21从位移速度力到向量 学案 高中数学必修4北师大版.docx

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21从位移速度力到向量学案高中数学必修4北师大版

§1从位移、速度、力到向量

1．1　位移、速度和力

1．2　向量的概念

课标解读

1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．（重点）

2．掌握共线向量、相等向量的概念．（难点）

3．正确区分向量平行与直线平行．（易混点）

向量及其表示

【问题导思】　

1．在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？

【提示】　面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．

2．对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？

【提示】　利用有向线段来表示．

1．定义

既有大小又有方向的量叫作向量．

2．有向线段

具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度．记作||.

3．向量的长度

||（或|a|）表示向量（或a）的大小，即长度（也称模）．

4．向量的表示法

（1）向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．

（2）向量也可以用黑体小写字母如a，b，c…来表示，书写用，，…来表示．

向量的有关概念

名称

定义

表示方法

零向量

长度为零的向量

0

单位向量

（向量a方

向上）

与向量a同方向，且长度为1的向量，叫作a方向上的单位向量

a0

相等向量

长度相等且方向相同的向量

若a等于b，记作a＝b

向量平行

或共线

表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合

a与b平行或共线，记作a∥b

向量的有关概念

　下列说法正确的是（　　）

A．若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上

B．若向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

C．向量的长度与向量的长度相等

D．单位向量都相等

【思路探究】　利用共线（平行）向量、单位向量、相等向量、向量的长度等概念逐项判断正确与否．

【自主解答】　对于A，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上．

对于B，由于零向量与任一向量平行，因此若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．

对于C，向量与方向相反，但长度相等．

对于D，需要强调的是：

单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．

【答案】　C

1．对共线向量的理解是本题的关键点．向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．

2．熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．

下列说法正确的是（　　）

A.∥就是所在的直线平行于所在的直线

B．长度相等的向量叫相等向量

C．零向量的长度等于0

D．共线向量是在同一条直线上的向量

【解析】　∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故选项A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故选项B错；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故选项D错．

【答案】　C

向量的表示

　一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向北偏西40°走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．

（1）作出向量、、；

（2）求||.

【思路探究】　先作出表示东南西北的方位图及100km长度的线段，然后解答问题．

【自主解答】　

（1）向量、、如图所示．

（2）由题意，易知与方向相反，故与共线，

又∵||＝||.∴在四边形ABCD中，AB綊CD.

∴四边形ABCD为平行四边形．

∴＝，∴||＝||＝200（km）．

1．在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．

2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，为以后学习向量提供了几何方法，这也体现了数形结合的数学思想．应注意的是有向线段是向量的表示方法，并不是说向量就是有向线段．

3．要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向．

图2－1－1

在如图的方格纸中，画出下列向量．（每个小正方形的边长为1）

（1）||＝4，点A在点O正北方向；

（2）||＝2，点B在点O东偏南45°方向；

（3）画一个以C为起点的向量c，使|c|＝，并说出c的终点的轨迹是什么？

【解】　

（1）

（2）（3）的图像如图所示．

（3）c的终点轨迹是以C为圆心半径为的圆．

相等向量与共线向量

图2－1－2

　如图2－1－2所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．

（1）写出与共线的向量；

（2）写出与的模相等的向量；

（3）写出与相等的向量．

【思路探究】　解答本题可依据相等向量及共线向量的定义求解．

【自主解答】　∵E、F分别是AC、AB的中点，

∴EF∥BC，且EF＝BC.

又∵D是BC的中点，∴EF＝BD＝DC.

（1）与共线的向量有：

，，，，，，.

（2）与的模相等的向量有：

，，，，.

（3）与相等的向量有：

，.

1．本题以三角形中位线与底边的关系为载体，融相等向量及共线向量的知识于其中，求解时可充分借助于几何图形的相关性质，使向量与几何有机地结合起来，用共线向量反映几何图形中的位置关系，用向量模的关系，反映几何图形中的长度关系．

2．判断一组向量是否相等，关键看向量是否方向相同和长度相等，与起点和终点位置无关．对于共线向量，则只要同向或反向即可．

在本例条件不变的情况下，写出与共线的向量和与相等的向量．

【解】与共线的向量有：

，，，，，，；

与相等的向量有：

，.

