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1.3问题提出
（1）根据上述描述以及相关资料，尝试构建数学模型以描述病毒从鸟类传向人群的动态演化过程；
（2）考虑在上海这样的特大城市中，如果不对感染人群作及时的治疗和隔离，以构建的模型来说明可能带来的后果；
（3）基于模型讨论，除了隔离手段外，其他因素变化是否可以有效控制病毒在人群中迅速传播。
二、问题分析
1.1问题1的分析
我们可以根据疾病传染的SIR模型[]构建人类H7N9禽流感传染模型，由于已发现H7N9禽流感病毒人传人的案例，所以我们假设人类感染禽流感病毒来自两个方面，禽传人和人传人。
由于在考虑禽传人时需要得到感染禽流感的禽类数量，所以我们先建立禽传禽的SID模型，并在此基础上构建人类感染禽流感病毒的SIRD模型。
1.2问题2的分析
为准确地用数学语言表达“对感染人群作及时的治疗和隔离”这一条件，我们设治愈率μ1为关于时间t的分段函数，当t<
t0时，μ1=0，当t>
t0时，μ1=C（C为常数），并且设已感染者的日接触率ω和潜伏者的日接触率δ均为t的分段函数，如下：
C为常数
为常数
为常数
以时刻t0的大小来衡量政府采取措施的及时情况，并以此改进问题一所构建的模型。
1.3问题3的分析
基于问题
（1）
（2）构建的模型，分析在人群中降低禽流感病毒传播可能性的因素。
三、模型假设
（1）只考虑禽流感病毒在家禽中的传播，不考虑其它动物的影响。
（2）假设H7N9病毒对禽类的致死率为100%,且不存在产生免疫的禽类。
（3）在疾病传播期内，所考察地区的总禽类数不变，设为N0,且暂不考虑迁徙。
（4）在疾病传播期内，所考察地区的总人数不变，设为N,且暂不考虑迁徙及人口的自然出生与死亡。
（5）染病死亡者与易感健康者接触频率很低，不会引起健康者的患病。
（6）H7N9型禽流感病毒在潜伏期仍具有传染性。
（7）人感染H7N9型禽流感在治愈后获得免疫力，将不会再感染此类病毒。
四、定义与符号说明
α
禽类之间的有效日接触率
γ
染病禽类的日死亡率
ω
已感染者与易感染者的日接触率
μ1
已感染者的日治愈率
μ2
已感染者的日死亡率
θ
染病禽类对易感染者的传染率
η
潜伏者转化为感染者的日转化率
δ
潜伏者与易感染者的日接触率
日接触率：
每个病人每天有效接触的平均人数，当病人与健康者有效接触时健康者受感染变为病人【1】。
五、模型的建立与求解
5.1：
人感染H7N9病毒的SIRD模型
5.1.1模型建立思想：
根据疾病传染的SIR模型[]构建人类感染H7N9病毒的SIRD模型，根据假设，人类感染禽流感病毒主要来自于两个方面，人传人和禽传人，我们先构建禽传禽的SID模型。
5.1.2模型的建立：
5.1.2.1禽类流感的SID模型
图一SID模型示意图
禽类分为易感染者（Susceptible）,已感染者（Infective）,和死亡者（Died）
时刻t这三类禽类在总禽类中所占比例分别记为s0（t）,i0（t）,d0（t）
由假设（3）所考察地区禽类总数不变得
已感染禽类数由健康禽类转变所得数与死亡禽类数之差构成，
（t）表示感染总数，αs0（t）表示每只病禽每天可使αs0（t）个易感染禽类变为已感染禽类，于是αs0（t）N0i0（t）表示已感染禽类与易感染禽类接触所导致已感染禽类的增加率，γN0i0（t）表示每日禽类的死亡数，由此得到
