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此后，同一公司的Thompson完全忽略旅客需求的概率分布和超售成本，提出了更具有实际应用价值的模型，该模型仅要求随意固定的旅客取消比率，叫做“条件超售概率”，同时提出航空机票超售研究中关于已订座旅客取消订座请求概率的两大重要假设，也就是某一订座旅客撤消订座请求的概率不以这一旅客是不是属于某一团体为基础，也不以此次订座的时间长短为基础。

Thompson利用假设已订座旅客取消订座请求概率（如1/2000的标准）来确定订座水平，进而制定超售策略。

基于航空管制这一因素，先前有关航空机票超售的研究重心大多在航空公司内部业务监管与外部管制规定所设定的约束范围中控制拒绝登机旅客概率，所以也被称作“受控制的超售”问题。

本阶段有关超售模型的研究，大部分不将超售模型的动态策略问题纳入考虑因素之列。

Rothstein在酒店收益管理问题研究中，最先引进了动态规划模型，这一模型把超售策略阐述成一个非齐次的马尔可夫序贯决策过程，同时通过动态规划对模型进行求解。

此动态超售模型也被应用于解决航空公司机票超售问题[18-20]，拉开了航空机票动态超售研究的帷幕。

二十世纪八十年代，关于航空公司机票超售问题的研究方法多为动态方法。

SAS（ScandinavianAirlinesSystems）航空公司的成员Alsaup等通过动态规划方法针对两等级舱位超售问题展开研究，随后Chatwin等人开展了该方面的相关研究工作[21]。

P.Zouein和W.Abillama基于随机动态规划原理，开展了多航班机票超售问题研究[22]。

海外学者FengYouyi和XiaoBaichun由旅客订座需求服从泊松分布的假设出发，建立了时间连续模型，并证明了最优机票超售额上限的存在性[23]。

GeYanming等考虑了航空旅客可通过转签在多个航班间转移的特殊情况，当出现旅客无法登机时旅客可选择乘坐下一航班，在此基础上建立超售模型[24,25]。

国内研究中，朱金福、高强[109]等将排队论引入到航空机票静态超售模型中，通过机票销售过程模拟研究超售策略；

在机票动态超售模型研究方面，利用马尔科夫随机过程模拟航班机票销售过程，并将研究从单一等级舱位扩展至多等级的航班机票超售[26-29]。

航空机票超售在应用中有一定风险性，如果到达旅客数量高于航班实际座位量，航空公司将不得不为无法登机的旅客提供补偿，则增加了航空公司运行成本。

各航空公司对风险容忍度也不尽相同，如对于规模较小的航空公司来说，其风险偏好可能不是中性的，而是风险规避型的。

对此，陈敬光[30]等在考虑航空公司风险偏好影响的基础上，利用CVaR（ConditionalValueatRisk）风险度量方法开展了不同风险容忍度水平下，航空机票的超售决策问题研究。

刘军等对航空公司不同风险偏好下超售问题，分别建立了超售模型[31,32,105]。

最近，赵昊天等人利用鲁棒优化的方法也对此问题展开了相关研究工作[33]。

值得注意的是，目前在研究航空机票超售问题时，大多研究都是在旅客订座需求是无限的假设基础上进行，对考虑旅客订票请求随机性的动态超售建模相关研究较少。

1.2.2舱位控制研究现状

就航空公司而言，研究收益管理的核心在于对舱位的控制方面。

虽然接受某一旅客订座请求，航空公司对此所承担的风险要远远低于某一将来可能订座请求所带来的风险，不过由于他们每年都需制定大量此类接受或谢绝订座请求的决定。

因此，航空公司的舱位控制决策满足风险中性假设的条件。

同时，几乎全部有关航空公司舱位控制的研究均将风险中性当作假设前提，把最高的机票销售期望收益当作策略目标。

结合出现一位旅客请求指定航程、指定航班、指定时间、指定票价等级的座位，航空公司基础的收益管理策略是决定批准这一订座请求还是拒绝这一订座请求。

由于存在众多的旅客订座请求，航空公司收益管理体系不能及时而充分地评价每一旅客订座请求带来的收益情况。

所以，舱位控制是提前计算好一个对应舱位等级的订座数量限制，利用限制阈值来确定某一票价等级在指定时间是开放状态还是关闭状态，利用票价等级的开放与关闭来实现接受或拒绝旅客订座请求决策。

