届高三数学文理通用一轮复习《集合的概念及运算》题型专题汇编Word文档下载推荐.docx
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5、已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，
当x＝－1时，y＝－1,0,1；
当x＝0时，y＝－1,0,1；
当x＝1时，y＝－1,0,1，
所以A中元素共有9个，
6、若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3，
解得a＝0或a＝－1或a＝1.
当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意；
当a＝－1时，2a－1＝a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意．
综上知a＝0或1.
7、设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1,2}，Q＝{－1,0,1}，则集合P*Q中元素的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
当b＝0时，无论a取何值，z＝ab＝1；
当a＝1时，无论b取何值，ab＝1；
当a＝2，b＝－1时，z＝2－1＝
；
当a＝2，b＝1时，z＝21＝2.
故P*Q＝{1，
，2}，该集合中共有3个元素．
题型二 集合间的基本关系
1、集合M＝
，N＝
，则两集合M，N的关系为（ ）
A．M∩N＝∅B．M＝NC．M⊆ND．N⊆M
由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k（k∈Z），则x＝k＋1（k∈Z），当n为奇数时，设n＝2k＋1（k∈Z），则x＝k＋1＋
（k∈Z），∴N⊆M，故选D.
2、已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018<
0}，B＝{x|x<
a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是_
由x2－2019x＋2018<
0，解得1<
x<
2018，故A＝{x|1<
2018}．
又B＝{x|x<
a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2018.
3、已知集合A＝{y|0≤y<
a，y∈N}，B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，若A⊆B，则满足条件的正整数a所构成集合的子集的个数为________．
B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，当a分别取1,2,3时，所得集合A分别为{0}，{0,1}，{0,1,2}，均满足A
B，当a＝4时，A＝{0,1,2,3}，不满足A⊆B，同理，当a≥5时均不满足A⊆B.所以满足条件的正整数a所构成的集合为{1,2,3}，其子集有8个．
4、已知集合A＝{x|－1<
3}，B＝{x|－m<
m}．若B⊆A，则m的取值范围为__________．
当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.当m>
0时，因为A＝{x|－1<
3}，B⊆A，
所以在数轴上标出两集合，如图，
所以
所以0<
m≤1.综上所述，m的取值范围为（－∞，1]．
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
1、已知集合A＝{y|y＝ex，x∈R}，B＝{x∈R|x2－x－6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．（0，2）B．（0，3]C．[－2，3]D．[2，3]
选B.由已知得A＝（0，＋∞），B＝[－2，3]，所以A∩B＝（0，3]，故选B.
2、已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（ ）
A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅
选A.因为3x＜1＝30，所以x＜0，所以B＝{x|x＜0}，
所以A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.
3、已知全集为整数集Z.若集合A＝{x|y＝
，x∈Z}，B＝{x|x2＋2x>
0，x∈Z}，则A∩（∁ZB）＝（ ）
A．{－2}B．{－1}C．[－2，0]D．{－2，－1，0}
选D.由题可知，集合A＝{x|x≤1，x∈Z}，B＝{x|x>
0或x<
－2，x∈Z}，故A∩（∁ZB）＝{－2，－1，0}，故选D.
4、已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝（ ）
A．{0,2}B．{1,2}C．{0}D．{－2，－1,0,1,2}
A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．故选A.
5、设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<
2}，则（A∪B）∩C＝（ ）
A．{－1,1}B．{0,1}C．{－1,0,1}D．{2,3,4}
由题意得A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，又C＝{x∈R|－1≤x<
2}，
∴（A∪B）∩C＝{－1,0,1}．
6、若全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是（ ）
由题意知，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，而M＝{－1,0,1}，所以N⊆M，故选B.
7、若集合A＝{i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B＝{1，－1}，则A∩B等于（ ）
A．{－1}B．{1}C．{1，－1}D．∅
因为A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}.
6．设集合A＝{x||x－1|<
2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]，则A∩B＝（ ）
A．[0,2]B．（1,3）C．[1,3）D．（1,4）
A＝{x||x－1|<
2}＝{x|－1<
3}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}＝{y|1≤y≤4}，
∴A∩B＝{x|－1<
3}∩{y|1≤y≤4}＝{x|1≤x<
3}．
7．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N＝（ ）
A．MB．NC．ID．∅
∵N∩∁IM＝∅，∴N⊆M.又M≠N，∴N⊆M，∴M∪N＝M.故选A.
8、已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
∵A∩B＝{1}，A＝{1,2}，∴1∈B且2∉B.
若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．又a2＋3≥3≠1，故a＝1.
