因式分解公式大全.docx
《因式分解公式大全.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《因式分解公式大全.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
因式分解公式大全
公式及方法大全
待定系数法(因式分解)
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广
泛,这里介绍它在因式分解中的应用.
在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.
常用的因式分解公式:
(x+a)(x+R=X,+S+B)x+必
(d±A)a=d3±2ab+b2
©士®U土如6+%沪土护
a2-b2=(a_b%+b)
J土沪=(fl±a)3干必+沪)
U@-3)(严+严E+严护十••十严+严)仇为正整数)
aK-bn=@+3)(严-严3+(/寿-••十严-旷】)(涵偶数)
aB+y=(a+bXa^-a^b+a11^——沪+护“)(潍为奇数)
⑺+占+”二a1+沪+/+2必+2加+2血
+i34-c'1-3abc-(a+b+r)(卅+b2+/-ab-bc-ca)
例1分解因式:
x2+3xy+2y2+4x+5y+3.
分析由于
(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),
若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出n,使问题得到解决.
解设
x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn比较两边对应项的系数,则有
解之得m=3,n=1.所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1).
说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.
例2分解因式:
x4-2x3-27x2-44x+7.
分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是土1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式
没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为
(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.
解设
原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,
所以有
由bd=7,先考虑b=1,d=7有
所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)
说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入方程组后,无法确定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止.
本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法,使我们找到了二次因式.由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地.
求根法(因式分解)
我们把形如anxn+an-1xn-1+--+a1x+a0(n为非负整
数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,女口f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,
当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)f
(1)=12-3x
我们把形如anxn+an-ixn-1+…+玄ix+ao(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如
f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,
当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)
f
(1)=12-3xi+2=0;
f(-2)=(-2)2-3X(-2)+2=12.
若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.
定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根,即
f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.
根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根
是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.
定理2
的根,则必有p是ao的约数,q是an的约数.特别地,当ao=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数.
我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解.
例2分解因式:
x3-4x2+6x-4
分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,
必是-4的约数,逐个检验-4的约数:
土1,±2,±4,只有
f
(2)=23-4X22+6X2-4=0,
即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因
式x-2.
解法1用分组分解法,使每组都有因式(x-2).
原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)
=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2).
解法2用多项式除法,将原式除以(x-2),
所以
原式=(x-2)(x2-2x+2)
说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根
一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不一定是多项
式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.
例3分解因式:
9x4-3x3+7x2-3x-2.
分析因为9的约数有土1,±3,±9;-2的约数有土1,
为:
所以,原式有因式9x2-3x-2.
解9x4-3x3+7x2-3x-2
=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2
=(9x2-3x-2)(x2+1)
=(3x+1)(3x-2)(x2+1)
说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分
数的因式化为整系数因式,如上题中的因式
可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程.
总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因
式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)
低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分
解了.
双十字相乘法(因式分解)
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十
字相乘法分解因式.例如,分解因式
2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幕排列,并把
y当作常数,于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二
元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.
例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式
按x降幕排列,并把y当作常数,于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用
十字相乘法,分解为
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=[x+(2y-3):
:
2x+(-11y+1):
=(x+2y-3)(2x-11y+1)
上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把
这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:
它表示的是下面三个关系式:
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.
这就是所谓的双十字相乘法.
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进
行因式分解的步骤是:
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相
乘图(有两列);
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、
第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第
三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.
例1分解因式:
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;
(2)x2-y2+5x+3y+4;
(3)xy+y2+x-y-2;
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.
解
(1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1).
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4).
(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.
原式=(y+1)(x+y-2).
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)
说明(4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.
笔算开平方
对于一个数的开方,可以不用计算机,也不用查表,直接笔算出来,下面通过一个例子来说明如何笔算开平方,对于其它数只需模仿即可
例求316.4841的平方根.
第一步,先将被开方的数,从小数点位置向左右每隔两位用逗
号,分段,如把数316.4841分段成3,16.48,41.
第二步,找出第一段数字的初商,使初商的平方不超过第一段数字,而初商加1的平方则大于第一段数字,本例中第一段数字为3,初商为1,因为12=1<3,而(1+1)2=4>3.
第三步,用第一段数字减去初商的平方,并移下第二段数字,
组成第一余数,在本例中第一余数为216.
第四步,找出试商,使(20X初商+试商)X试商不超过第一余数,而【20X初商+(试商+1)】X(试商+1)则大于第一余数第五步,把第一余数减去(20x初商+试商)x试商,并移下第三段数字,组成第二余数,本例中试商为7,第二余数为2748.依此法继续做下去,直到移完所有的段数,若最后余数为零,则开方运算告结束.若余数永远不为零,则只能取某一精度的近似值.