接受或拒绝决策可以描述成一个收益评估问题。

为了期望收益的最大化，需要知道旅客请求订座的舱位期望机会成本是多少，只有在旅客舱位请求的票价不低于这一舱位的期望机会成本时，才接受该订座请求。

舱位的期望机会成本的运算并不复杂，不过这一机会成本的影响因素也很多，各个因素都使评估工作变得更为繁杂。

即便是不能对机会成本展开合理的精准评价，而专家们会给出诸多近似方法，依旧能够使航空公司的收入实现显著增加。

同时，舱位控制的研究伴随航空产业的进步，由两等级发展至多等级问题，由单航段航班发展到多航段航班直至网络问题，相关更深层次的研究也在陆续展开。

（1）单航段舱位控制问题

先前的简化航空机票座位控制问题研究，均是基于下述假设构建起来的：

1）序列订座等级；

2）低票价的等级相对于高票价的等级优先销售；

3）每个订座等级的需求具有统计独立性；

4）没有订座取消与No-show，不考虑高于实际舱位的订座；

5）单航段且不考虑网络影响；

6）不计旅客团队形式的订座现象。

低等级票价能够优先订座的订座序列代表自订座开始到结束能够细分成时间段，各个时间段出现的订座请求都归为相同等级。

此类情况下，订座决策仅考虑每个舱位等级的总需求量，而无需考虑请求订座旅客的真实抵达进程。

1993年，Brumelle与McGill以此假设为前提联合证明，若订座请求的随机分布不出现变动，采用静态舱位控制方法获得的决策即是最优的[34]。

1972年，Littlewood在从事英国航空公司收益管理研究的工作中，提出了Littlewood准则。

1976年，Mayer通过对Littlewood准则的模拟研究，发现航空公司在航班起飞前多次应用该准则进行舱位优化，获得的最终决策与应用相对更为复杂的动态规划模型优化结果一样好，并认为将航空公司舱位优化分配和超售分别加以考虑，几乎不会引起收益损失。

之后，Titze和Griesshaber同样就Littlewood准则的鲁棒性问题开展了研究[35]。

Belobaba把这一准则拓展至多等级票价的状况，指出期望边际舱位收入（EMSR）这种适用性较好的方法术语，被视作等边际舱位收益优化管理研究发展的里程碑。

尽管提出的EMSR启发式优化方法，在多等级票价舱位控制问题中没能达到最优化的舱位分配，不过由于这一方法实行起来比较简单，因此应用较广。

McGill[36]、Wollmer[37]等针对这一方法进行了深入研究，证明这一方法针对比较有代表性的航空需求分布状况，优化结果较为准确。

而Robinson[38]经由研究发现，EMSR方法对于一般化的航空需求分布情况，优化结果较差。

针对以上问题对EMSR方法进行了改进研究，改进后的EMSR模型称为EMSRb模型。

研究表明，相对而言EMSRb模型能更好的描述航空舱位控制问题，可近似获得最优控制策略[39]。

所以，这一方法在现实中的运用也比较普遍。

VanSlyke和McGill在2000年引进多等级嵌套舱位保护思想，构建了一类较为简便、实用性高的方法[40]，该方法最大的优点在于不必依靠对航空需求的预测，而是以订座所需的历史观测值为基础来引导保护水平的调节。

