第二章 222Word下载.docx

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，

不成等差数列.

证明　假设

成等差数列，

则2

＝

＋

∴4b＝a＋c＋2

.①

∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②

由②得b＝

，代入①式，

得a＋c－2

＝（

－

）2＝0，

∴a＝c，从而a＝b＝c.

这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，

∴假设不成立.故

二、用反证法证明“至多、至少”类问题

例2　a，b，c∈（0,2），求证：

（2－a）b，（2－b）c，（2－c）a不能都大于1.

证明　假设（2－a）b，（2－b）c，（2－c）a都大于1.

因为a，b，c∈（0,2），所以2－a>

0,2－b>

0,2－c>

0.

所以

≥

>

1.

同理，

1，

三式相加，得

3，

即3>

3，矛盾.

所以（2－a）b，（2－b）c，（2－c）a不能都大于1.

反思感悟　

（1）用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误.需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思.

（2）常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：

原结论词

至少有一个

至多有一个

至少有n个

至多有n个

反设词

一个也没有（不存在）

至少有两个

至多有n－1个

至少有n＋1个

跟踪训练2　已知a，b，c是互不相等的实数，求证：

由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.

证明　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，

由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，

得Δ1＝（2b）2－4ac≤0，Δ2＝（2c）2－4ab≤0，

且Δ3＝（2a）2－4bc≤0.

同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，

所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，

所以（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2≤0，

所以a＝b＝c.

这与题设a，b，c互不相等矛盾，

因此假设不成立，从而命题得证.

三、用反证法证明唯一性命题

例3　求证：

方程2x＝3有且只有一个根.

证明　∵2x＝3，∴x＝log23.

这说明方程2x＝3有根.

下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的.

假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2（b1≠b2），

则

＝3,

＝3，两式相除得

∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾.

∴假设不成立，从而原命题得证.

反思感悟　

（1）用反证法证明唯一性命题的一般思路：

证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.

（2）本例的学习，使学生掌握推理的基本形式和规则，学会有逻辑地思考问题，提升逻辑推理的数学核心素养.

跟踪训练3　求证：

两条相交直线有且只有一个交点.

证明　设两直线为a，b，假设结论不成立，即有两种可能：

无交点；

至少有两个交点.

（1）若直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾；

（2）若直线a，b至少有两个交点，设为A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.

所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点.

1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设（　　）

A.三角形中至少有一个直角或钝角

B.三角形中至少有两个直角或钝角

C.三角形中没有直角或钝角

D.三角形中三个角都是直角或钝角

答案　B

2.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°

”，应先假设这个三角形中（　　）

A.有一个内角小于60°

B.每一个内角都小于60°

C.有一个内角大于60°

D.每一个内角都大于60°

3.“a<

b”的反面应是（　　）

A.a≠bB.a>

b

C.a＝bD.a＝b或a>

答案　D

4.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（　　）

A.a不垂直于cB.a，b都不垂直于c

C.a⊥bD.a与b相交

5.用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0（a，b为实数）”，其反设为______________.

答案　a，b至少有一个不为0

用反证法证题要把握三点

（1）必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.

（2）反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.

（3）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.

一、选择题

1.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是

①与已知条件矛盾；

②与假设矛盾；

③与定义、公理、定理矛盾；

④与事实矛盾.

其中正确的为（　　）

A.①②③④B.①③

C.①③④D.①②

答案　A

2.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（　　）

A.a，b，c都是偶数

B.a，b，c都是奇数

C.a，b，c中至少有两个偶数

D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

解析　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：

3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”.

3.

（1）已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；

（2）已知a，b∈R，|a|＋|b|<

1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1，以下结论正确的是（　　）

A.

（1）与

（2）的假设都错误

B.

（1）与

（2）的假设都正确

C.

（1）的假设正确；

（2）的假设错误

D.

（1）的假设错误；

（2）的假设正确

解析　

（1）的假设应为p＋q>

2，

（2）的假设正确.

4.有下列叙述：

①“x＝y”的反面是“x>

y或x<

y”；

②“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；

③“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.其中正确的叙述有（　　）

A.0个B.1个C.2个D.3个

解析　①对；

②错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；

③错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.

5.设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（　　）

A.0B.

