学年高中物理第十一章机械振动第3节简谐运动的回复力和能量教学案新人教版选修34.docx

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学年高中物理第十一章机械振动第3节简谐运动的回复力和能量教学案新人教版选修34

第3节简谐运动的回复力和能量

1.如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

2．回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，其方向总是指向平衡位置。

3．在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，振幅越大，机械能就越大。

4．简谐运动中，在平衡位置处动能最大，势能最小，最大位移处动能为0，势能最大。

一、简谐运动的回复力

1．简谐运动

如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

2．回复力

使振动物体回到平衡位置的力。

3．回复力的方向

总是指向平衡位置。

4．回复力的表达式

F＝－kx。

即回复力与物体的位移大小成正比，“－”表明回复力与位移方向始终相反，k是一个常数，由简谐运动系统决定。

二、简谐运动的能量

1．振动系统（弹簧振子）的状态与能量的对应关系：

弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。

（1）在最大位移处，势能最大，动能为零。

（2）在平衡位置处，动能最大，势能最小。

2．简谐运动的能量特点：

在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。

1．自主思考——判一判

（1）回复力的方向总是与位移的方向相反。

（√）

（2）回复力的方向总是与速度的方向相反。

（×）

（3）回复力的方向总是与加速度的方向相反。

（×）

（4）水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零。

（×）

（5）回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。

（×）

2．合作探究——议一议

（1）简谐运动的回复力F＝－kx中，k一定是弹簧的劲度系数吗？

提示：

不一定。

k是一个常数，由简谐运动系统决定。

对于一个特定的简谐运动系统来说k是不变的，但这个系统不一定是弹簧振子，k也就不一定是劲度系数。

（2）在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？

动能最大的位置有几个？

图1131

提示：

在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端。

动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候。

对回复力和加速度的理解

1．回复力的来源

（1）回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。

（2）回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；还可能是某一力的分力。

归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。

分析物体的受力时不能再加上回复力。

2．关于k值：

公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。

3．加速度的特点：

根据牛顿第二定律得a＝

＝－

x，表明弹簧振子做简谐运动时，振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。

4．回复力的规律：

因x＝Asin（ωt＋φ），故回复力F＝－kx＝－kAsin（ωt＋φ），可见回复力随时间按正弦规律变化。

[典例]　（多选）如图1132所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态。

现在向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置（不计阻力），设向右为正方向，物体相对O点的位移为x，则下列判断正确的是（　　）

图1132

A．物体做简谐运动，OC＝OB

B．物体做简谐运动，OC≠OB

C．物体所受合力F＝－kx

D．物体所受合力F＝－3kx

[思路点拨]　通过题图可以得到以下信息：

（1）振动物体在水平方向受两弹簧的弹力，且两弹力的方向相同。

（2）物体做简谐运动时其振动范围关于O点对称。

[解析]　物体的位移为x，则物体所受的合力F＝－k1x－k2x＝－（k2＋k1）x＝－3kx，D正确，C错误；可见物体做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，A正确，B错误。

[答案]　AD

判断一个振动为简谐运动的方法

根据简谐运动的特征进行判断，由此可总结为：

（1）通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。

（2）对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断。

（3）根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－

x进行判断。

1．（多选）关于回复力，下列说法正确的是（　　）

A．回复力是物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力

B．回复力是按力的作用效果命名的，它可能由弹力提供，也可能由摩擦力提供

C．回复力可能是几个力的合力，也可能是某一个力的分力

D．振动物体在平衡位置时，其所受合力为零

解析：

选ABC　根据回复力的定义可知A正确；回复力是根据力的作用效果命名的，各种性质的力都可以提供回复力，所以B、C正确；振动物体的平衡位置是振动时受到的回复力为零的位置，回复力只是各个外力在振动方向上的合力，回复力等于零时，合力不一定为零，故D错误。

2．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是（　　）

解析：

选C　由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移的关系图像应如图C所示。

3.如图1133所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，关于A受力说法中正确的是（　　）

图1133

A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力

B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力

C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力

D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力

解析：

选D　物块A一定受重力、支持力作用，不受弹簧的弹力作用，在A、B一起做简谐运动的过程中，振子B对物块A的摩擦力为物块A振动的回复力，由－kx＝（mA＋mB）a，fA＝mAa可得fA＝－

x，D正确。

简谐运动中各物理量的变化规律

1．根据水平弹簧振子图，可分析各个物理量的变化关系如下：

图1134

振子的运动

A→O

O→A′

A′→O

O→A

位移

方向

向右

向左

向左

向右

大小

减小

增大

减小

增大

回复力

方向

向左

向右

向右

向左

大小

减小

增大

减小

增大

加速度

方向

向左

向右

向右

向左

大小

减小

增大

减小

增大

速度

方向

向左

向左

向右

向右

大小

增大

减小

增大

减小

振子的动能

增大

减小

增大

减小

弹簧的势能

减小

增大

减小

增大

系统总能量

不变

不变

不变

不变

2.各个物理量对应关系不同：

位置不同，位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。

[典例]　把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图图1135所示，下列结论正确的是（　　）

图1135

A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小

B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大

C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功

D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加

[思路点拨]