（1）
易感染禽类可转化为已感染禽类，同理可得
（2）
以上方程联立可得禽类H7N9传播的SID模型
通过参数设置α=1，γ=0.95，运用MATLAB求解[3]（代码见附录，下同）可以得到如下各种禽类比例随时间的变化情况。
图二SID模型禽类曲线图
从上面的求解结果分析:
（1）健康禽类的数量s0（t）由初值逐渐减小，在t=20附近时近似稳定在一个较大的恒定的数量，由公式
（2）可以看出
≤0，因此s0（t）单调递减。
同时由于考虑到染病禽类具有较高的日死亡率，因此健康禽类的数量最终会稳定在一个较高的水平上，与求解结果相符合。
（2）已感染病毒的禽类数量i0（t）在最开始时有少量的增加，而后近似维持在几乎为0的水平。
这是由于染病禽类具有高的日死亡率导致的，同样与求解结果相符。
（3）已死亡禽类的数量d0（t）由0开始增加，在t=20附近时近似达到最大值，然后长期稳定在该值。
5.1.2.2：
为清楚表示传染源与传播途径之间的关系，画示意图如下：
图三SIRD模型示意图
人群分为易感染者（Susceptible）,已感染者（Infective）,染病死亡者（Dead）和病愈免疫的移出者（Removed）四类。
且在时刻t这三类人占总人口的比例分别记作s（t）,i（t），d（t）和r（t）。
由假设
（1）显然有
对于无免疫能力的易感者而言，会通过与已感者和已感染禽类的接触而被感染，因此有方程
已感者的数量会因健康者被已患病者和患病禽类感染而增加，同时也会因为患者被治愈成为有免疫力的移出者或者治愈未果死亡而减少。
因此对已感者的增加率可列如下方程
由治愈者数量的变化情况可列得如下方程：
由死亡者的数量变化情况可列得如下方程：
综合上述方程可得如下SIRD模型：
通过如下的参数设置：
已感染者与易感染者的日接触率ω=0.1已感染者的日治愈率μ1=0.1已感染者的日死亡率μ2=0.015通过MATLAB求解可以得到如下人群变化曲线：
图四SIRD模型人群曲线图
对上述结果分析可得:
（1）已感染人群的数量所占比例i（t）在传染病传染初期会出现一个短暂的快速上升阶段，经过一定时间之后，其数量又会迅速下降，最终会趋于0。
仿真结果与实际情况相符。
（2）易感染人群的数量所占比例s（t）由初值开始减少，从t=100以后，其数量基本维持在一个较高的比例。
这是由于已感染人群中有极大的比例被治愈或者已死亡，而具有病毒传播能力的患病人群数量在t=100以后几乎趋于0.故病毒几乎不再传播，所以易感染人群的数量也保持稳定。
（3）已治愈人群的数量所占比例r（t）由初值开始增加，在t=100以后，其数量也基本保持在恒定的水平。
其数量与易感染人群的数量之和近似等于总人口，这表明传染病流行过后，人群基本由具有免疫和不具有免疫的健康人组成。
（4）已死亡人数所占比例d（t）从初值缓慢增加，最后保持在很小的比例上。
同时为了分析得到i（t）和s（t）的一般变化规律，需要进行相轨线分析。
下图是绘制的s（t）～i（t）相轨线。
图五SIRD模型相轨线
下面根据SIRD模型的微分方程和上图分析s（t）,i（t）和r（t）的变化情况（t→∞时他们的极限值分别为
和
）.