C.

D.1

解析　假设a，b，c都小于

，则a＋b＋c<

1，故与已知a＋b＋c＝1相矛盾.故选B.

6.设a，b，c都是正数，则三个数a＋

，b＋

，c＋

（　　）

A.都大于2B.至少有一个大于2

C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2

答案　C

解析　假设a＋

<

2，b＋

2，c＋

2，

6.

又

≥2＋2＋2＝6，

这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.

二、填空题

7.用反证法证明命题“若x2－（a＋b）x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设__________.

答案　x＝a或x＝b

8.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°

＋90°

＋∠C>

180°

，这与三角形内角和为180°

矛盾，故假设错误.

②所以一个三角形不能有两个直角.

③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°

.

上述步骤的正确顺序为________.

答案　③①②

9.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：

我没有偷；

乙：

丙是小偷；

丙：

丁是小偷；

丁：

我没有偷.

根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是________.

答案　甲

解析　假如甲：

我没有偷是真的，则乙：

丁是小偷是假的；

我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾.

假如甲：

我没有偷是假的，则丁：

我没有偷就是真的，乙：

丙是小偷，丙：

丁是小偷是假的，成立.

∴可以判断偷珠宝的人是甲.

10.完成反证法证题的全过程.

题目：

设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：

乘积p＝（a1－1）（a2－2）…（a7－7）为偶数.

证明：

假设p为奇数，则________均为奇数.①

因为7个奇数之和为奇数，故有

（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）为________.②

而（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）

＝（a1＋a2＋…＋a7）－（1＋2＋…＋7）＝________.③

②与③矛盾，故p为偶数.

答案　①a1－1，a2－2，…，a7－7　②奇数　③0

解析　由假设p为奇数可知，（a1－1），（a2－2），…，（a7－7）均为奇数，故（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）

＝（a1＋a2＋…＋a7）－（1＋2＋…＋7）＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾.

11.若下列两个方程x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是____________________.

答案　（－∞，－2]∪[－1，＋∞）

解析　若两方程均无实根，则Δ1＝（a－1）2－4a2

＝（3a－1）（－a－1）<

0，∴a<

－1或a>

Δ2＝（2a）2＋8a＝4a（a＋2）<

0，

∴－2<

a<

0，故－2<

－1.

若两个方程至少有一个方程有实根，

则a≤－2或a≥－1.

三、解答题

12.若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋

，b＝y2－2z＋

，c＝z2－2x＋

.求证：

a，b，c中至少有一个是大于0的.

证明　假设a，b，c都不大于0，

则a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，

而a＋b＋c＝

＝（x2－2x）＋（y2－2y）＋（z2－2z）＋π＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3，

∴a＋b＋c>

0.这与a＋b＋c≤0矛盾，

∴假设不成立，

故a，b，c中至少有一个是大于0的.

13.已知f（x）＝ax＋

（a>

1），求证：

方程f（x）＝0没有负数根.

证明　假设x0是f（x）＝0的负数根，

则x0<

0且x0≠－1，且ax0＝－

∴0<

<

1，∴0<

解得

x0<

2，这与x0<

0矛盾，

故方程f（x）＝0没有负数根.

14.若a，b，c，d都是有理数，

都是无理数，且a＋

＝b＋

，则a与b，c与d之间的数量关系为____________________________________________________.

考点　反证法及应用

题点　反证法的应用

答案　a＝b，c＝d

解析　假设a≠b，令a＝b＋m（m是不等于零的有理数），

于是b＋m＋

所以m＋

，两边平方整理得

左边是无理数，右边是有理数，矛盾，

因此a＝b，从而c＝d.

15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋

，S3＝9＋3

（1）求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

（2）设bn＝

（n∈N＋），求证：

数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

（1）解　设公差为d，由已知得

∴d＝2，故an＝2n－1＋

，Sn＝n（n＋

）.

（2）证明　由

（1）得bn＝

＝n＋

假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则b

＝bpbr，

即（q＋

）2＝（p＋

）（r＋

），

∴（q2－pr）＋

（2q－p－r）＝0.

∵p，q，r∈N＋，

∴

2＝pr，（p－r）2＝0，

∴p＝r，这与p≠r矛盾.

∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.