（1）细杆光滑，说明小球在振动过程中受重力、细杆的支持力、弹簧的弹力作用。

（2）小球在简谐运动过程中只有弹簧弹力做功。

[解析]　小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项错误；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C项错误；由B→O，动能增加，弹性势能减小，总能量不变，D项错误。

[答案]　A

有关简谐运动的两点提醒

（1）最大位移处、平衡位置处物理量的大小：

简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置，F＝0，a＝0，x＝0，Ep＝0，而Ek最大。

（2）竖直弹簧振子的能量组成：

对竖直弹簧振子来说，振动能量包含动能、弹性势能、重力势能。

1．（多选）当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是（　　）

A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相同

B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功

C．振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供

D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒

解析：

选CD　振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，A错；振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，应做正功，B错；振子运动的回复力由振子所受合力提供且运动中机械能守恒，故C、D对。

2．如图1136所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。

图1136

（1）简谐运动的能量取决于________，本题中物体振动时________能和________能相互转化，总________守恒。

（2）（多选）关于振子在振动过程中，以下说法中正确的是（　　）

A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小

B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小

C．振子在向平衡位置振动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小

D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变

解析：

（1）简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。

（2）振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错误。

答案：

（1）振幅　动　弹性势　机械能

（2）ABD

简谐运动的三大特征

1．瞬时性

做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置，对应不同的位移，由F＝－kx可知回复力不同。

由牛顿第二定律得a＝－

x，可知加速度a也不相同，也就是说a、F、x具有瞬时对应性。

2．对称性

（1）物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度（回复力）大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等。

（2）对称性还表现在时间的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等。

质点从某点向平衡位置运动时，到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。

3．周期性

简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可做如下判断：

（1）若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同。

（2）若t2－t1＝nT＋

，则t1、t2两时刻描述运动的物理量（x、F、a、v）大小均相等、方向相反（或均为零）。

1．如图1137甲所示为某个质点做简谐运动的xt图像，对图乙的下列判断正确的是（　　）

图1137

A．图

（1）可作为vt图像

B．图

（2）可作为Ft图像

C．图（3）可作为Ft图像

D．图（4）可作为at图像

解析：

选C　t＝0时刻，振子在平衡位置，速度最大且沿x轴的正方向，故A错。

根据回复力F＝－kx和牛顿第二定律，加速度和回复力总与位移方向相反，且与位移大小成正比，所以C正确。

2．（多选）一个弹簧振子，做简谐运动的周期为T，设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，若t2－t1<

，如图1138所示，则（　　）

图1138

A．t2时刻振子的加速度一定跟t1时刻大小相等、方向相反

B．在t1～t2的中间时刻，振子处在平衡位置

C．从t1到t2时间内，振子的运动方向不变

D．从t1到t2时间内，振子所受回复力的方向不变

解析：

选ABC　由题图可知t1、t2时刻的加速度大小相等、方向相反，A正确；且在t1～t2的中间时刻，振子处于平衡位置，B正确；在t1～t2时间内，振子的运动方向都沿y轴的正方向，故运动方向不变，C正确；从t1到t2时间内，位移方向发生了变，振子所受回复力的方向发生了变化，D错。

本题的正确选项为A、B、C。

3．（多选）做简谐运动的弹簧振子，振子质量为m，最大速度为v，则下列说法中正确的是（　　）

A．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零

B．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到

mv2之间的某一个值

C．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零

D．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到2v之间的某一个值

解析：

选AD　相距半个周期的两个时刻，速度的大小相等，方向相反。

因此由W＝

mvt2－

mv02＝0可知，A项正确，B项错误。

由于在开始计时时速度的大小未知，由Δv＝v1－（－v1）＝2v1,0≤v1≤v可知，C项错误，D项正确。

1．（多选）关于简谐运动的动力学公式F＝－kx，以下说法正确的是（　　）

A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧长度

B．k是回复力跟位移的比例常数，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移

C．对于弹簧振子系统，k是劲度系数，它由弹簧的性质决定

D．因为k＝

，所以k与F成正比

解析：

选BC　k是回复力跟位移的比例常数，对弹簧振子系统，k是弹簧的劲度系数，由弹簧的性质决定，x是弹簧形变的长度，也是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移，故B、C正确。

2．如图1甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，如图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移—时间图像，则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图像中正确的是（　　）

