上海师大附中八年级上学期期中数学试题解析版Word格式文档下载.docx
《上海师大附中八年级上学期期中数学试题解析版Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《上海师大附中八年级上学期期中数学试题解析版Word格式文档下载.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
D.等腰三角形一边上的中线、高线和所对角的角平分线互相重合
分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.
A、全等三角形对应边相等,对应角相等,真命题,正确;
B、角平分线上的点到角两边距离相等,真命题,正确;
C、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,此选项正确;
D、应该是:
等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的角平分线互相重合,故此选项错误;
【点睛】此题考查命题与定理,解题关键在于掌握各性质定义.
5.如图,点P是∠BAC的平分线上一点,PB⊥AB于B,且PB=5cm,AC=12,则△APC的面积是()
A.30cm2B.40cm2C.50cm2D.60cm2
试题分析:
根据角平分线上的点到角两边的距离相等,得点P到AC的距离等于5,代入面积公式从而求得△APC的面积.
考点:
角平分线的性质、三角形的面积
点评:
本题主要考查了角平分线
性质定理,根据题意构造角平分线性质定理的基本图形是关键,难度适中.
6.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是()
A.2B.3C.6D.不能确定
根据三角形的中线得出AD=CD,根据三角形的周长求出即可.
解:
∵BD是△ABC的中线,
∴AD=CD,
∴△ABD和△BCD的周长的差是:
(AB+BD+AD)﹣(BC+BD+CD)=AB﹣BC=5﹣3=2.
故选A.
三角形的角平分线、中线和高.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°
,以B为圆心,BC的长为半径画弧,交AC于点D,连接BD,则∠DBC等于( )
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠C=∠BDC,再用三角形的外角的性质计算即可.
∵从作图可知:
BD=BC,
∴∠C=∠BDC,
∵在△ABC中,∠A=30°
,AB=AC,
∴∠C=∠ABC=
(180°
﹣∠A)=75°
,
∴∠BDC=∠C=75°
∴∠DBC=180°
﹣∠C﹣∠BDC=30°
【点睛】此题考查等腰三角形的性质,解题关键在于掌握其性质.
8.已知2a+5b﹣4=0,则4a×
32b=( )
A.8B.16C.32D.64
【答案】B
先根据2a+5b-4=0,可求2a+5b=4,再利用(am)n=amn对4a×
32b=变形,然后再把2a+5b的值整体代入计算即可.
∵2a+5b﹣4=0,
∴2a+5b=4,
则4a×
32b=22a×
25b=22a+5b=24=16.
B.
【点睛】此题考查幂的乘方与积的乘方,同底数幂的乘法,解题关键在于掌握运算法则.
9.如图,把△ABC纸片的∠A沿DE折叠,点A落在四边形CBDE外,则∠1、∠2与∠A的关系是( )
A.∠1﹣∠A=2∠2
B.∠2+∠1=2∠AC.∠1﹣∠2=2∠AD.2∠2+2∠A=∠1
先根据图形翻折变换的性质得出∠A=∠A′,再根据三角形外角的性质进行解答即可.
∵△A′ED是△AED翻折变换而成,
∴∠A=∠A′,
∵∠AFD是△A′EF的外角,
∴∠AFD=∠A′+∠2,
∵∠1是△ADF的外角,
∴∠1=∠A+∠AFD,即∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A′+∠2,
∴∠1﹣∠2=2∠A,
【点睛】此题考查三角形的折叠问题,三角形的外角,三角形内角和定理,解题关键在于掌握其定义.
10.如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°
,∠B=∠D=90°
,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为【】
A.130°
B.120°
C.110°
D.100°
根据要使△AMN的周长最小,即利用点的对称,让三角形的三边在同一直线上,作出A关于BC和ED的对称点A′,A″,即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°
,进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)即可得出答案:
如图,作A关于BC和ED的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,
则A′A″即为△AMN的周长最小值。
作DA延长线AH。
∵∠BAD=120°
,∴∠HAA′=60°
。
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°
∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,
∠NAD+∠A″=∠ANM,
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×
60°
=120°
故选B。
二、填空题:
11.
(1)(﹣a3)2+a6=_____.
(2)2a5b•(﹣ab)3=_____.
(3)
=_____.
(4)(﹣a)3(﹣a)4=_____.
(5)(x+2)(x﹣3)=_____.
(6)(2×
103)×
(5×
104)=_____.(用科学记数法表示)
【答案】
(1).2a6,
(2).﹣2a8b4,(3).
