三维设计届新课标高考数学理大一轮复习精品讲义第一章++集合与常用逻辑用语文档格式.docx
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的直线交C于A,B两点,则|AB|=( )
A.
B.6
C.12D.7
新课标全国卷Ⅱ)数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=________.
《人教B版·
必修5》P30练习A.
写出下面数列{an}的前5项:
1.a1=2,an=an-1(n=2,3,4,…);
2.a1=3,an=an-1+2(n=2,3,4,…);
3.a1=1,an=an-1+(n=2,3,4,…).
必修5》P14例5.
如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°
的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°
的方向上,仰角为8°
,求此山的高度CD(精确到1m).
新课标全国卷Ⅰ)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°
,C点的仰角∠CAB=45°
以及∠MAC=75°
;
从C点测得∠MCA=60°
,已知山高BC=100m,则山高MN=________m.
新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f
(2)=0.若f(x-1)>
0,则x的取值范围是________.
必修1》P39B组第3题.
已知函数f(x)是偶函数,而且在(0,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的判断.
总之,教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的,它蕴藏着丰富的思想方法和研究资源.不少试题所涉及的思想方法,都源于教材.高考数学一轮复习中,要做到对教材中的经典题目能够熟练地求解,掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵.研读教材、汲取营养,充分发挥例题、习题潜在的功能,发挥教材“母本”的作用.
为减少考生翻阅教材、查找典型题目之苦,充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势,我们在人教A版、人教B版、北师大版等教材中优中选优地筛选了一些经典题目,做为课前自检基础知识使用,就是充分发挥教材母题的引领带动作用.
二、重视经典题目的发散思维
本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展,其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和多领悟.如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题,那么这一讲是教给学生“怎么做”的问题.在平时的复习备考中,做海量试题必不可少,但绝非上策.应当充分发挥典型试题的带动作用和举一反三的功能,注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成.多题一解有利于培养学生的求同思维,一题多解有利于培养学生的求异思维,一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性.
多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过程中,发挥主观能动性,多思考,多总结,而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展,多发散,帮学生举一反三、悟通练透.
本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试:
(一)经典“题根”的发散
茫茫题海,寻根是岸.木有本,水有源,题有根.在平时的训练中,可将一些经典的题目做为“题根”,在题目发散中,要学会演变题目条件、背景,变换设问,在不断变换的过程中,将此类问题厘清弄透,从一个个小问题中获取大知识,让其“枝繁叶茂”、“生机盎然”,从而彻底打通各知识点间的关节.
示例:
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的方法及注意点
(1)知和求积的最值:
求解此类问题的关键:
明确“和为定值,积有最大值”.但应注意以下两点:
①具备条件——正数;
②验证等号成立.
(2)知积求和的最值:
明确“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但要注意利用基本不等式求最值的条件.
(3)构造不等式求最值:
在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数1”的替换,构造不等式求解.
(4)利用基本不等式求最值时应注意:
①非零的各数(或式)均为正;
②和或积为定值;
③等号能否成立,即“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.
本题的条件不变,则的最小值为________.
已知各项为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得=2a1,则+的最小值为________.
已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值为________.
[解析] ∵a>0,b>0,a+b=1,
∴+=+=2++
≥2+2=4,即+的最小值为4,当且仅当a=b=时等号成立.
[答案] 4
本题的条件和结论互换,即:
已知a>0,b>0,+=4,则a+b的最小值为________.
本题的条件变为:
已知a>0,b>0,
c>0,
且a+b+c=1,则++的最
小值为________.
若本题条件变为:
已知a>
0,b>
0,a+2b=3,
则+的最小值为________.
(二)考查角度的发散
高考中的一些热门考点,虽知年年必考,但学生往往却在这类考点上失分,究其原因,主要是此类考点考查灵活、角度多变.为将这类考点练深练透,有必要对这类考点进行多维探究.备考不留死角,高考不留遗憾!
角度二:
比较两个函数值或两个自变量的大小
2.已知函数f(x)=log2x+
,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( )
A.f(x1)<
0,f(x2)<
0B.f(x1)<
0,f(x2)>
C.f(x1)>
0D.f(x1)>
函数单调性的应用
高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现,有时也应用于解答题中的某一问中.
函数单调性的应用,归纳起来常见的命题角度有:
(1)求函数的值域或最值;
(2)比较两个函数值或两个自变量的大小;
(3)解函数不等式;
(4)利用单调性求参数的取值范围或值.
角度一、角度二是对函数单调性直接应用的考查
角度三:
解函数不等式
3.f(x)是定义在(0,+∞)上
的单调增函数,满足f(xy)
=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)
+f(x-8)≤2时,x的取值
范围是( )
A.(8,+∞)B.(8,9]
C.[8,9]D.(0,8)
角度一:
求函数的值域或最值
1.函数f(x)=
的最大值为________.
