济南市高中阶段学校招生考试数学试题.docx
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济南市高中阶段学校招生考试数学试题
济南市2018年高中阶段学校招生考试数学试题
满分120分,时间120分钟
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.-2的绝对值是()A
A.2B.-2C.D.-
2.下列计算正确的是()B
A.a3+a4=a7B.a3·a4=a7C.(a3)4=a7D.a6÷a3=a2
3.下列简单几何体的主视图是()C
4.国家游泳中心——“水立方”是2018年北京奥运会标志性建筑之一,其工程占地面积为62828平方米,将62828用科学记数法表示是(保留三个有效数字)()B
A.62.8×103B.6.28×104C.6.2828×104D.0.62828×105
5.已知△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示,将△ABC向右平移6个单位,则平移后A点的坐标是()B
A.(-2,1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-2,-1)
6.四川省汶川发生大地震后,全国人民“众志成城,抗震救灾”,积极开展捐款捐物献爱心活动,下表是我市某中学初一·八班50名同学捐款情况统计表:
捐款数(元)
10
15
20
30
50
60
70
80
90
100
人数(人)
3
10
10
15
5
2
1
1
1
2
根据表中提供的信息,这50名同学捐款数的众数是()C
A.15B.20C.30D.100
7.如图:
点A、B、C都在⊙O上,且点C在弦AB所对的优弧上,若∠AOB=72°,则∠ACB的度数是()C
A.18°B.30°C.36°D.72°
8.如果xa+2y3与-3x3y2b-1是同类项,那么a、b的值分别是()A
A.B.C.D.
9.“迎奥运,我为先”联欢会上,班长准备了若干张相同的卡片,上面写的是联欢会上同学们要回答的问题.联欢会开始后,班长问小明:
你能设计一个方案,估计联欢会共准备了多少张卡片?
小明用20张空白卡片(与写有问题的卡片相同),和全部写有问题的卡片洗匀,从中随机抽取10张,发现有2张空白卡片,马上正确估计出了写有问题卡片的数目,小明估计的数目是()B
A.60张B.80张C.90张D.110
10.关于x的一元二次方程2x2-3x-a2+1=0的一个根为2,则a的值是()D
A.1B.C.-D.±
11.济南市某储运部紧急调拨一批物资,调进物资共用4小时,调进物资2小时后开始调出物资(调进物资与调出物资的速度均保持不变).储运部库存物资S(吨)与时间t(小时)之间的函数关系如图所示,这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是()B
A.4小时B.4.4小时C.4.8小时D.5小时
12.如图:
等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴,若双曲线y=(k≠0),与△ABC有交点,则k的取值范围是()C
A.1二、填空题(每小题3分,共15分)
13.当x=3,y=1时,代数式(x+y)(x-y)+y2的值是__________.3
14.分解因式:
x2+2x-3=_________.(x+3)(x-1)
15.如图,在△ABC中,EF为△ABC的中位线,D为BC边上一点(不与B、C重合),AD与EF交于点O,连接DE、DF,要使四边形AEDF为平行四边形,需要添加条件_________________________.(只添加一个条件)BD=CD,OE=OF,DE∥AC等
16.如图:
矩形纸片ABCD,AB=2,点E在BC上,且AE=EC,若将纸片沿AE折叠,点B恰好落在AC上,则AC的长是__________.4
17.数学的美无处不在.数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低,取决于弦的长度,绷得一样紧的几根弦,如果长度的比能够表示成整数的比,发出的声音就比较和谐.例如,三根弦长度之比是15:
12:
10,把它们绷得一样紧,用同样的力弹拨,它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so,研究15、12、10这三个数的倒数发现:
.我们称15、12.10这三个数为一组调和数.现有一组调和数:
x、5、3(x>5).则x的值是_____________.15
三、解答题
18.(本小题7分)
(1)解方程:
2(x-1)+1=0.
解:
2x-2+1=0……1分
2x=1……1分
X=……3分
(2)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
解:
解①得x>-2……4分
解②得x<3……5分
所以,这个不等式组的解集是-2解集在数轴上表示正确.……7分
19.(本小题7分)
(1)已知:
如图1,AB∥DE,AC∥DF,BE=CF.
求证:
AB=DE.
证明:
∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF,∵AC∥DF,∴∠F=∠ACB,……1分
∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,……2分
∴△ABC≌△DEF,∴AB=DE.……3分
(2)已知:
如图2,∠PAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=3cm,DB=10cm,以DB为直径作⊙O交射线AP与E、F两点,求圆心O到AP的距离及EF的长.
解:
过点O作OG⊥AP于点G,连接OF……4分
∵DB=10,∴OD=5,∴AO=AD+OD=3+5=8,
∵∠PAC=30°,∴OG=AO=×8=4……5分
∵OG⊥EF,∴EG=GF,
∵GF==3,
∴EF=6(cm)……7分
20.(本小题8分)
完全相同的4个小球,上面分别标有数字1、-1、2、-2,将其放入一个不透明的盒子中摇匀,在从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀).把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m、n,以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标,求点(m,n)不在第二象限的概率.(用树状图或列表法求解)
解:
组成的所有坐标列树状图为:
……5分
……5分
方法一:
根据已知的数据,点(m,n)不在第二象限的概率为.