（1）经过整个传染过程之后，病人最终会消失，即
=0。
在图形上表示为相轨线最终会与s轴相交。
该过程的具体实现已在上文具体阐述过。
（2）未被感染人群的数量
会趋于一个较大的固定的数值（0.7～0.75）。
在图像上表示为相轨线最终与s轴相交。
（3）设相轨线的极大值点的横坐标为σ，当s>
σ，则i（t）先增加，到s=σ的时候，i（t）达到最大值，然后再单调减小到0.从相轨线可以看出，i（t）的数量仅在s（t）的数量处在（σ，1）这一区间内才会增加，因此σ即为控制疫情的阈值。
当s的初始值
的时候，传染病就不会蔓延。
5.2：
人感染H7N9病毒的SEIRD模型
5.2.1模型建立思想：
在上文所建立的人感染H7N9病毒的SIRD模型中，对人群划分不够全面，在查阅相关资料后，在SIRD模型中增加已感染H7N9型病毒却未被发现的潜伏者这一类型[]，使得模型更加完善，为清楚表示传染源与传播途径之间的关系，画示意图如下：
图六SEIRD模型示意图
5.2.2模型的建立
人群分为易感染者（Susceptible）,已感染且被发现者（Infective）,染病死亡者（Dead）或病愈免疫的移出者（Removed）,已感染却未被发现的潜伏者（Exposed）五类。
且在时刻t这五类人占总人口的比例分别记作
s（t）,i（t）,r（t）,e（t）,d（t）。
由假设
（1）
对于无免疫能力的易感者而言，会通过与已感者和已感禽类的接触而转变为潜伏者，由此列出方程：
有一部分潜伏者会转化为已感染者，而已感染者会有其中一部分因被治愈或死亡而退出系统，由此可列方程：
对于未被发现的潜伏者而言，其来源有三个途径，易感人群与易感禽类接触，易感人群与潜伏人群接触，易感人群与已感人群接触；
且会有一部分潜伏者转化为已感人群，由此：
联立以上方程可得人感染H7N9病毒的SIRDE模型
通过MATLAB求解得到模型二的禽类数量变化情况如下：
图七SEIRD模型禽类曲线图
该模型禽类数量的变化已在模型一中详细分析过，这里不再赘述，与求解结果相符合。
通过对模型一添加参数：
染病禽类对易感染者的传染率θ=，潜伏者转化为感染者的日转化率η=，潜伏者与易感染者的日接触率δ=，通过MATLAB求解可得如下关于人群的模拟结果。
图八SEIRD模型人群曲线图
该模型与第一个模型相比增加了潜伏期人群，因此更符合实际情况。
对该模型的分析如下：
（1）该模型中关于i（t）,r（t）,s（t）,d（t）的讨论与模型一类似，只是该模型增加了潜伏期人群，因此相比与模型一,易感染人群数量s（t）下降，已治愈人群数量r（t）上升，与求解结果相符。
（2）该模型中的潜伏期人群e（t）由初值开始缓慢的增加，然后又降低，最后维持在一个几乎为0的水平。
由于传染初期潜伏期人群数量会有比较快的增长，但由于潜伏期人群最终会转化为患病人群，因此在增长之后，它会继续下降，最后维持在一个较少的数量，同样与求解结果相符。
同样可得到模型二的i（t）～s（t）相轨线如下：
图九SEIRD模型相轨线
对相轨线的分析与模型一的分析类似，这里不再详细介绍。
5.3：
带响应时间的SEIRD模型
5.3.1模型建立思想：
与模型5.3类似，但是在考虑不同级别城市时，总人数N并不是常数，用Ni表示不同级别城市的总人口数，且为衡量政府采取措施的及时情况，引进函数
，
：
t0表示响应时间，t0越小说明政府采取的政策越及时，病毒的传播途径示意图与模型5.2相同。
5.3.2模型的建立
通过在模型二的基础上，引入反映政府采取措施及时程度的分段函数，可得如下几种结果：
（1）禽类数量的变化情况
图十带响应时间的SEIRD模型禽类曲线图
模型三在模型二的基础上考虑了政府采取控制疫情措施的影响，这对于禽类数量的变化情况几乎不构成影响，因此关于禽类数量变化情况与模型一和模型二相同。
（2）人群数量的变化情况
图十一带响应时间的SEIRD模型人群曲线图