(4).﹣a7(5).x2﹣x﹣6,(6).108
根据单项式乘单项式、完全平方公式、同底数幂的除法,积的乘方与幂的乘方,合并同类项逐一计算即可
(1)(﹣a3)2+a6=a6+a6=2a6;
(2)2a5b•(﹣ab)3=2a5b•(﹣a3b3)=﹣2a8b4;
=
;
(4)(﹣a)3(﹣a)4=﹣a3b4=﹣a7;
(5)(x+2)(x﹣3)=x2﹣x﹣6;
104)=108.
故答案为:
(1)2a6,
(2)﹣2a8b4,(3)
,(4)﹣a7,(5)x2﹣x﹣6,(6)108.
【点睛】此题考查单项式乘单项式、同底数幂的乘法,积的乘方与幂的乘方,合并同类项,解题关键在于掌握运算法则.
12.六边形的内角和是_____°
.
【答案】720
根据多边形的内角和公式(n-2)•180°
列式计算即可得解.
(6﹣2)•180°
=720°
720.
【点睛】此题考查多边形内角(和)与外角(和),解题关键在于掌握计算公式.
13.已知3x•(xn+5)=3xn+1﹣8,那么x=_____.
【答案】
先把等式左边的单项式多项式相乘,再与右边的多项式相比较即可得出x的值.
∵3x•(xn+5)=3xn+1+15x,
∴15x=﹣8,
解得x=
【点睛】此题考查单项式乘多项式,解题关键在于掌握运算法则.
14.计算:
根据幂
乘方和积的乘方的运算法则求解.
【点睛】此题考查幂的乘方与积的乘方,解题关键在于掌握运算法则.
15.点P关于y轴的对称点P′的坐标是(﹣5,2),则点P的坐标是_____.
(5,2)
根据“关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”解答.
点P关于y轴的对称点P′的坐标是(﹣5,2),则点P的坐标是(
5,2),
(5,2).
【点睛】此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标,解题关键在于掌握其定义.
16.如图,A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点,若△ABC的面积是1,那么△A1B1C1的面积为____.
【答案】7
如下图,连接A1C,B1A,C1B,,因B是线段B1C的中点,所以B1B="
BC."
△A1B1A和△AB1B等底同高,根据等底同高的两个三角形面积相等可得S△B1AB=S△ABC=1;
同理可得S△A1B1A=S△AB1B=1;
所以=S△A1B1A+S△AB1B=1+1=2;
同理可得S△C1CB1=2,S△C1AA1=2.
S△A1B1C1=S△A1BB1+S△C1CB1+S△C1AA1+S△ABC=2+2+2+1=7.
等底同高的两个三角形面积相等.
17.如图,长方形ABCD中AD=10,AB=4,点Q是BC
中点,点P在AD边上运动,△BPQ是等腰三角形时,用尺规在AD上标出所有的P点,并用P1、P2等表示出来,要保留作图痕迹.
【答案】详见解析
利用尺规作图,结合等腰三角形的性质和矩形的性质进行作图即可解答.
如图,P1,P2,P3,P4即为
所求.
【点睛】此题考查作图-复杂作图,解题关键在于利用等腰三角形的性质和矩形的性质.
三、解答题
18.计算:
(1)5a2b•(﹣2a4b)+(﹣3a3b)2;
(2)(x+3)(x﹣5)﹣x(x﹣2).
(1)﹣a6b2;
(2)-15
(1)原式先计算乘方运算,再计算单项式乘以多项式法则计算即可得到结果;
(2)原式利用单项式乘以单项式法则计算,去括号合并即可得到结果;
(1)5a2b•(﹣2a4b)+(﹣3a3b)2
=﹣10a6b2+9a6b2,
=﹣a6b2;
=x2﹣2x﹣15﹣x2+2x,
=﹣15.
【点睛】此题考查整式的混合运算,解题关键在于掌握运算法则.
19.如图,已知点A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,DF∥BE,∠B=∠D,求证:
AD=BC.
欲证明AD=BC,只要证明△ADF≌△CBE即可;
【详解】证明:
∵AE=CF,
∴AF=CE,
∵DF∥BE,
∴∠DFA=∠BEC,
在△ADF和△CBE中,
∴△ADF≌△CBE(AAS),
∴AD=BC.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.
20.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,线段AB与A1B1的端点都在格点上.