第六步,定小数点位置,平方根小数点位置应与被开方数的
小数点位置对齐.本例的算式如下:
17.79
^3,16.48,41
1
20X1=20
2
16
・第一余数
十7
27
1
89
……27X7
20X17=340
27
48
-第二余数
+
7
347
24
29
347X7
20X177=3540
3
1941…
…第「余数
+9
3549319413549X9
0
根式的概念
【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数,它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为「~(n为大于1的自然数).作为代数式称为根式.n称为根指数,a称为根底数.在实数范围内,负数不能开偶次方,一个正数开偶次方有两个方根,其绝对值相同,符号相反.
【算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.
【基本性质】由方根的定义,有
(烷y“■畅
国根式运算
【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积;
反过来,同次方根的乘积等于乘积的同次方根,即
【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除,
即
【根式的乘方】5「一":
‘>0)
【根式化简】
\/c+("运++“罷)
^Jb—4-^/h^ct—b
\(C+-/d
(QOQM工切>0,dR)
(亦+而x亦-亦)_(丘+7?
)(亦-亦)(-7^+.岳—■馬、ct—b
【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式,只有同类根式才可用加减运算加以合并.
国进位制的基与数字
任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数,各数字的值与数字所在的位置有关,任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍,当小数点向左移一位时其值缩小10倍•例如
173.246=lxlOa+7xlO+3+2xlO-1+4xlO-a+6xlO-5
一般地,任一正数a可表为
a=aA^'^aiaQa-ia-2
=xlO**10小+---+^1xlO+l3o
+u_jx10i+a_2xlO'+…
这就是10进数,记作a(10),数10称为进位制的基,式中ai在{0,1,2丄,9}中取值,称为10进数的数字,显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数•现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基,于是就得到q进数表示
°⑷二Q严囲…W-xa-2…二诃++…+吗今+州+知g“+a眞+…
(1)
式中数字ai在{0,1,2,…,q-1}中取值,anan-1…a〔ao称为q进数a(q)的整数部分,记作[a(q)];
a-1a-2...称为a(q)的分数部分,记作{a(q)}.常用进位制,除
10进制外,还有2进制、8进制、16进制等,其数字如下
2进制0,1
8进制0,1,2,3,4,5,6,7
16进制0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
叮总巩5
各种进位制的相互转换
1q-10转换适用通常的10进数四则运算规则,根据公式⑴,可以把q进数a(q)转换为10进数表示例如
743(6,=7x8a+4x8+3=448+32+3^483(^
1011.101
(2)=1x23+0x22+1x2+1+1x2^+0x2"°+1x2^
=11.625㈣
210—q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.对于整数部分其步骤是:
(1)用q去除[a(10)],得到商和余数.
(2)记下余数作为q进数的最后一个数字.
⑶用商替换[a(10)]的位置重复⑴和
(2)两步,直到商等于零为止.
对于分数部分其步骤是:
(1)用q去乘{a(10)}.
(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.⑶用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置,重复⑴和⑵两步,
直到乘积变为整数为止,或直到所需要的位数为止•例如:
103.118(10)=147.074324…(8)
整数部分的分数部分的
草式草式
J188
3AA
7,552
4.S92
3pTq转换通常情况下其步骤是:
a(p)Ta(10)宀a(q).如果p,q是同一数s的不同次幂,其步骤是:
a(p)ta(s)ta(q).例如,8进数127.653(8)转换为16进数时,由于8=23,16=24,所以s=2,其步骤是:
首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)
127.653(8)=001010111.110101011
(2)
然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分
组,从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字,即127.653(8)=0101011111010101lOOOp)=57.358(10)
正多边形各量换算公式
n为边数R为外接圆半径a为边长燎为内切圆半径为
圆心角S为多边形面积重心G与外接圆心0重合正多边形
各量换算公式表各量正三角形
n为边数R为外接圆半径
a为边长燎为内切圆半径
『_360八
必为圆心角I”丿S为多边形面积
重心G与外接圆心O重合
正多边形各量换算公式表
各
量
正三角
形
正方形
正五边形
正六边
形
正n边
形
图
形
A
/4\
1\
□1
P
0
厂
(1/
、丿
S
4
4
3何
2,
扌十1Q屈?
3$2
a
2
2
2毎
-R^sinJ
2
2anrtan—
2
a
42R
R
2应sin—
2
R
3
L/2——a
2
a
丄
2吨
1
—a
2
羽—a
2
aa
—cot—
22
或许你还对作图感兴趣:
正多边形作图
所谓初等几何作图问题,是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形,则称为作图可能,或者说欧几里得作图法是可能的,否则称为作图不可能
很多平面图形可以用直尺和圆规作出,例如上面列举的
正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出,例如正七边形、正九边形、正十一边形等,这些多边形只能用近似作图法•如何判断哪些作图可能,哪些作图不可能呢?
