724 一次函数的应用讲义教师版.docx

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724一次函数的应用讲义教师版

中考要求

内容

基本要求

略高要求

较高要求

一次

函数

理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质

会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解

能用一次函数解决实际问题

例题精讲

一、与一次函数有关的图象信息题

【例1】小红的爷爷饭后出去散步，从家中走分钟到一个离家米的街心花园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家里．图中表示小红爷爷离家的时间与外出的距离之间的关系是（）

ABCD

【考点】一次函数的应用

【难度】2星

【题型】选择

【关键词】2009年，安顺

【解析】略

【答案】D

【巩固】某校八年级同学到距学校千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下判断错误的是（）

A．骑车的同学比步行的同学晚出发分钟

B．步行的速度是千米/时

C．骑车同学从出发到追上步行同学用了分钟

D．骑车的同学和步行的同学同时达到目的地

【考点】一次函数的应用

【难度】2星

【题型】选择

【关键词】

【解析】略

【答案】D

【巩固】某污水处理厂的一个净化水池设有个进水口和个出水口，三个水口至少打开一个．每个进水口

进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出．某一天点到点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示．通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：

⑴点到点只进水不出水；⑵点到点不进水只出水，⑶点到点不进水也不出水．其中正确的是（）

A．⑴B．⑶C．⑴⑶D．⑴⑵⑶

【考点】一次函数的应用

【难度】2星

【题型】选择

【关键词】2005年，太原市，中考题

【解析】由甲图可知进水口每小时进水立方米，由乙图可知出水口每小时出水立方米，看丙图，前小时蓄水量由达到，说明开了两个进水口，关闭出水口，所以⑴对；点到点的一个小时内蓄水量减少立方米，必然是只开一个进水口，同时打开出水口，⑵错；点到点蓄水量不变可能是即不进水，也不出水，也可能同时打开个水口，⑶错．

【答案】A

【例2】如果等腰三角形的周长为16，那么它的底边长与腰长之间的函数图像为（）

【考点】一次函数的应用

【难度】2星

【题型】选择

【关键词】

【解析】由题意得函数关系式为，根据三角形三边关系，即，得，又因为，所以，确定自变量的取值范围

【答案】A

【巩固】如图，在矩形中，AB=2，，动点P从点B出发，沿路线作匀速运动，那么的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是（）

【考点】一次函数的应用

【难度】2星

【题型】选择

【关键词】2009年，重庆

【解析】了解点的运动路线，根据已知矩形的长和宽求出当点运动到点时的值为1，即当为1时的值为1，之后面积保持不变．

【答案】B

二、与一次函数有关的应用题

1．行程问题

【例3】右图是某汽车行驶的路程与时间的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答下列问题：

⑴汽车在前分钟内的平均速度是；

⑵汽车在中途停了多长时间？

；

⑶当时，求与的函数关系式．

【考点】一次函数的应用

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】行程问题

【解析】略

【答案】⑴；⑵分钟；⑶．

【例4】小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（时）之间关系的函数图象．

⑴根据图象回答：

小明到达离家最远的地方需几小时？

此时离家多远？

⑵小明出发两个半小时离家多远？

⑶小明出发多长时间距家12千米？

【考点】一次函数的应用

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】行程问题

【解析】⑴由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时，此时，他离家30千米．

⑵∵小明出发2小时时，离家15千米．由于在CD段小明走的路程为15千米，时间为1小时，故小明这一段的速度为15千米/时．

∴（千米）

∴（千米）

∴小明出发两个半小时离家千米．

⑶由图象可以看出小明从出发到距离家12千米有两个时刻，一是在AB段，二是在EF段，故分两种情况：

①∵小明出发到1小时时，匀速前行，其速度为15千米/时

∴（时），小时48分

②∵小明出发4小时后返回，

∴返回时速度为（千米/时）

∴（时）

时1小时12分

∴4小时+1小时12分5小时12分

故小明出发48分和出发5小时12分时离家都为12千米．

【答案】⑴3小时，30千米；⑵千米；⑶48分或5小时12分

【巩固】某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的过程，开始一段时间风速平均每小时增加2千米；4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地带，风速平均每小时增加4千米；此后风速保持不变；当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1千米，最终停止（如图所示）．

