新教材人教B版数学选择性必修第一册学案第2章23233直线与圆的位置关系含答案文档格式.docx

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d＝r

d＞r

代数法：

由

消元得到一元二次方程的判别式Δ

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

图形

（1）利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x（或y）的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程解的个数，进一步判断两者的位置关系．

（2）利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离．

（3）对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，但较烦琐；

几何法是从几何角度考虑，方法简单，也是判断直线与圆的位置关系的常用方法．

1．

（1）直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是（　　）

A．相交　　　B．相切　　　C．相离　　D．无法判断

（2）直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是________．

（1）B　

（2）（0，

－1）　[

（1）圆心（0，0）到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝

＝1，又圆x2＋y2＝1的半径为1，∴d＝r，故直线与圆相切．

（2）由题意得圆心（0，a）到直线x＋y－1＝0的距离大于半径a，即

＞a，解得－

－1＜a＜

－1，又a＞0，∴0＜a＜

－1．]

知识点2　直线与圆相切的几个重要结论

1．自一点引圆的切线的条数

（1）若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

（2）若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

（3）若点在圆内，则过此点不能作圆的切线．

2．切线方程的几个重要结论

（1）经过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2．

（2）经过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2．

（3）经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＋D·

＋E·

＋F＝0．

（4）已知圆x2＋y2＝r2的切线的斜率为k，则圆的切线方程为y＝kx±

r

．

3．切线长公式

（1）从圆外一点P（x0，y0）引圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的切线，则点P到切点的切线长

d＝

（2）从圆外一点P（x0，y0）引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）的切线，则点P到切点的切线长d＝

2．

（1）已知圆的方程为x2＋y2＝1，则经过圆上一点M（1，0）的切线方程是（　　）

A．x＝1B．y＝1

C．x＋y＝1D．x－y＝1

（2）从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向圆引切线，则切线长为________．

（1）A　

（2）2　[

（1）法一：

由圆的方程为x2＋y2＝1，可知圆心的坐标为（0，0），圆的半径r＝1，

故经过圆上一点M（1，0）的切线方程是x＝1．

法二：

直接应用知识点2中切线方程的第

（1）个结论得，所求切线方程为1·

x＋0·

y＝12，即x＝1．

（2）法一：

点P（2，3）到圆心（1，1）的距离为

＝

，则切线长为

＝2．

法二：

利用切线长公式，易得切线长为

＝2．]

类型1　直线与圆位置关系的判定

【例1】　（对接教材人教B版P107例1）已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？

只有一个公共点？

没有公共点？

[解]　法一：

得

2x2＋2bx＋b2－2＝0，③

方程③的根的判别式Δ＝（2b）2－4×

2（b2－2）＝－4（b＋2）（b－2）．

（1）当－2＜b＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点．

（2）当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点．

（3）当b＜－2或b＞2时，Δ＜0，方程组没有实数解，直线与圆没有公共点．

圆的半径r＝

，圆心O（0，0）到直线y＝x＋b的距离为d＝

当d＜r，即－2＜b＜2时，圆与直线相交，有两个公共点．

当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点．

当d＞r，|b|＞2，即b＜－2或b＞2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点．

直线与圆的位置关系的判断方法

[跟进训练]