利用函数单调性转变为不等式,体现知识间的交汇
角度四:
利用单调性求参数的取值范围或值
4.已知函数f(x)=
满足对任意的实数x1≠x2,都有
<
0成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,2) B.
C.(-∞,2] D.
由单调性求参数范围体现函数单调性的深化
[类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
(3)利用单调性求参数.
①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;
②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.
(4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值.
第一章 集合与常用逻辑用语
第一节
集__合
基础盘查一 元素与集合
(一)循纲忆知
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
(二)小题查验
1.判断正误
(1)一个集合中可以找到两个相同的元素( )
(2)集合{x|x>
3}与集合{t|t>
3}表示的是同一集合( )
(3)a在集合A中,可用符号表示为a⊆A( )
(4)零不属于自然数集( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
2.(人教A版教材练习)选择适当的方法表示下列集合:
(1)由小于8的所有素数组成的集合;
(2)不等式4x-5<
3的解集.
(1){2,3,5,7}
(2){x|x<
2}
基础盘查二 集合间的基本关系
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
2.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
(1)若A=B,则A⊆B( )
(2)若AB,则A⊆B且A≠B( )
(3)N*NZ( )
(4)空集是任何集合的子集,两元素集合是三元素集合的子集( )
(1)√
(2)√ (3)√ (4)×
2.(人教A版教材例题改编)集合{a,b}的所有子集为________________.
{a},{b},{a,b},∅
基础盘查三 集合的基本运算
1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
3.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
(1)若A∩B=A∩C,则B=C( )
(2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素( )
(3)并集定义中的“或”能改为“和”( )
(4)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合( )
(4)√
2.(人教A版教材习题改编)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(∁UB)=________.
{2,4}
3.已知集合A={x|3≤x<
7},B={x|2<
x<
10},则∁R(A∪B)=________________.
{x|x≤2或x≥10}
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)集合中元素与集合的关系:
元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为∈和∉.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、Venn图.
2.常见数集及其表示符号
自然数集用N表示,正整数集用N*或N+表示,整数集用Z表示,有理数集用Q表示,实数集用R表示.
[提醒] 解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
[题组练透]
1.(2015·
洛阳统考)已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( )
A.3 B.6
C.8D.9
解析:
选D 集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.
2.现有三个实数的集合,既可以表示为
,也可以表示为{a2,a+b,0},则a2015+b2015=________.
由已知,得
=0及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2015+b2015=(-1)2015=-1.
-1
3.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,
此时集合A中有重复元素3,
所以m=1不符合题意,舍去;
当2m2+m=3时,解得m=-
或m=1(舍去),
此时当m=-
时,m+2=
≠3符合题意.
所以m=-
.
-
[类题通法]
1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.
2.对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.
|(重点保分型考点——师生共研)
(1)子集:
对任意的x∈A,都有x∈B,则A⊆B(或B⊇A);
(2)真子集:
若集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则AB(或BA);
(3)性质:
∅⊆A;
A⊆A;
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
(4)集合相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
[提醒] 写集合的子集时不要忘了空集和它本身.
[典题例析]
1.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1 B.2
C.3D.4
选D 用列举法表示集合A,B,根据集合关系求出集合C的个数.
由x2-3x+2=0得x=1或x=2,
∴A={1,2}.
由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
2.已知集合A={x|x2-2015x+2014<0},B={x|x<m},若A⊆B,则实数m的取值范围是________.
由x2-2015x+2014<0,
解得1<x<2014,故A={x|1<x<2014}.
而B={x|x<m},由于A⊆B,如图所示,则m≥2014.
[2014,+∞)
(1)已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且经常要对参数进行讨论.注意区间端点的取舍.
(2)当题目中有条件B⊆A时,不要忽略B=∅的情况!
[演练冲关]
中原名校联盟一模)设A={1,4,2x},若B={1,x2},若B⊆A,则x=________.
由B⊆A,则x2=4或x2=2x.当x2=4时,x=±
2,但x=2时,2x=4,这与集合元素的互异性相矛盾;
当x2=2x时,x=0或x=2,但x=2时,2x=4,这与集合元素的互异性相矛盾.综上所述,x=-2或x=0.
0或-2
2.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
当B=∅时,有m+1≥2m-1,
则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则
解得2<m≤4.
综上,m的取值范围为m≤4.
(-∞,4]
|(题点多变型考点——全面发掘)
1.集合的并、交、补运算:
并集:
A∪B={x|x∈A,或x∈B};
交集:
A∩B={x|x∈A,且x∈B};
补集:
∁UA={x|x∈U,且x∉A};
U为全集,∁UA表示集合A相对于全集U的补集.