直到百余年前,用代数的方法彻底地解决了这个问题,即给出一个关于尺规作图可能性的准则:
作图可能的充分必要条件是,这个作图问题中必需求出的未知量能够由若
干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出•几千年
来许多数学家耗费了不少的精力,企图解决所谓“几何三大问题”:
立方倍积问题,即作一个立方体,使它的体积二倍于一已知立方体的体积.
三等分角问题,即三等分一已知角.
化圆为方问题,即作一正方形,使它的面积等于一已知圆的面积.
后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.
代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切.许多代数
式是先化简再求值,特别是有附加条件的代数式求值问题,往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、
求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法.下面结合例题逐一介绍.
1.利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形,在代数式化简求
值中,经常被采用.
分析x的值是通过一个一元二次方程给出的,若解出x后,再求值,将会很麻烦.我们可以先将所求的代数式变形,看一看能否利用已知条件.
解已知条件可变形为3x2+3x-仁0,所以
6x4+15x3+10x2
=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1
=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1
=0+1=1
说明在求代数式的值时,若已知的是一个或几个代数式的值,这时要尽可能避免解方程(或方程组),而要将所要
求值的代数式适当变形,再将已知的代数式的值整体代入,会使问题得到简捷的解答.
例2已知a,b,c为实数,且满足下式:
a2+b2+c2=1,①
求a+b+c的值.
解将②式因式分解变形如下
即
所以
a+b+c=0或bc+ac+ab=0.
若bc+ac+ab=0,贝U
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)
=a2+b2+c2=1,
所以a+b+c=±1.所以a+b+c的值为0,1,-1.
说明本题也可以用如下方法对②式变形:
前一解法是加一项,再减去一项;这个解法是将3拆成
1+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式.
2.利用乘法公式求值
例3已知x+y=m,x3+y3=n,mT,求x2+y2的值.解因为x+y=m,所以
m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m•y,
所以
求x2+6xy+y2的值.
分析将x,y的值直接代入计算较繁,观察发现,已知
中x,的值正好是一对共轭无理数,所以很容易计算出x+y与xy的值,由此得到以下解法.
解x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy
2
=(x+y)+4xy
3.设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多,式子较繁,为了使求值简便,有时可增设一些参数(也叫辅助未知数),以便沟通数量关系,这叫作设参数法.有时也可把代数式中某一部分式子,用另外的一个字母来替换,这叫换元法.
分析本题的已知条件是以连比形式出现,可引入参数k,用它表示连比的比值,以便把它们分割成几个等式.
x=(a-b)k,y=(b-c)k,z=(c-a)k.所以
x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0u+v+w=1,①
由②有
把①两边平方得
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1所以u2+v2+w2=1,即
两边平方有
所以
4.利用非负数的性质求值
若几个非负数的和为零,贝U每个非负数都为零,这个性质在代数式求值中经常被使用.
例8若x2-4x+|3x-y|=-4,求yx的值.
分析与解x,y的值均未知,而题目却只给了一个方程,似乎无法求值,但仔细挖掘题中的隐含条件可知,可以利用非负数的性质求解.
因为x2-4x+|3x-y|=-4,所以
x2-4x+4+|3x-y|=0,
即(x-2)2+|3x-y|=0.
所以yx=62=36.
例9未知数x,y满足
(x2+y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0,其中m,n表示非
零已知数,求x,y的值.
分析与解两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经过配方之后,看是否能化成非负数和为零的形式.
将已知等式变形为
m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0,
(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0,即
22
(mx-y)+(my-n)=0.
5.利用分式、根式的性质求值
分式与根式的化简求值问题,内容相当丰富,因此设有专门讲座介绍,这里只分别举一个例子略做说明.
例10已知xyzt=1,求下面代数式的值:
分析直接通分是笨拙的解法,可以利用条件将某些项的形式变一变.
解根据分式的基本性质,分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子,分式的值不变.利用已知条件,可将前三个分式的分母变为与第四个相同.
同理分析计算时应注意观察式子的特点,若先分母有理化,
计算反而复杂.因为这样一来,原式的对称性就被破坏了.这里所言的对称性是
分利用这种对称性,或称之为整齐性,来简化我们的计算.
同样(但请注意算术根!
)
将①,②代入原式有
练习六
2.已知x+y=a,x2+y2=b2,求x4+y4的值.
3.已知a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,
求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值.
5.设a+b+c=3m,求
(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值.
8.已知13x2-6xy+y2-4x+1=0,求(x+y)13x10的值.