第十三章排列组合与概率高中数学竞赛标准教材文档格式.docx

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=1，=n!

。

　　．N个不同元素的圆周排列数为=!

　　．组合与组合数：

一般地，从n个不同元素中，任取个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出个构成原集合的一个子集。

从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个元素的组合数，用表示：

　　．组合数的基本性质：

；

　　．定理1：

不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为。

　　[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。

反之B中每一个解,将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种。

故定理得证。

　　推论1不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为

　　推论2从n个不同元素中任取个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的可重组合，其组合数为

　　．二项式定理：

若n∈N+,则n=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。

　　．随机事件：

在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作p,0≤p≤1.

　　0.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有种，那么事件A的概率为p=

　　1.互斥事件：

不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。

如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一个发生的概率为

　　p=p+p+…+p.

　　．对立事件：

事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为。

由定义知p+p=1.

　　3．相互独立事件：

事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

　　．相互独立事件同时发生的概率：

两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

即p=p•p.若事件A1，A2，…，An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p=p•p•…•p.

　　独立重复试验:

若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.

　　独立重复试验的概率:

如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生次的概率为pn=•pn-.

　　．离散型随机为量的分布列：

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。

如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。

　　一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi的概率p=pi，则称表

　　ξx1x2x3…xi…

　　pp1p2p3…pi…

　　为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望，称Dξ=2•p1+2•p2+…+2pn+…为ξ的均方差，简称方差。

叫随机变量ξ的标准差。

　　．二项分布：

如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生次的概率为p=,ξ的分布列为

　　ξ01…xi…N

　　p

　　…

　　此时称ξ服从二项分布，记作ξ～B.若ξ～B，则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.

　　几何分布：

在独立重复试验中，某事件次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p，则p=q-1p，ξ的分布服从几何分布，Eξ=，Dξ=.

　　二、方法与例题

　　．乘法原理。

　　例1有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？

　　[解]将整个结对过程分n步，步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则；

这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。

第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，……这样一直进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有

　　×

×

3×

1=

　　．加法原理。

　　例2图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？

　　[解]断路共分4类：

1）一个电阻断路，有1种可能，只能是R4；

2）有2个电阻断路，有-1=5种可能；

3）3个电阻断路，有=4种；

4）有4个电阻断路，有1种。

从而一共有1+5+4+1=11种可能。

　　．插空法。

　　例310个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？

　　[解]先将6个演唱节目任意排成一列有种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个安排舞蹈有种方法，故共有=604800种方式。

　　．映射法。

　　例4如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足：

a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？

　　[解]设S={1,2,…,14}，={1，2，…，10}；

T={|a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2≥3},={∈},若，令，则∈T,这样就建立了从到T的映射，它显然是单射，其次若∈T,令，则，从而此映射也是满射，因此是一一映射，所以|T|==120，所以不同取法有120种。

　　．贡献法。

　　例5已知集合A={1，2，3，…，10}，求A的所有非空子集的元素个数之和。

　　[解]设所求的和为x，因为A的每个元素a，含a的A的子集有29个，所以a对x的贡献为29，又|A|=10。

所以x=10×

29.

　　[另解]A的元子集共有个，=1,2,…,10，因此，A的子集的元素个数之和为10×

29。

　　．容斥原理。

　　例6由数字1，2，3组成n位数，且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：

这样的n位数有多少个？

　　[解]用I表示由1，2，3组成的n位数集合，则|I|=3n，用A1，A2，A3分别表示不含1，不含2，不含3的由1，2，3组成的n位数的集合，则|A1|=|A2|=|A3|=2n，|A1A2|=|A2A3|=|A1A3|=1。

|A1A2A3|=0。

　　所以由容斥原理|A1A2A3|==3×

2n-3.所以满足条件的n位数有|I|-|A1A2A3|=3n-3×

2n+3个。

　　．递推方法。

　　例7用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问：

能构造出多少个这样的n位数？

　　[解]设能构造an个符合要求的n位数，则a1=3，由乘法原理知a2=3×

3-1=8.当n≥3时：

1）如果n位数的个数字是2或3，那么这样的n位数有2an-1；

2）如果n位数的个数字是1，那么第二位只能是2或3，这样的n位数有2an-2，所以an=2.这里数列{an}的特征方程为x2=2x+2，它的两根为x1=1+,x2=1-,故an=c1n+c2n,由a1=3,a2=8得，所以

　　．算两次。

　　例8,n,r∈N+，证明：

①

　　[证明]从n位太太与位先生中选出r位的方法有种；

另一方面，从这n+人中选出位太太与r-位先生的方法有种，=0,1,…,r。

所以从这n+人中选出r位的方法有种。

综合两个方面，即得①式。

　　．母函数。

　　例9一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，…，10，另有大、小王各一张，编号均为0。

从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：

每张编号为的牌计为2分，若它们的分值之和为XX，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。

　　[解]对于n∈{1,2,…,XX},用an表示分值之和为n的牌组的数目，则an等于函数f=2•3••••…•3的展开式中xn的系数，由于f=[•…•]3=3=3。

　　而0≤XX.

　　一项“过关游戏”规定：

在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2n，则算过关。

问：

某人在这项游戏中最多能过几关？

他连过前三关的概率是多少？

　　四、高考水平训练题

　　．若n∈{1,2,…,100}且n是其各位数字和的倍数，则这种n有__________个。

　　．从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，能组成过原点，且顶点在或第三象限的抛物线有___________条。

　　．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_________种取法。

　　．三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经5次传球后，球仍回到甲手中的传法有_________种。

　　．一条铁路原有个车站，新增加n个车站，客运车票相应地增加了58种，原有车站有_________个。

　　．将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项有_________个。

　　．从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_________种不同的对数值。

　　．二项式5的展开式中系数最大的项为第_________项，系数最小的项为第_________项。

　　．有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以有_________种颜色不同的圆棒？

　　0．在1，2，…，XX中随机选取3个数，能构成递增等差数列的概率是_________。

　　1．投掷一次骰子，出现点数1，2，3，…，6的概率均为，连续掷6次，出现的点数之和为35的概率为_________。

　　．某列火车有n节旅客车厢，进站后站台上有名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。

　　3．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？

　　五、联赛一试水平训练题

　　．若01为固定的正整数；

存在h0,1≤h0≤-1，使得≥+1.

　　设,其中S1，S2，…，S都是正整数且S1<

S2<

…<

S，求证组合数中奇数的个数等于2。

　　．个不同的数随机排成图13-2所示的三角形阵，设是从上往下第行中的最大数，求1<

2<

n的概率。

　　．证明：