(1)在图中建立适当的直角坐标系,使点B和B1都在x轴上,且线段AB和A1B1关于y轴成轴对称;
(2)写出点A1的坐标;
(3)若y轴上有一点P,满足PA=PB.用直尺作出点P,保留作图痕迹,并证明PA1=PB1.
(1)详见解析;
(2)(1,4);
(3)详见解析.
(1)直接利用轴对称图形的性质得出坐标轴的位置;
(2)利用已知坐标系即可得出点A1的坐标;
(3)利用线段垂直平分线的性质结合勾股定理得出答案.
(1)如图所示:
(2)如图所示:
点A1的坐标为:
(1,4);
(3)如图所示:
点P即为所求,
∵PA1=
PB1=
∴PA1=PB1.
【点睛】此题考查作图-轴对称变换,解题关键在于掌握作图法则.
21.如图,已知BC是△ABD的角平分线,BC=DC,∠A=∠E=30°
,∠D=50°
(1)写出AB=DE的理由;
(2)求∠BCE的度数.
(1)证明见解析
(2)20°
由三角形内角和定理可得∠DBA=100°
,由BC是∠DBA的角平分线可得∠ABC=50°
,即可证明∠ABC=∠D,通过AAS可证明△ABC≌△EDC,即可得AB=DE;
(2)由∠DBC=50°
,∠E=30°
,根据三角形外角性质即可求出∠BCE的度数.
【详解】
(1)∵∠A=30°
∴∠DBA=180°
-30°
-50°
=100°
∵BC是∠DBA的角平分线,
∴∠DBC=∠ABC=50°
∴∠ABC=∠D,
∵BC=CD,∠A=∠E,∠ABC=∠D,
∴△ABC≌△EDC(AAS),
∴AB=DE.
(2)∵∠DBC=50°
∴∠BCE=∠DBC-∠E=50°
=20°
.
【点睛】本题考查全等三角形的判定及三角形外角性质,全等三角形的判断方法有:
AAS、SAS、SSS、ASA及HL等,熟练掌握判定定理是解题关键.
22.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各有若干张,如果要拼成一个长为a+2b,宽为a+b的大长方形,则需要A、B、C类卡片各多少张?
【答案】A、B、C类卡片各1、2、3张.
由面积不变可以求出.
试题解析:
所以共需要A、B、C类卡片各1、2、3张.
整式的运算.
23.解方程:
(x+4)(x﹣3)﹣(x﹣2)(2+x)﹣4=0.
【答案】x=12
先根据多项式乘以多项式将方程左边展开然后化简,即可解答本题.
(x+4)(x﹣3)﹣
(x﹣2)(2+x)﹣4=0.
(x2+x﹣12)﹣(x2﹣4)﹣4=0
去括号,得
x2+x﹣12﹣x2+4﹣4=0
化简,得
x﹣12=0
解得x=12.
【点睛】此题考查多项式乘以多项式,解一元一次方程,解题关键在于掌握运算法则.
24.一个四位数,记千位上和百位上的数字之和为x,十位上和个位上的数字之和为y,如果x=y,那么称这个四位数为“和平数”.
例如:
2635,x=2+6,y=3+5,因为x=y,所以2635是“和平数”.
(1)请判断:
3562 (填“是”或“不是”)“和平数”.
(2)直接写出:
最小的“和平数”是 ,最大的“和平数”是 ;
(3)如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍,且百位上的数字与十位上的数字之和是14,求满足条件的所有“和平数”.
(1)是;
(2)1001,9999;
(3)这个数为2864或4958.
分析】
(1)用定义验证x和y是否相等
(2)找最小和最大的单位数,注意千位数不能为0
(3)根据“和平数”定义,以及个数位之间的关系确定
(1)x=3+5=8,y=6+2=8
∵x=y
∴3562是“和平数”
∴答案:
是这个
(2)最小
自然数为0,最大的单位数为9,但千位数字不能为0
∴最小的“和平数”为:
1001
最大的“和平数”为:
9999
(3)解:
设这个“和平数”为
则d=2a,a+b=c+d,b+c=14
∴2c+a=14
∴a为偶数2,4,6(舍去),8(舍去),d=4,6,12(舍去),14(舍去),
①当a=2,d=4时2c+a=14
∴c=6
∵b+c=14
∴b=8
②当a=4,d=8时2c+a=14
∴c=5∵b+c=14
∴b=9
∴综上所述:
这个数为2864或4958
【点睛】本题考查给出新定义后,如何用它来解题的方法.