图1

解析：

选C　由题图乙可知，x＝Asinωt，弹簧振子做简谐运动，回复力F＝－kx，由牛顿第二定律可知，a＝

＝－

sinωt，可知选项C正确。

3．（多选）图2是质量相等的甲、乙两个物体分别做简谐运动时的图像，则（　　）

图2

A．甲、乙物体的振幅分别是2m和1m

B．甲的振动频率比乙的大

C．前2s内两物体的加速度均为负值

D．第2s末甲的速度最大，乙的加速度最大

解析：

选BCD　由图像知，甲、乙振幅分别为2cm和1cm，A错误；8s内甲完成2次全振动，乙完成1次全振动，B正确；前2s内，甲、乙的位移均为正，所以加速度均为负值，C正确；第2s末甲在平衡位置，速度最大，乙在最大位移处，加速度最大，D正确。

4．做简谐运动的弹簧振子质量为0.2kg，当它运动到平衡位置左侧20cm时受到的回复力是4N；当它运动到平衡位置右侧40cm时，它的加速度为（　　）

A．20m/s2，向右　　　　　　　B．20m/s2，向左

C．40m/s2，向右D．40m/s2，向左

解析：

选D　加速度方向指向平衡位置，因此方向向左。

由力和位移的大小关系F＝kx可知，当x＝40cm时，F＝8N，a＝

＝40m/s2，方向指向平衡位置，故D正确。

5.如图3所示，竖直悬挂的弹簧振子做振幅为A的简谐运动，当物体到达最低点时，物体恰好掉下一半（即物体质量减少一半），此后振动系统的振幅的变化为（　　）

图3

A．振幅不变

B．振幅变大

C．振幅变小

D．条件不够，不能确定

解析：

选B　当物体到达最低点时掉下一半（即物体质量减少一半）后，新的系统将继续做简谐运动，机械能也是守恒的，所以还会到达原来的最低点。

但是，由于振子质量的减少，新的平衡位置将比原来的平衡位置高，所以振幅变大。

6.（多选）图4是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定（　　）

图4

A．从t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小

B．从t2到t3时间内振幅不断增大

C．t3时刻振子处于平衡位置处，动能最大

D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同

解析：

选AC　t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；振幅是离开平衡位置的最大距离，简谐运动的振幅保持不变，从t2到t3，变化的是位移而不是振幅，B错误；t3时刻振子位移为零，处于平衡位置处，速度最大，动能最大，C正确；t1、t4时刻位移相同，即振子处于同一位置，但运动方向相反，速度等大反向，动能相同，D错误。

7.如图5所示，光滑的水平面上放有一弹簧振子，轻弹簧右端固定在滑块上，已知滑块质量m＝0.5kg，弹簧劲度系数k＝240N/m，将滑块从平衡位置O向左平移，将弹簧压缩5cm，静止释放后滑块在A、B间滑动，则：

图5

（1）滑块加速度最大是在A、B、O三点中哪点？

此时滑块加速度多大？

（2）滑块速度最大是在A、B、O三点中哪点？

此时滑块速度多大？

（假设整个系统具有的最大弹性势能为0.3J）

解析：

（1）由于简谐运动的加速度a＝

＝－

x，故加速度最大的位置在最大位移处的A或B两点，加速度大小a＝

x＝

×0.05m/s2＝24m/s2。

（2）在平衡位置O滑块的速度最大。

根据机械能守恒，有Epm＝

mvm2，故vm＝

＝

m/s≈1.1m/s。

答案：

（1）A点或B点　24m/s2　

（2）O点　1.1m/s

8.一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为k＝400N/m，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上、下表面恰与盒子接触，如图6所示。

A和B的质量mA＝mB＝1kg，g取10m/s2，不计阻力。

先将A向上抬高使弹簧伸长5cm后从静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动。

已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小，试求：

图6

（1）盒子A的振幅；

（2）物体B的最大速率；

（3）当A、B的位移为正的最大和负的最大时，A对B的作用力的大小分别是多少？

解析：

（1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩Δx，则kΔx＝（mA＋mB）g，Δx＝

g＝5cm。

开始释放时振子处在最大位移处，故振幅A＝5cm＋5cm＝10cm。

（2）由于开始时弹簧的伸长量恰好等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等，设振子的最大速率为v，物体B从开始运动到达平衡位置，应用机械能守恒定律，得mBgA＝

mBv2，v＝

≈1.4m/s。

（3）在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，由牛顿第二定律得（mA＋mB）a1＝kΔx＋（mA＋mB）g，a1＝20m/s2，方向向下，A对B的作用力方向向下，且F1＋mBg＝mBa1，得F1＝mB（a1－g）＝10N；在最低点由简谐运动的对称性得a2＝20m/s2，方向向上，A对B的作用力方向向上，且F2－mBg＝mBa2，得F2＝mB（g＋a2）＝30N。

答案：

（1）10cm　

（2）1.4m/s　（3）10N　30N