方法二:
1-.……8分
21.(本小题8分)
教师节来临之际,群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花,每束由4支鲜花包装而成,其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花,同一种鲜花每支的价格相同.请你根据第一、二束鲜花提供的信息,求出第三束鲜花的价格.
解:
设康乃馨每支x元,水仙花每支y元.……1分
由题意得……4分
解得……6分
第三束花的价格为x+3y=5+3×4=17……7分
答:
第三束花的价格是17元.
22.(本小题9分)
某大草原上有一条笔直的公路,在紧靠公路相距40千米的A、B两地,分别有甲、乙两个医疗站,如图,在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C.一天,甲医疗队接到牧民区的求救电话,立刻设计了两种救助方案,方案I:
从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处,再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C.方案II:
从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C.已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍.
(1)求牧民区到公路的最短距离CD.
(2)你认为甲医疗队设计的两种救助方案,哪一种方案比较合理?
并说明理由.
(结果精确到0.1,参考数据:
取1.73,取1.41)
解:
(1)设CD为x千米,由题意得,∠CBD=30°,∠CAD=45°,∴AD=CD=x……1分
在Rt△BCD中,tan30°=,所以BD=x……2分
∵AD+DB=AB=40,∴x+x=40……分
解得x≈14.7
所以,牧民区到公路的最短距离CD为14.7千米.……4分
(若用分母有理化得到CD=14.6千米,可得4分)
(2)设汽车在草地上行驶的速度为v,则在公路上行驶的速度为3v,
在Rt△ADC中,∠CAD=45°,∴AC=CD,
方案I用的时间t1=……5分
方案II用的时间t2=……6分
所以,t1-t2==……7分
因为3-4>0,
所以t1-t2>0.……8分
所以方案I用的时间少,方案I比较合理.……9分
23.(本小题9分)
已知:
如图,直线y=-x+4与x轴相交于点A,与直线y=x相交于点P.
(1)求点P的坐标.
(2)请判断△OPA的形状并说明理由.
(3)动点E从原点O出发,以每秒1个单位的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动(E不与点O、A重合),过点E分别作EF⊥x轴于F,EB⊥y轴于B,设运动t秒时,矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S.
求:
①S与t之间的函数关系式.
②当t为何值时,S最大,并求出S的最大值.
解:
(1)……1分
解得……2分
所以点P的坐标为(2,2)
(2)将y=0代入y=-x+4,-x+4=0,所以x=4,即OA=4……4分
作PD⊥OA于D,则OD=2,PD=2,
∵tan∠POA==,∴∠POA=60°……5分
∵OP==4
∴△POA是等边三角形.……6分
(3)①当0在Rt△EOF中,∵∠EOF=60°,OE=t,
∴EF=,OF=,∴S=·OF·EF=……7分
23题图1
当4CE=PE=t-4,AE=8-t,
∴AF=4-,EF=(8-t),∴OF=OA-AF=4-(4-)=,
∴S=(CE+OF)·EF=(t-4+t)×(8-t)
=-t2+4t-8……8分
②当0当4t=时,S最大=……9分
24.(本小题9分)
已知:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),顶点C(1,-3),与x轴交于A、B两点,A(-1,0).
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E,点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合),过点P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,请判断是否为定值?
若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
(3)在
(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG⊥EP,FG分别与边AE、BE相交于点F,G(F与A、E不重合,G与E、B不重合),请判断是否成立.若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
解:
(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-3……1分
将A(-1,0)代入:
0=a(-1-1)2-3,解得a=……2分
所以,抛物线的解析式为y=(x-1)2-3,即y=x2-x-……3分
(2)是定值,=1……4分
∵AB为直径,∴∠AEB=90°,∵PM⊥AE,∴PM∥BE,∴△APM∽△ABE,所以①
同理:
②……5分
①+②:
……6分
(3)∵直线EC为抛物线对称轴,∴EC垂直平分AB,
∴EA=EB,
∵∠AEB=90°,
∴△AEB为等腰直角三角形,
∴∠EAB=∠EBA=45°……7分
如图,过点P作PH⊥BE与H,
由已知及作法可知,四边形PHEM是矩形.
∴PH=ME且PH∥ME.
在△APM和△PBH中,∵∠AMP=∠PBH=90°,∠EAB=∠BPH=45°,
∴PH=BH,且△APM∽△PBH,
∴,∴①……8分
在△MEP和△EGF中,∵PE⊥FG,∴∠FGE+∠SEG=90°,
∵∠MEP+∠SEG=90°,∴∠FGE=∠MEP,
∵∠MPE=∠FEG=90°,∴△MEP∽△EGF,
∴②
由①、②知:
……9分
(本题若按分类证明,只要合理,可给满分)