提议若票价等级i和高于i的订座与保护水平持平，那么就调高保护水平为Ni；

反之则调低。

而且，在科学的假设前提下，收敛到优化嵌套保护水平。

不过现实操作时，航空公司受利益驱使，无法使之得到保证。

以上舱位控制方法都是静态的，如果旅客需求的随机概率分布不发生改变，采用静态舱位控制策略在旅客到达序列假设条件下是最优决策。

然而，实际对旅客需求概论分布假设及需求估计，具有较大不确定性。

因此，航空公司在整个机票销售期内，不断更新需求与运力信息，同时反复应用静态舱位控制方法是比较常规的处理方法。

有关舱位控制的最优化研究显示，若把静态研究方法中的部分假设前提放宽，则静态舱位控制决策就没有最优决策存在。

所以，很多学者应用动态舱位控制来处理单航段所遇到的难题。

与静态舱位控制不同，动态舱位控制的决策方案并非在机票销售开始就确定订座控制数量，而是在不断吸纳机票销量、订座请求情况等实时信息过程中，对到达的订座请求作出实时的拒绝或接受决策。

Lee和Hersh把各个等级舱位的需求视为一个非齐次泊松过程，应用Markov决策模型来制定策略，也就是指定时间

，在

这一时刻之前出现的订座请求不会对这一时刻的策略产生影响，不过运力不够除外，运用离散时间随机过程，提出了单航段舱位动态控制问题的最优准则[41]。

Markov模型对舱位控制，依赖当前到飞机起飞所剩时间与所剩运力，把旅客订座请求划到每个决策时期内，一旦决策时间足够小，那么在这一决策时间内仅有一个旅客订座请求抵达。

这一决策时期之后，剩余运力或模型状态必然会出现一定变化。

设

为航空公司优化总期望收益，给定剩余运力

，

为至飞机起飞前的决策时间数，则接受等级i的订座请求条件为

（1-1）

这之中，

代表全部运力，T代表全部的决策时间数。

这一决策准则表明：

只有目前票价高于舱位的机会成本，才接受这一等级的请求；

机会成本指的是在指定时间

内舱位的边际期望价值。

Lee和Hersh同时也提出了综合期望收益的递归函数公式，而且证明在给定决策准则下，求得模型所制定的舱位控制策略可以表示为剩余舱位或距离飞机起飞时间的一组关键值。

对应每一舱位等级，这组关键值可提供在给定决策时间内不再接受订座请求的优化运力水平；

也能够提供指定运力时，在其之后不再接受订座请求的优化决策时间。

并且，证明订座等级有关的关键值存在单调性，同时把模型扩展至旅客批量抵达状况。

1998年，Kleywegt和Papastavrou经研究证明，航空舱位控制问题能够阐述成动态随机背包问题（DSKP）[42]。

并基于此建立模型，利用建立的模型研究了单航段舱位控制问题，还有时间在0前给定所剩运力的最优值、运力没有使用的等待成本，以及拒绝某一请求的经济惩罚、终止进程的可能性等。

这一模型在时间上具有连续性，但只考虑了订座申请的均匀抵达过程而已。

Subramanian和Lautenbacher在1999年对Lee与Hersh所创建的模型进行了深入扩展，对舱位分配和舱位超售相互融合的问题加以研究，构建了一个离散时间的马尔科夫决策过程。

结合机票超售情况，利用动态规划方法分析了舱位分配问题[43]。

该方法把连续时间到达过程作为离散时间模型增加决策阶段数的极限，将问题等价于排队系统中允许进入的优化控制问题，采用排队控制理论的成熟方法进行舱位控制决策。

同年，Liang采用连续时间重新构造并且求解了模型[44]。

2000年，VanSlyke和Young，基于Lee和Hersh模型获得了时间连续的优化结果[45]，把模型简化为更具标准化的单航段舱位控制问题，同时将其扩展至非齐次抵达过程，模型同样认可旅客批量抵达。