9、已知集合A＝
，则∁RA等于（ ）
A．{x|－1<
2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<
－1}∪{x|x>
2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
∵x2－x－2>
0，∴（x－2）（x＋1）>
0，∴x>
2或x<
－1，即A＝{x|x>
－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．
由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．
10、已知集合A＝{x|x2－2x>
0}，B＝{x|－
<
5}，则（ ）
A．A∩B＝∅B．A⊆BC．B⊆AD．A∪B＝R
∵A＝{x|x>
0}，∴A∪B＝R.
命题点2 利用集合的运算求参数
1、已知集合A＝{x|x<
a}，B＝{x|x2－3x＋2<
0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（ ）
A．a<
1B．a≤1C．a>
2D．a≥2
集合B＝{x|x2－3x＋2<
0}＝{x|1<
由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图．
，可知a≥2.
2、设集合A＝{－1,0,1}，B＝
，A∩B＝{0}，则实数a的值为________．
0∈
，由a＋
≠0，则a－1＝0，则实数a的值为1.
经检验，当a＝1时满足题意．
3、已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若B⊆A，则实数m的值是（ ）
A．0B．2
C．0或2D．0或1或2
答案 C
解析 ∵{1，m}⊆{0,1,2}，∴m＝0或2.
4、已知集合A＝{a，b,2}，B＝{2，b2,2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝________.
因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，则
或
解得a＝0或a＝
所以a的值为0或
5、已知集合A＝{x|－2<
4}，B＝{x|y＝lg（x－2）}，则A∩（∁RB）等于（ ）
A．（2,4）B．（－2,4）C．（－2,2）D．（－2,2]
由题意得B＝{x|y＝lg（x－2）}＝（2，＋∞），
∴∁RB＝（－∞，2]，∴A∩（∁RB）＝（－2,2]．
6、已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<
m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为（ ）
A．[－1,2）B．[－1,3]C．[2，＋∞）D．[－1，＋∞）
由x2－x－12≤0，得（x＋3）（x－4）≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．
又A∩B＝B，所以B⊆A.
①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；
②当B≠∅时，有
解得－1≤m<
2.
综上，m的取值范围为[－1，＋∞）．
7、设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．
因为A∩B＝B，所以B⊆A，
因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：
①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，
由根与系数的关系，得
解得a＝1；
②当B≠∅且B⊆A时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<
0，
解得a<
－1.
综上所述，所求实数a的取值范围是（－∞，－1]∪{1}．
题型四 集合的新定义问题
1、已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：
A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为（ ）
A．15B．16C．20D．21
由x2－2x－3≤0，得（x＋1）（x－3）≤0，得A＝{0,1,2,3}．
因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，
所以A*B中的元素有：
0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3（舍去），2＋3＝5,3＋1＝4（舍去），3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，
所以A*B中的所有元素数字之和为21.
2、设数集M＝
，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．
在数轴上表示出集合M与N（图略），
可知当m＝0且n＝1或n－
＝0且m＋
＝1时，M∩N的“长度”最小．
当m＝0且n＝1时，M∩N＝
，长度为
－
＝
当n＝
且m＝
时，M∩N＝
综上，M∩N的长度的最小值为
3、用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义A*B＝
若A＝{1,2}，B＝{x|（x2＋ax）（x2＋ax＋2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）＝________.
因为C（A）＝2，A*B＝1，所以C（B）＝1或C（B）＝3.由x2＋ax＝0，得x1＝0，x2＝－a.关于x的方程x2＋ax＋2＝0，当Δ＝0，即a＝±
2
时，易知C（B）＝3，符合题意；
当Δ>
0，即a<
－2
或a>
时，易知0，－a均不是方程x2＋ax＋2＝0的根，故C（B）＝4，不符合题意；
当Δ<
0，即－2
a<
时，方程x2＋ax＋2＝0无实数解，当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意，当－2
0或0<
时，C（B）＝2，不符合题意．综上，S＝{0，－2
，2
}，故C（S）＝3.
4、已知集合M＝
，则M∩N＝（ ）
A．∅B．{（4，0），（3，0）}C．[－3，3]D．[－4，4]
由题意可得M＝{x|－4≤x≤4}，N＝{y|y∈R}，所以M∩N＝[－4，4]．故选D.
5、在实数集R上定义运算*：
x*y＝x·
（1－y）．若关于x的不等式x*（x－a）＞0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，2]B．[－2，－1）∪（－1，0]C．[0，1）∪（1，2]D．[－2，0]
选D.依题意可得x（1－x＋a）＞0.因为其解集为{x|－1≤x≤1}的子集，所以当a≠－1时，0＜1＋a≤1或－1≤1＋a＜0，即－1＜a≤0或－2≤a＜－1.当a＝－1时，x（1－x＋a）＞0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a≤0.故选D.