该模型引入了政府的防治措施，对其分析如下：
（1）易感染人群的数量比率s（t）较未采取措施的模型二有了很大的提高,同时在采取措施前后的人数变化差异很明显。
（2）其它人群如已感染人群i（t）,潜伏期人群e（t）,死亡人群d（t）和已治愈人群r（t）的分析与模型二的基本类似。
（3）相轨线分析
图十二带响应时间的SEIRD模型相轨线
与模型一二的相轨线相比，模型三的相轨线在阈值点附近并不是光滑曲线，这是由于政府采取措施使得人们染病的几率突然减小所导致的，从相轨线可以看出，i（t）的数量仅在s（t）的数量处在（σ，1）这一区间内才会增加，因此σ即为控制疫情的阈值。
当s的初始值s_0≤σ的时候，传染病就不会蔓延。
因此，为了制止传染病的蔓延，一个有效的途径就是降低s0,这可以通过预防接种来提高群体免疫率的方法来实现，即提高初始时刻免疫者r（t）的比例。
5.3.3模型的分析
为了直观分析模型三中政府采取措施的及时程度对各类人群数量变化的影响，分别画出了在t=20,t=40和t=60采取措施以及不采取措施时各类人群的变化情况图如下：
图十三不同响应时间比较
由图可以直观地看出，政府采取措施的及时程度对控制疾病的传染有着显著的意义。
当政府在第20天开始采取措施时，疫情结束时的死亡率约为5%左右，当政府在第40天开始采取措施时，疫情结束时的死亡率为18%左右，当政府在第60天开始采取措施时，疫情结束时的死亡率为27%左右，若政府不采取措施，疫情结束时的死亡率为80%左右，由此可知，若政府不及时采取有效的治疗隔离手段，将会加大疫情对人们的影响。
六、模型的检验
通过收集2014年禽流感的患病人数和死亡人数，分别绘制出了感染禽流感人数变化趋势图和染病死亡人数变化趋势图。
同样的根据本文所建立的模型也绘出了这两种趋势预测图如下：
图十四模型与实际对比
由图可以看出：
模型预测和真实情况在大部分符合的很好，只是在实际情况可以看出染病人数和死亡人数在达到平稳趋势后还会有所增加，而模型预测的图并没有这一趋势。
总体上来说，我们所建立的SIRDE模型是能够准确描述H7N9禽流感病毒从鸟类传向人群的动态演化过程，同时也能准确预测流感造成的各类人群的变化情况。
七、模型评价与推广
7.1模型评价
7.1.1模型的优点
本文的最终模型为模型三：
改进的人感染H7N9病毒的SEIRD模型，与通常的SIR模型相比，本模型在考虑人群划分时更加全面，增加了对潜伏期人群和死亡人群的考虑，并且考虑到在现实生活中，在大规模传染疾病爆发后，当地政府通常会采取隔离或治疗等措施来阻止或减缓疾病的蔓延，并以采取措施的时刻t0来衡量政府采取措施的及时程度，与之前的模型一二相比，与实际情况更加符合。
7.1.1模型的缺点
本模型将一个地区的禽类总数和人口总数设为定值，但在实际生活中存在人口流动和迁徙的情况使得模型不够完善。
由于未能查询到充足信息，本模型参数的设置是人为给定，可能与实际中人感染H7N9情况有些许出入。
由实际情况所绘制的感染人数和死亡人数随时间的变化情况来看，在达到一个较为平稳的值后，感染人数和死亡人数依旧有所增加，但本模型并不能很好的解释这一情况。
7.2模型推广
本模型适用范围很广，除适用于人感染H7N9病毒的传播情况外，对于其他类型的传染疾病依旧适合，只需要适当调整日接触率，日死亡率等参数即可。
由于题中信息所限，所以本模型在实际应用时仍存在改进空间，若信息充足，可在以下几方面对模型进行改进推广：
一个地区的总人数一般是变化的，可适当引入人口流动模型，使得本模型更加完善。
根据有关新闻媒体报道，有些患者在未与禽类或已感染人群接触的情况下也感染了H7N9型禽流感病毒，因此可在本模型中引进环境中未确定因素对易感人群的致病率这一参数，使其更符合实际。
八、参考文献
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