忽视零向量方向致误

　给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同；

②若|a|＝|b|，则a＝b；

③若＝，则ABCD是平行四边形；

④在平行四边形ABCD中，一定有＝；

⑤若m＝n，n＝k，则m＝k；

⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.

其中不正确的命题的个数为（　　）

A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5

【错解】　选B.

【错因分析】　⑥中若b＝0则结论不成立，因为0的方向不确定．

【防范措施】　对于向量的概念要认真理解，尤其是零向量一定要记住其特殊性．

【正解】　两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定起点相同，终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A，B，C，D可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b＝0，则a与c就不一定平行了．因此⑥也不正确．

【答案】　C

1．学习了向量的概念及其表示，明确了有向线段与向量之间的关系．

2．掌握了特殊向量及向量之间的关系，以及它们的性质特点．

3．能在具体图形中找出相等向量与共线向量．

1．下列命题中，正确的是（　　）

A．|a|＝|b|⇒a＝b　　B．|a|＞|b|⇒a＞b

C．a＝b⇒a∥bD．|a|＝0⇒a＝0

【解析】　如果两个向量相等，则这两个向量必定平行．

【答案】　C

2．如图2－1－3，＝，AC与BD相交于点O，则相等的向量是（　　）

A.与

B.与

C.与

D.与

图2－1－3

【解析】　||＝||，且与方向相同，则＝，故选D.

【答案】　D

3．给出下列命题：

①若|a|>|b|，则a>b；②若a＝b，则a∥b；③若|a|＝0，则a＝0；④0＝0；⑤向量大于向量；⑥方向不同的两个向量一定不平行．其中，正确命题的序号是________．（把你认为正确的命题序号都填上）

【解析】　①不正确．|a|>|b|知模的大小，而不能确定方向，向量不能比较大小；②正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线；③正确；④不正确.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|＝0；⑤不正确．因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小；⑥不正确．因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况．

【答案】　②③

图2－1－4

4．如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段．

（1）写出图中的各组共线向量；

（2）写出图中的各对同向向量；

（3）写出图中的各对反向向量．

【解】　

（1）向量，，，为一组共线向量；

向量与为一组共线向量；

向量与为一组共线向量；

向量与为一组共线向量；

向量与为一组共线向量．

（2）向量与，为同向向量，向量与，与，与分别为同向向量．

（3）与，与，与，与为反向向量.

一、选择题

1．如图2－1－5，在正方形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（　　）

图2－1－5

A.与

B.与

C.与

D.与

【解析】　∵＝，∴与可用同一条有向线段表示．

【答案】　B

图2－1－6

2．如图2－1－6所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（　　）

A.＝

B．||＝||

C.＞

D.＜

【解析】　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．

【答案】　B

图2－1－7

3．如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点，则与E的模相等的向量共有（　　）

A．6个　　　　　B．5个

C．4个D．3个

【解析】　∵E、F、D分别是边AC、AB和BC的中点，

∴EF＝BC，BD＝DC＝BC.

又∵AB，BC，AC均不相等，从而与的模相等的向量是：

，，，，.

【答案】　B

图2－1－8

4．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中A，B，C，D，E，F，O中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（　　）

A．6个B．7个

C．8个D．9个

【解析】　由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量共线的向量有，，，，，，，，，共有9个．故选D.

【答案】　D

5．下列说法中，不正确的是（　　）

A．0与任意一个向量都平行

B．任何一个非零向量都可以平行移动

C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量

D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同

【解析】　易知A、B、C均正确，D不正确，它们的终点可能相同，故选D.

【答案】　D

二、填空题

6．已知边长为3的等边△ABC，则BC边上的中线向量的模等于________．

【解析】　由于AD＝AB＝.∴||＝.

【答案】　

图2－1－9

7．如图，设O是正方形ABCD的中心，则：

①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有正确的序号为________．

【解析】　根据正方形的几何性质以及向量的相等和共线的条件知①②③正确，与的方向不相同，故④不正确．

【答案】　①②③

图2－1－10

8．如图2－1－10所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，连接相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数是________．

【解析】　图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个（它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反），故满足条件的向量共有8个．

【答案】　8

三、解答题

9．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：

（1）与相等的