6、若x∈A，则
∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝
的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A．15B．16C．28D．25
由题意得，满足题意的伙伴关系的集合由以下元素构成：
－1，1，
，2，
，3，
其中
和2，
和3必须同时出现．所以具有伙伴关系的集合的个数为24－1＝15.
《集合的概念及运算》课后作业
1、已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A．－3∈AB．3∉B
C．A∩B＝BD．A∪B＝B
由题意知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故选C.
2、设集合M＝{－1,1}，N＝
，则下列结论中正确的是（ ）
A．N⊆MB．M⊆N
C．N∩M＝∅D．M∪N＝R
由题意得，集合N＝
，所以M⊆N.故选B.
3、设集合A＝{x∈Z|x2－3x－4<
0}，B＝{x|2x≥4}，则A∩B等于（ ）
A．[2,4）B．{2,4}
C．{3}D．{2,3}
由x2－3x－4<
0，得－1<
4，因为x∈Z，所以A＝{0,1,2,3}，由2x≥4，得x≥2，即B＝{x|x≥2}，所以A∩B＝{2,3}．
4、已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即（－1，－1），（－1,0），（－1,1），（0，－1），（0,0），（0,1），（1，－1），（1,0），（1,1），共有9个．
5、设集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{0,1}，则∁AB等于（ ）
A．{－3，－2，－1}B．{－1,2,3}
C．{－1,0,1,2,3}D．{0,1}
由题意可知A＝{－1,0,1,2,3}，则∁AB＝{－1,2,3}．故选B.
6、已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<
0}，集合A＝{x∈N|－2<
x≤2}，B＝{1,2,3,5}，则（∁UA）∩B等于（ ）
A．{3,5}B．{2,3,5}C．{2,3,4,5}D．{3,4,5}
由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则（∁UA）∩B＝{3,5}．故选A.
7、设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于（ ）
A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}
∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.
8、已知集合A＝{x|－1<
0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为（ ）
A．（－∞，0]B．[0，＋∞）C．（－∞，0）D．（0，＋∞）
用数轴表示集合A，B（如图），由A⊆B，得a≥0.
9、已知集合P＝{x|y＝
，x∈N}，Q＝{x|lnx<
1}，则P∩Q＝________.
由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因为x∈N，所以P＝{0,1,2}．因为lnx<
1，所以0<
e，所以Q＝（0，e），则P∩Q＝{1,2}．
10、若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3（2－x）≤1}，则A∩（∁UB）＝________
集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，
∵log3（2－x）≤1＝log33，∴0<
2－x≤3，∴－1≤x<
2，∴B＝{x|－1≤x<
∴∁UB＝{x|x<
－1或x≥2}，∴A∩（∁UB）＝{x|x<
－1或x≥2}．
11、设集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，若A∩B＝{－1,2}，则a的值为________．
∵集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，A∩B＝{－1,2}，
∴
解得a＝－2或a＝1.
经检验，a＝－2和a＝1均满足题意．
12、已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<
0，c>
0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是____
由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>
0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<
0}＝（0，c）．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.
13、已知集合A＝{x∈R||x＋2|<
3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<
0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝______，n＝________.
A＝{x∈R||x＋2|<
3}＝{x∈R|－5<
1}，
由A∩B＝（－1，n），可知m<
1，则B＝{x|m<
2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.
14、设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．
15、已知集合A＝
，B＝{（x，y）|y＝kx＋m，k∈R，m∈R}，若对任意实数k，A∩B≠∅，则实数m的取值范围是____________．
由已知，无论k取何值，椭圆
＋
＝1和直线y＝kx＋m均有交点，故点（0，m）在椭圆
＝1上或在其内部，∴m2≤2，∴－
≤m≤
16、已知A＝
，B＝{x|x2－2x＋1－a2≤0}（a>
0），若A∪B＝B，则实数a的取值范围是______．
由
>
0可得（x－2）（x－6）<
0，∴2<
6，∴A＝（2,6）．
又x2－2x＋1－a2≤0可化为[x－（1－a）][x－（1＋a）]≤0.又a>
0，∴B＝[1－a,1＋a]．
由A∪B＝B，得A⊆B，∴
∴a≥5.∴实数a的取值范围是[5，＋∞）．
17、已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．
因为A∩B＝∅，
①若当2m≥1－m，即m≥
时，B＝∅，符合题意；
②若当2m＜1－m，即m＜
时，需满足
解得0≤m＜
或∅，即0≤m＜
.综上，实数m的取值范围是[0，＋∞）.
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