题，其它的则是问题。

在算法问题上，假如一个问题是问题，我们通常认为它是“简单的”，对于一个问题，通常认为它是“复杂的”。

表示非确定的多项式，意思是这个问题的解可以用非确定性的算法"猜"出来。

如果我们有一个可以猜想的机器，我们就可以在合理的时间内找到一个比较好的解。

完全问题学习的简单与否，取决于问题的难易程度。

因为有很多问题，它们的输出极其复杂，比如说人们早就提出的一类被称作难题的问题。

这类问题不像完全问题那样时间有限的。

因为问题由上述那些特征，所以很容易想到一些简单的算法――把全部的可行解算一遍。

但是这种算法太慢了（通常时间复杂度为指数次）在很多情况下是不可行的。

现在，没有知道有没有那种精确的算法存在。

证明存在或者不存在那种精确的算法这个沉重的担子就留给了新的研究者了，或许你就是成功者。

本篇论文就是想用几种方法来就一个销售商从几个城市中的某一城市出发，不重复地走完其余个城市，并回到原出发点，在所有可能的路径中求出路径长度最短的一条，比较是否是最优化，哪种结果好。

目前求解旅行商问题的方法可以分为两大类：

一类是精确算法，目的是要找到理论最优解；另一类是近似算法，不强求最优解，只要找到“足够好”的满意解就可以了。

在本文中，我们将对两类算法分别选取若干种进行分析。

1旅行售货员问题的研究现状

1.1旅行售货员问题概述

旅行售货员问题是十九世纪初爱尔兰的数学家W.Hamilton和英国数学家T.Kirkman[1]提出的，通常被描述为：

对给定城市交通网络，如何为一个推销商选择一条路线，从网络的某一点（驻地）出发，经过每一个结点后回到出发点，使得总行程最短。

问题是著名的完全难题，也是组合优化、计算机科学界经典的问题之一。

它在广泛的应用于运输、生产、国防、生物、计算机等领域以外，还为离散优化中各类算法提供了思想方法平台，因而对旅行售货员问题求解方法的研究具有重要的实际价值。

标准的在图论的意义就是所谓的最小圈问题。

由于其在许多领域都有着广泛的应用，因而寻找其实际而又有效的算法显得颇为重要，遗憾的是，计算复杂性理论给予我们的结论是：

这种可能性尚属未知。

在理论上已归结为所谓的完备问题类，即非确定性多项式完备问题。

关于这类十分困难的问题，现在所知道的仅仅是；任何完备问题都不能用己知的多项式算法来解决;用多项式算法去研究问题起于五十年代，如线性规划算法、动态规划算法、分枝定界法。

这些算法虽然对一些小规模的问题可精确求解，但计算的复杂度与城市的数目成指数增长。

在大规模的问题上，这些精确算法显得无能为力，而且容易产生组合爆炸，因而人们退而寻求非尽善尽美的所谓启发式算法（近似算法），来处理各种实际问题。

七十年代和八十年代是启发式算法的全盛时期，但由于绝大多数启发式算法都是按某种确定性的搜索规则来运行，想要改进所得解的可能性极小。

因此，从八十年代后期一直到九十年代，一些来自其它学科的新一代求解方法相继出现，在组合优化问题的求解中取得相当的成功和一系列成果。

尽管仍未找到最优解，但是求解它的算法逐渐改进。

2000年，马良总结、归纳出1954年到1996年国内外近几十年求解的算法，可分为两类：

一类是精确算法如线性规划、动态规划、分枝定界法等；另一类是近似算法（启发式算法），如插入算法、算法、神经网络算法、模拟退火算法、遗传算法、蚂蚁算法等。

目前，对于求解问题，国内外都有相当好的进展，2000年，周培德用点集凸壳的多项式时间算法解决了31个顶点的中国货郎担问题。

1998年，美国加利弗利亚大学DanGusfiled根据出度、入度均为的2的有向图中有一条路的这一特性，提出了用Greedy算法求解出度、入度均为2的。

几十年来对于求解问题出现了很多传统方法，其中有精确算法如线性规划方法、动态规划方法、分支定界方法；近似优化算法有插入法、最近邻算法灯、混合算法、概率算法等。

近年来，有很多解决该问题的较为有效的智能方法不断被推出，例如禁忌搜索方法、遗传算法、模拟退火算法等。

时至今日，人们己经发现有许多问题本质上都可归结为一个或是将其作为一个子问题来处理，但要想真正有效的求解，目前仍然是一件很困难的事。

而由引伸出来的一些扩展问题，如瓶颈问题、多目标问题等，却由于本身的难度而一直少人问津。

1.2旅行售货员问题的数学描述

旅行售货员问题，也称货郎问题，有两种提法。

一种旅行售货员问题的简单描述是：

一名商人欲到个城市推销商品，每两个城市和之间的距离为，如何选择一条路径是的商人每个城市走一遍回到起点后，所走的路径最短。

其数学模型为在加权图上求一个圈，使得

（1.1）

上述经典的定义比实际问题就要狭隘了，因为实际上旅行售货员可以在一段路程上往返，往往反而节省了整个巡回的总费用（大都用距离来表示）。

此外，如果有图所示的用上述经典的定义找不到解得，但在实际中的旅行售货员仍可选择一条最优路线，只不过顶点要被访问两次。

图2.1旅行售货员问题举例

则另一种提法是商人从某城市出发，遍历各个城市至少一次后返回出发点，设计出一条路线使总路程最短。

此时，数学模型是在加权图上求一个生成回路，使

。

（1.2）

这个叫做理想回路。

从算法理论上讲，这两种提法难度是相当的。

1.3旅行售货员问题的分类

从问题对应到图的类型，通常有两种基本的分类：

任意两个城市之间来往的路径均相等或可以不相等；就可以归结为无向图或有向图问题。

任意两个城市之间来回均存在路径或至少有两个城市之间仅存在单行路径；这种类型可以归结为完全图或者非完全图问题。

将上述两种情况加以组合，便可得到以下四种的路径关系：

完全有向图；完全无向图；非完全有向图；非完全无向图。

从问题本身的限制条件的强弱，主要有三类，第一类不作任何限制，只给出距离矩阵，求最小回路；第二类要求距离间要满足三角不等式（对于一个旅行售货员问题中的任意三个城市，，，假如从经过到达的旅行费用不低于从到的旅行费用，那么称这个旅行售货员问题满足三角不等性），满足三角不等性的旅行售货员问题，具有许多优良的性质，可以大大方便计算。

但另一方面，已经证明，满足三角不等性的对称旅行售货员问题，也是完全问题。

对于满足三角不等性的对称旅行售货员问题，可以在多项式的计算时间内求得近似解。

第三类就是定义在欧氏平面上的，即EuclidTSP，它以欧氏平面上的坐标和欧氏距离来给出城市间的坐标和城市间的距离。

从问题的多项式可解性上，可分为两类。

一类是目前己知有多项式的时间算法可解的，比如其距离矩阵满足Demidenk条件、Kalmanson条件或者Supnick条件等；另一类是目前尚未发现有多项式时间算法可解的，而研究热点就是如何寻找更多的多项式时间可解的情形，使得第一类集合扩大，第二类缩小。

除此之外，的研究经过了几十年的发展，还引申出其它扩展形式，比如多旅行售货员问题（MultiSalesmanProblem），它是由多人