25.如图,在
中,
,点
为边
上一点,
,且
点
关于直线
的对称点为
,连接
,又
的
边上的高为
(1)判断直线
是否平行?
并说明理由;
(2)证明:
(1)
理由见解析;
(2)见解析
(1)先根据轴对称的性质得出PC=PD,AD=AC,∠APC=∠APD,再根据三角形外角的性质求出∠APC=60°
,进而求出∠BPD=60°
,由条件可得BP=
PD,取DP的中点E,易证△BPE为等边三角形,根据等边三角形的性质和三角形外角的性质求出∠DBE=30°
,进而求出∠DBP=90°
,根据平行线的判定即可得出结论;
(2)作ΔADP的PD边上的高为AF,又作AG⊥BD交BD的延长线于G,根据对称性得出AF=AH,再求得∠GBA=45°
,证明△AGB≌△AHB,得出AG=AH=AF,根据角平分线的判定得出AD平分∠GDP,进而求得∠GDA=75°
,再根据对称性求得∠CAH=∠DAF=∠GAD=15°
,从而得出结论.
(1)BD//AH.
证明:
∵点C关于直线PA的对称点为D,
∴PC=PD,AD=AC,∠APC=∠APD.
又∵∠ABC=45°
,∠PAB=15°
∴∠APC=∠ABC+∠PAB=60°
∴∠DPB=180°
-∠DPA-∠APC=60°
∵BC=3BP,∴BP=
PC,
∴BP=
PD;
取PD的中点E,连接BE,则PE=PB,
∴△BPE为等边三角形,
∴BE=PE=DE,
∴∠DBE=∠BDE=
∠BEP=30°
.
∴∠DBP=∠DBE+∠EBP=90°
又∵AH⊥PC,∴∠AHC=90°
,
∴∠DBP=∠AHC,∴DB//AH;
作ΔADP的PD边上的高为AF,又作AG⊥BD交BD的延长线于G,
由对称性知,AF=AH.
∵∠GBA=∠GBC-∠ABC=45°
∴∠GBA=∠HBA=45°
∴AG=AH,
∴AG=AF,
∴AD平分∠GDP,
∴∠GDA=
∠GDP=
(180°
-∠BDP)=75°
∴∠CAH=∠DAF=∠GAD=90°
-∠GDA=15°
∵∠BAP=15°
∴∠BAP=∠CAH.
点睛:
此题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质,解题的关键是恰当的做出辅助线,利用对称的性质构造全等三角形,然后利用全等三角形的性质即可解决问题.
26.
已知:
等边三角形ABC
(1)如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°
.试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°
.求证:
PA+PD+PC>BD
(1)猜想:
AP=BP+PC,证明见解析;
(2)证明见解析.
(1)AP=BP+PC,理由是延长BP至E,使PE=PC,连接CE,由∠BPC=120°
,推出等边△CPE,得到CP=PE=CE,∠PCE=60°
,根据已知等边△ABC,推出AC=BC,∠ACP=∠BCE,根据三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE,得出AP=BE即可求出结论;
(2)在AD外侧作等边△AB′D,由
(1)得PB′=AP+PD,根据三角形的三边关系定理得到PA+PD+PC>CB′,再证△AB′C≌△ADB,根据全等三角形的性质推出CB′=BD即可.
(1)猜想:
AP=BP+PC,
证明:
延长BP至E,使PE=PC,连接CE,
∵∠BPC=120°
∴∠CPE=60°
又PE=PC,
∴△CPE为等边三角形,
∴CP=PE=CE,∠PCE=60°
∵△ABC为等边三角形,
∴AC=BC,∠BCA=60°
∴∠ACB=∠PCE
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP
∴∠ACP=∠BCE,
∴△ACP≌△BCE(SAS)
∴AP=BE,
∵BE=BO+PE
∴AP=BP+PC
(2)证明:
在AD外侧作等边△AB’D,
则点P在三角形AB’D外,连接PB’,B’C,
∵∠APD=120°
∴由
(1)得PB’=AP+PD,
在△PB’C中,有PB’+PC’>CB’,
∴PA+PB+PC>CB’,
∵△AB’D、△ABC是等边三角形,
∴AC=AB,AB’=AD
∠BAD=∠CAB’
∴△AB’C≌△ADB
∴CB’=BD,
∴PA+PD+PC>BD.
【点睛】本题主要考查对等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,三角形的三边关系,等式的性质等知识点的理解和掌握,此题是一个拔高的题目,有一定的难度.