江苏苏州市中考数学《锐角三角函数》复习精讲.docx

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江苏苏州市中考数学《锐角三角函数》复习精讲

2018年中考数学《锐角三角函数》复习精讲

一、重点、难点梳理

本单元学习的重点是锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值、解直角三角形的方法以及它的实际应用.要正确理解其概念和意义，并能推出特殊角的三角函数值，会运用“转化”思想化斜三角形为直角三角形.通过建立解直角三角形的数学模型，解决距离、高度、角度等计算问题.在解决实际问题时，要正确理解俯角、仰角、方位角、方向角及坡角、坡度等常用术语.注意把握各类图形的特征，综合运用全等三角形、相似三角形和三角形的边角关系解决问题.学习的难点是构造直角三角形，从复杂的几何图形中找出基本图形，综合运用相关知识以及转化的思想、方程的思想、变与不变的思想等解决生产、生活中的实际问题.

二、易混、易错点剖析

不能准确把握直角三角形中边角之间的关系，张冠李戴，不管是否是直角三角形就盲目套用锐角三角函数的定义求解;不能正确迅速地从比较复杂的图形中找出基本图形，未能掌握“遇斜化直”的基本方法致使解题受阻;在求解直角三角形的应用问题时，不能正确理解常用术语的含义，出现计算、推理错误等等.

三、中考命题解读

中考对锐角三角函数的概念及简单性质、特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角等知识点的考查，多以中低难度客观题的形式呈现;解直角三角形实际应用的题目几乎是每卷必考，一般是中等难度的解答题，背景公平，贴近生活，颇具时代性，且与全等三角形、平行四边形等知识适度融合，具有一定的综合性.围绕直角三角形边角关系的探索规律、猜想验证、知识拓展等创新性题目近年来也悄然兴起，成为中考试卷一道亮丽的风景.

四、考点题型精讲

考点1锐角三角函数的概念

例1（2017·兰州）如图1，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）

A.B.C.D.

解析:

如图1，在中，

m,m,

m.

故选C.

例2（2016·荆州）如图2，在4X4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，

的顶点都在格点上，则的余弦值是（）

A.2B.C.D.

解析:

首要的问题是确定的形状，可以根据图形信息，尝试运用勾股定理的逆定理判断.易知，在中..是直角三角形，且.

.故选D.

评注:

锐角三角函数是在直角三角形中定义的，在求锐角三角函数值时，一定不能忽略这一点.

例3（2016·攀枝花）如图3，点在⊙上，是⊙

的一条弦，则=（）

A.B.C.D.

解析:

依题意，易知.

.如图3，连接,由圆周角定理，得.

.故选D.

评注:

求一个角的三角函数值，通常有两种方法，找出（或构造）所求角所在的直角三角形，直接利用定义来求，如上面的例1，例2;抑或把所求角转化为直角三角形中与它相等的角间接求解，如本例和下面的例4等.

例4（2017·无锡）在如图4的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，都在格点处，与相交于，则的值等于.

解析:

解题的关键是构造直角三角形.平移到交于（还有其他的平移方法吗?

），如图4所示，则.

.设每个小正方形的边长为，则.作于点，则.

.

，故.故填3.

评注:

在求解涉及直角三角形边角关系的问题时，如果题中没有可用的直角三角形，需要添加辅助线构造直角三角形来解决.常见辅助线的作法有作高或作平行线两种.本题综合运用了这两种方法.其中体现的转化思想十分重要，需要同学们用心体悟.

考点2求特殊角的三角函数值

例5（2017·平凉）计算:

.

解析:

原式.

评注:

对特殊角的三角函数值的考查，一般有两种方式:

一是在难度较低的混合运算题中，将其和二次根式化简、零指数幂、负整数指数幂等一并考查;二是在解直角三角形时，需要求出特殊角的三角函数值解决问题.

考点3已知三角函数值求（锐）角

例6（2016·潍坊）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（）

A.15ºB.30ºC.45ºD.60º

解析:

关于的一元二次方程有两个相等的实数根，

，解得.

为锐角，

.故选B.

评注:

解题的关键是借助一元二次方程根的判别式得到一个关于的等式，进而在为锐角的约束条件下求解.

考点4解直角三角形

例7（2016·西宁）⊙的半径为1，弦，弦，则的度数为.

解析:

因为题目中没有给出弦的位置关系，所以需分情况讨论:

①如图5，连接，过作于于..由垂径定理，得

,

;

②如图6所示，仿①中的方法，可求得.

综上，答案为75º或15º.

评注:

忽视分类讨论，就有可能造成漏解.

例8（2017·徐州）如图7，已知，垂足为，将线段绕点按逆时针方向旋转60º，得到线段,连接.

（1）线段=;

（2）求线段的长度.

解析:

（1）∵，，

∴是等边三角形，

故.

（2）为构造直角三角形，作于点.

∵是等边三角形，

∴.

又∵，

∴

∴在中，，，

∴.

在中，.

评注:

本题需要综合运用旋转、等边三角形以及直角三角形中的边角关系等知识和转化的思想方法解决问题.

考点5解直角三角形的应用.

例9（2017·新疆建设兵团）如图8，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离为30m，在点测得点的仰角为，在点测得点的仰角为，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）.

解析:

在中，，m，

∵，

∴（m），

即乙建筑物的高度为m.

如图8，过作于点，

在中，，

∴m，

∴（m），即为甲建筑物的高度.