⑴在沙尘暴从发生到结束的全过程中，0时至10时风速是否在不断变化？

什么时间内风速保持不变？

⑵在4时和12时的风速各是多少？

图中的A、B分别表示什么？

⑶沙尘暴是经过几个小时后停止的？

【考点】一次函数的应用

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】行程问题

【解析】⑴沙尘暴分四个阶段：

小时，风暴平均每小时增加千米/时；

小时，风速平均每小时增加千米/时；

小时，风暴速度保持不变；

小时后风暴速度平均每小时减小千米/时，最终停止．

因此，时至时风速是在不段变化，在时至时的时候，风暴速度保持不变．

⑵由题意，得：

小时：

小时：

；

∴时，；时，

∴在时的速度为千米/时，时的速度为千米/时

⑶由题意，得：

小时：

；

小时—风暴停止：

．时，

∴沙尘暴是经过小时后停止的．

【答案】⑴时至时风速是在不段变化，在时至时的时候，风暴速度保持不变；⑵在时的速度为千米/时，时的速度为千米/时；⑶57

【例5】2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港．

⑴哪个队先到达终点？

乙队何时追上甲队？

⑵在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？

【考点】一次函数的应用

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】行程问题

【解析】⑴乙队先达到终点，

对于乙队，时，，所以，

对于甲队，出发1小时后，设与关系为，

将，和，分别代入上式得：

解得：

解方程组得：

，即：

出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队．

⑵1小时之内，两队相距最远距离是4千米，

乙队追上甲队后，两队的距离是，当为最大，即时，最大，此时最大距离为，（也可以求出的长度，比较其大小）所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远

【答案】⑴乙队先达到终点，甲队出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队；⑵甲、乙两

队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远

【巩固】如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程（km）随时间（min）的变化的图像（全程），根据图像回答以下问题：

⑴求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？

⑵求这次比赛的全程是多少？

⑶求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇？

【考点】一次函数的应用

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】2004年，黑龙江，中考试题，行程问题

【解析】⑴由图可知，线段过点可知其解析式为，他们相遇时，此时，故比赛开始24分钟时，两人第一次相遇．

⑵由图可知，这次比赛的全程为12．

⑶点B（33，7）、点C（43，12），故线段BC的解析式为：

，而线段OD的解析式为，故它们的交点坐标为（38，），即比赛开始38分钟时，两人第二次相遇．

【答案】⑴24；⑵12；⑶38

【例6】某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有分钟，于是立即步行回家取票．同时，他父亲从家里出发骑自行车以他倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆．下图中线段分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程（米）与所用时间（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：

⑴求点的坐标和所在直线的函数关系式；

⑵小明能否在比赛开始前到达体育馆？

【考点】一次函数的应用

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】2009年，江西南昌，行程问题

【解析】⑴解法一：

从图象可以看出：

父子俩从出发到相遇时花费了分钟

设小明步行的速度为米/分，则小明父亲骑车的速度为米/分

依题意得：

，解得：

，

所以两人相遇处离体育馆的距离为米，

所以点的坐标为．

设直线的函数关系式为，

由题意，直线经过点得：

，解之得，

∴直线的函数关系式为：

．

解法二：

从图象可以看出：

父子俩从出发到相遇花费了分钟．

设父子俩相遇时，小明走过的路程为米．

依题意得：

，解得，

所以点的坐标为

以下同解法一．

⑵解法一：

小明取票后，赶往体育馆的时间为：

分钟

小明取票花费的时间为：

分钟．

∵，∴小明能在比赛开始前到达体育馆．

解法二：

在中，令，得，解得：

．

即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为分钟，因而小明取票的时间也为分钟．

∵，∴小明能在比赛开始前到达体育馆．

【答案】⑴点的坐标为，直线的函数关系式为：

；⑵能

【巩固】甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：

⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程（千米）与时间（时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）

⑵当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点处，求点距山顶的距离；

⑶在⑵的条件下，设乙同学从点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点处与乙同学相遇，此时点与山顶距离为1．5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？

【考点】一次函数的应用

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】行程问题

【解析】⑴设甲、乙两同学登山过程中，路程（千米）与时间（时）的函数解析式分别为．

由题意得：

，解得：

∴

⑵当甲到达山顶时，（千米），∴解得：

，∴（千米）

⑶由图象可知：

甲到达山顶宾并休息1小时后点D的坐标为（5，12）

由题意得：

点B的纵坐标为，代入，解得：

∴点（，）．设过两点的直线解析式为，由题意得

，解得

∴直线的解析式为

∴当乙到达山顶时，，得，把代入得（千米）

【答案】⑴；⑵8；⑶6

2．方案决策问题

【例7】东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠办法．

甲：

买一枝毛笔就赠送一本书法练习本．

乙：

按购买金额打九折付款．

某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10枝，书法练习本本．

⑴写出每种优惠办法实际的金额（元），（元）与（本）之间的函数关系式；

⑵比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；

⑶如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时选两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10枝和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案．

【考点】一次函数的应用

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】方案决策问题

【解析】⑴依题意，得

⑵由⑴，有-=；

若，解得；

若-