2.集合的运算性质
(1)A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B;
(2)A∩A=A,A∩∅=∅;
(3)A∪A=A,A∪∅=A;
(4)A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.
[提醒] Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.
[一题多变]
[典型母题]
已知集合A={y|y=x2-2x,x∈R},B={y|y=-x2+2x+6,x∈R},则A∩B= .
[解析] y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,,y=-x2+2x+6=-(x-1)2+7≤7,,∴A={y|y≥-1},B={y|y≤7},,故A∩B={y|-1≤y≤7}.
[答案] {y|-1≤y≤7}
[题点发散1] 若集合A变为A={x|y=x2-2x,x∈R},其他条件不变,求A∩B.
解:
因A中元素是函数自变量,则A=R,
而B={y|y≤7},则A∩B={y|y≤7}.
[题点发散2] 若集合A、B中元素都为整数,求A∩B.
A∩B⊆{y|-1≤y≤7},又因为y∈Z,
故A∩B={-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.
[题点发散3] 若集合A、B不变,试求∁RA∪∁RB.
∵A={y|y≥-1},B={y|y≤7},
∴∁RA={y|y<-1},∁RB={y|y>7},
故∁RA∪∁RB={y|y<-1或y>7}.
[题点发散4] 若集合A、B变为:
A={(x,y)|y=x2-2x,x∈R},B={(x,y)|y=-x2+2x+6,x∈R},求A∩B.
由
⇒x2-2x-3=0,
解得x=3或x=-1.
于是,
或
故A∩B={(3,3),(-1,3)}.
解集合运算问题应注意以下三点:
(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.
(2)对集合化简.有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决.
(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图.
1.如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合AB为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=
},B={y|y=3x,x>
0},则AB为( )
A.{x|0<
2} B.{x|1<
x≤2}
C.{x|0≤x≤1或x≥2}D.{x|0≤x≤1或x>
选D 因为A={x|0≤x≤2},B={y|y>
1},A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<
x≤2},所以AB=∁A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1或x>
2},故选D.
2.已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质P:
对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与
两数中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”,则( )
A.{1,3,4}为“权集”
B.{1,2,3,6}为“权集”
C.“权集”中元素可以有0
D.“权集”中一定有元素1
选B 由于3×
4与
均不属于数集{1,3,4},故A不正确,由于1×
2,1×
3,1×
6,2×
3,
,
都属于数集{1,2,3,6},故B正确,由“权集”的定义可知
需有意义,故不能有0,同时不一定有1,C,D错误,选B.
解决集合创新型问题的方法
(1)紧扣新定义:
首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.
(2)用好集合的性质:
集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.
1.若x∈A,则
∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A.1 B.3
C.7D.31
选B 具有伙伴关系的元素组是-1;
,2,
所以具有伙伴关系的集合有3个:
{-1},
2.对于任意两个正整数m,n,定义运算(用⊕表示运算符号):
当m,n都是正偶数或都是正奇数时,m⊕n=m+n;
当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m⊕n=m×
n.例如4⊕6=4+6=10,3⊕7=3+7=10,3⊕4=3×
4=12.在上述定义中,集合M={(a,b)|a⊕b=12,a,b∈N*}的元素有________个.
m,n同奇同偶时有11组:
(1,11),(2,10),…,(11,1);
m,n一奇一偶时有4组:
(1,12),(12,1),(3,4),(4,3),所以集合M的元素共有15个.
15
一、选择题
广州测试)已知集合A=
,则集合A中的元素个数为( )
A.2 B.3
C.4D.5
选C ∵
∈Z,∴2-x的取值有-3,-1,1,3,又∵x∈Z,∴x值分别为5,3,1,-1,
故集合A中的元素个数为4,故选C.
2.(2014·
江西高考)设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∩(∁RB)=( )
A.(-3,0)B.(-3,-1)
C.(-3,-1]D.(-3,3)
选C 由题意知,A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3},∵B={x|-1<x≤5},∴∁RB={x|x≤-1或x>5}.
∴A∩(∁RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1或x>5}={x|-3<x≤-1}.
3.已知集合A={x|y=
},B={x|x=m2,m∈A},则( )
A.ABB.BA
C.A⊆BD.B⊆A
选B 由题意知A={x|y=
},∴A={x|-1≤x≤1},∴B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},∴BA,故选B.
4.设函数f(x)=lg(1-x2),集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.[-1,0]B.(-1,0)
C.(-∞,-1)∪[0,1)D.(-∞,-1]∪(0,1)
选D 因为A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1},则u=1-x2∈(0,1],
所以B={y|y=f(x)}={y|y≤0},
A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0],
故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1),选D.
5.(2015·
西安一模)设集合A={(x,y)|x+y=1},