评注:

解题的关键在于一是正确理解仰角、俯角等术语的含义，二是对特殊角的三角函数值能够了然于心.其实，特殊角的三角函数的取值和变化是有规律可循的，记忆起来并不难.如，正弦值逐渐增大，角度，.

例10（2017·庆阳）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风景线是兰州最美的景观之一，数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭进行了测量.如图9，测得，，若米，求观景亭到南滨河路的距离约为多少米?

（结果精确到1米，参考数据:

，，）

图9

解析:

易知，若过点作，垂足为，

则可出现两个直角三角形.

设，

在中，，

∵，

∴.

又∵，

∴

∴，

解得.

∴（米）.

答:

（略）.

评注:

本题的解答体现了方程思想.当三角形中的线段不易直接求出时，需要依托方程求解.运用三角函数的定义建立方程，选好三角函数是关键.其一般规律是，当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦，无斜边时，就用正切，即所谓的“有斜用弦，无斜用切”.还应注意，当所求元素既可用乘法算式又可用除法算式表示时，尽量用乘法算式;既可用已知数值又可用中间数值运算时，尽量用已知数值;不要企求每一步都得出具体数值，“能拖则拖”，尝试整体处理，尽量缩小误差，降低运算的繁杂程度.

例11（2017·泸州）如图10，海中一渔船在处且与小岛相距70.nmile，若读刨nb由西向东航行30nmile到达处，此时测得小岛位于的北偏东30º方向上，求该渔船此时与小岛之间的距离.

解析:

过点作于点.由题意，得.

设，则在中，

，.

∴.

∵，

即，

解得（舍去负值）.

答:

（略）.

评注:

通过添加辅助线，构造两个直角三角形，借助于勾股定理，建立起了已知量与未知量之间的相互联系，使问题顺利得以解决.

例12（2017·江西）如图11，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”约为20º，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”约为100º.图11②是其侧面简化示意图，其中视线水平，且与屏幕垂直.

（1）若屏幕上下宽cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离的长;

（2）若肩膀到水平地面的距离cm，上臂cm，下臂水平放置在键盘上，其到地面的距离cm.请判断此时是否符合科学要求的100º?

（参考数据:

，，，，所有结果精确到个位）

解析:

（1）∵在中，，

∴（cm）.

（2）延长交于点，

则（cm）.

在中，，

∵，

∴，，

故此时不符合100º的科学要求.

评注:

本题取材既具有时代性，又十分贴近生活，还顺便普及了科学使用电脑的知识.命题者通过从现实场景中抽象出几何图形，用分数表出参考数据等举措，有效地降低了题目的难度.

例13（2017·威海）图12①是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（）确定玻璃吸热管的倾斜角（太光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算:

①②③

图12

如图12②，，垂足为点，垂足为点，，cm，cm，，垂足为点.

（1）若，则的长约为cm.（参考数据:

，，）

（2）若cm，，求的长.

解析:

（1）如图123，作于点，作于点，

则，.

∵，且，

∴，

则，

∴（cm）.

（2）如图12③，延长，交于点，

由

（1）知.

在中，，

在中，，

则，即为所求.

评注:

正确添加辅助线构造直角三角形，善于从复杂的图形中找出可用的简单图形和数量关系，是顺利解题的先决条件.

考点6其他创新题型

例14（2017·嘉兴）如图13，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算，…按此规律，写出（用含的代数式表示）.

解析:

如图13，过点作于，

易得，

∴.

在中，由，

得，

而，

则，

而，

∴.

在中，.

又∵，

，

，

，…，

由此规律，不难得出

故答案为，.

评注:

本题属于规律探究型问题，需运用定义，求出锐角三角函数的值，并结合已知数值，探求数字规律，现在的问题是，题目中与求解关联度很高的三角形都是斜三角形，需要“遇斜化直”，引垂线构造直角三角形，综合运用其中的边角关系解决问题.

例15（2017·福建）小明在某次作业中得到如下结果:

据此，小明猜想:

对于任意锐角，均有.

（1）当时，验证是否成立;

（2）小明的猜想是否成立?

若成立，请给予证明;若不成立，请举出一个反例.

解:

（1）当时，

∴成立.

（2）小明的猜想成立，证明如下:

如图14，在中，，设，则

∴

评注:

本题属于归纳猜想型问题，证明猜想的思路是，回到锐角三角函数的定义，在直角三角形中，借助勾股定理进行推证.本例的结论揭示了直角三角形中两个互余锐角的同名函数（正弦、余弦）之间存在的一种平方关系，它又可表述为，这是一个非常有用的结论.

【中考演练】

1.（2017·烟台）在中，，，，则.

2.（2016·陕西）已知抛物线与轴交于两点，将这条抛物线的顶点记为，连接，则的值为（）

A.B.C.D.

3.（2017·衢州）计算:

.

4.（2017·台州）如图15是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽为1.2米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙?

请说明理由.（参考数据:

，，）

图15

5.（2017·宜宾）如图16，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点，又在河的另一岸边取两点，，测得，，量得长为100米，求河的宽度（结果保留根号）.

6.（2017·黔东南州）如图17，某校教学楼后方有一斜坡，已知斜坡的长为12米，坡角为60º，根据有关部门的规定，时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡进行改造，在保持坡脚不动的情况下，学校至少要把坡顶向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?

（结果取整数）（参考数据:

，，，