1．已知圆的方程x2＋（y－1）2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？

无公共点？

得2x2－2（1＋b）x＋b2＋2b－1＝0，①

其判别式Δ＝4（1＋b）2－8（b2＋2b－1）＝－4（b＋3）（b－1），

当－3＜b＜1时，Δ＞0，方程①有两个不等实根，直线与圆有两个公共点；

当b＝－3或1时，Δ＝0，方程①有两个相等实根，直线与圆有一个公共点；

当b＜－3或b＞1时，Δ＜0，方程①无实数根，直线与圆无公共点．

圆心（0，1）到直线y＝x－b距离d＝

，圆半径r＝

当d＜r，即－3＜b＜1时，直线与圆相交，有两个公共点；

当d＝r，即b＝－3或1时，直线与圆相切，有一个公共点；

当d＞r，即b＜－3或b＞1时，直线与圆相离，无公共点．

类型2　求圆的切线方程

【例2】　过点A（4，－3）作圆C：

（x－3）2＋（y－1）2＝1的切线，求此切线的方程．

[解]　因为（4－3）2＋（－3－1）2＝17＞1，

所以点A在圆外．

（1）若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，

则切线方程为y＋3＝k（x－4）．

因为圆心C（3，1）到切线的距离等于半径，半径为1，

所以

＝1，即|k＋4|＝

，

所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－

所以切线方程为y＋3＝－

（x－4），即15x＋8y－36＝0．

（2）若直线斜率不存在，

圆心C（3，1）到直线x＝4的距离也为1，

这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4．

综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4．

过一点求圆的切线方程的方法

（1）点在圆上时

求过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程：

先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－

，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0．

（2）点在圆外时

①几何法：

设切线方程为y－y0＝k（x－x0）．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．

②代数法：

设切线方程为y－y0＝k（x－x0），与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．

提醒：

注意切线的斜率不存在的情况，不要漏解．

2．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，求该直线的方程．

[解]　圆x2＋y2＋4x＋3＝0化为标准式（x＋2）2＋y2＝1，圆心C（－2，0），设过原点的直线方程为y＝kx，即kx－y＝0．∵直线与圆相切，

∴圆心到直线的距离等于半径，

即

＝1，∴3k2＝1，

k2＝

，解得k＝±

∵切点在第三象限，∴k＞0，

∴所求直线方程为y＝

x．

类型3　直线截圆所得弦长问题

【例3】　直线l经过点P（5，5）并且与圆C：

x2＋y2＝25相交截得的弦长为4

，求l的方程．

1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？

[提示]　将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|＝

求弦长．

2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？

[提示]　通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长|AB|＝2

[解]　据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k（x－5），与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）．

法一：

联立方程得

消去y，得（k2＋1）x2＋10k（1－k）x＋25k（k－2）＝0．

由Δ＝[10k（1－k）]2－4（k2＋1）·

25k（k－2）>

0，

解得k＞0．又x1＋x2＝－

x1x2＝

由斜率公式，得y1－y2＝k（x1－x2）．

∴|AB|＝

＝4

两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝

或k＝2，符合题意．

故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．

如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．

在Rt△AHO中，|OA|＝5，

|AH|＝

|AB|＝

×

4

＝2

则|OH|＝

∴

解得k＝

或k＝2．

∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．

（变条件）直线l经过点P（2，－1）且被圆C：

x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l的方程．

[解]　圆的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝25，圆心C（3，1）．因为|CP|＝

＜5，所以点P在圆内．当CP⊥l时，弦长最短．

又kCP＝

＝2．所以kl＝－

，所以直线l的方程为y＋1＝－

（x－2），即x＋2y＝0．

直线与圆相交时弦长的2种求法

（1）几何法：

如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有

＋d2＝r2，则|AB|＝2

图1　　　　　　　　图2

（2）代数法：

如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝

|x1－x2|＝

|y1－y2|（直线l的斜率k存在且不为0）．

3．直线

x＋y－2

＝0，截圆x2＋y2＝4所得的弦长是________．

2　[圆心到直线

＝0的距离d＝

．所以弦长l＝2

1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是（　　）

A．相切　　　　　　B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心D．相离

B　[圆心到直线的距离d＝

＜1．

又∵直线y＝x＋1不过圆心（0，0），

∴直线与圆相交但不过圆心．]

2．设直线l过点P（－2，0），且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是（　　）

A．±

1　　　B．±

　　C．±

　　　D．±

C　[设l：

y＝k（x＋2），即kx－y＋2k＝0．

又l与圆相切，∴

＝1．∴k＝±

．]

3．若圆C：

（x－5）2＋（y＋1）2＝m（m＞0）上有且只有一点到直线4x＋3y－2＝0的距离为1，则实数m的值为（　　）

A．4　　　　B．16　　C．4或16　　D．2或4

A　[由题意知直线与圆相离，则有

－

＝1，解得m＝4，故选A．]

4．直线x＋2y－5＋

＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为________．

4　[圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝5，圆心（1，2）到直线x＋2y－5＋

＝1，所以弦长为2

＝4．]

5．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是________．

（－∞，－2）∪（2，＋∞）　[因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，所以

＞

，解得m＜－2或m＞2．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法？

[提示]　

（1）若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；

（2）若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．

（3）已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可．

2．利用代数法判断直线与圆的位置关系时需要注意什么问题？

[提示]　

（1）代入消元过程中消x还是消y取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x－ay＋1＝0，则应将其化为x＝ay－1，然后代入消x．

（2）利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．