（2）多航段舱位控制及航空网络问题

八十年代以来，整个社会都愈加重视航空网络的舱位控制问题。

公众认识到，航空收益管理中，既应结合航班的单航段问题，也应结合旅客整体航程（可能包含若干联程航班）及整体航空运营网络方面的问题[133]。

管理航空收益时，若只结合航空网络的作用，简易的单个航段舱位控制方法不能达成目标，因此学者们展开了航空网络收益管理研究。

航空网络舱位控制不仅受到网络舱位控制方法缺乏的限制，还受限于传统订座系统功能性不足。

随着订座系统功能的不断完善，航空公司实现了对各航班各等级舱位更为精细的控制，网络控制理论也在持续发展中。

航空网络收益管理重点运用了数学规划方法、投标价位、虚拟嵌套等方法。

航空公司的网络收益监管也就是ODF控制（origin-destinationfarecontrol）。

由于在进行舱位分配时，既要结合旅客的票价折扣率，也要结合旅客的旅程，决策模型并不简单，模型也很少得到精准结果。

1982年Glover等成了首批涉足网络问题研究的学者，他们把起点分配问题描述为确定型网络（带有特定边界约束）最小低成本流模型[46]，通过数学规划的方法给出了若干航段起点控制问题的表达式，这一方法的目的在于寻求网络方面可以获得最大化收益的各个弧的流量，同时与航段内运力约束及各个ODF组成订座要求预测上限相符合。

网络流模型的最大弊端在于无法有效地对航程的出发地与目的地加以区别，所以仅有当旅客并不在意路程时这个模型才能生效。

而且，模型内所假设的旅客要求具有确定性，忽略了订座请求的随机性。

该模型的优点是容易求解并能非常迅速地重新优化。

1988年Dror和Ladany构建了相似的网络模型[47]，同样该构建的滚动水平网络模型，也只能解决确定的旅客需求问题。

麦道公司的Wollmer在1986年基于对旅客需求随机性的考虑，通过舱位期望边际收益作为优化目标函数系数的方法，把中心辐射航空网络的舱位分配问题叙述成一个线性规划网络模型。

Wong在研究网络舱位分配问题的博士论文中也使用这一网络模型，先是对单一票价问题构建模型，进而扩展到多等级状况下[48]。

以上这些数学规划模型的最大缺点是未能考虑现实业务中普遍利用的订座等级嵌套结构，所以不能用作每天的现实舱位控制。

Curry在1989年对起讫点问题构建了一个数学规划和边际分析相结合的综合模型[49]，对收益函数采用分段线性近似，并且各个起点的不同机票价格等级是嵌套的，各个起点的嵌套对于单个航段单独进行优化，其结果为最优的嵌套订座限额，这样较为符合现实业务状况，该办法已被某些收益管理系统使用。

另外，虚拟嵌套控制办法是较为成功的近似起点控制办法，它是美国航空公司的科研工作者在1986年率先提出并实行的。

这是一种把起点旅客流量分别归并到有数量限制的单航段订座等级中的方法，该方法是评价起点旅客流量对航空公司的价值，根据这个评估价值而非它的价格，把起点旅客流量分配到目前航段的订座等级集合中。

Williamson[50,51]、Vinod[52]等人研究了利用不同的方法来实现这个评价和归并的过程，从而达到近似网络控制效果。

嵌套是舱位控制问题的一个重要组成，应当详加思考。

可如何在网络构架中确立ODF组合的嵌套顺序极为困难。

嵌套顺序要以ODF组合对网络收益的贡献大小作为根据，若按照票价等级进行排序则没有考虑票价水平，假若按照机票价格水平进行排序则没有考虑飞行航段的载客率。

Williamson于1992年建议按照以下指标来设立ODF组合的嵌套：

在其他条件不变的情形下，对ODF加入一个舱位产生的额外收益。

DLP（Dynamiclinearprogramming）模型，通过对应需求限制条件相应的影子价格来预估加一个舱位带来的额外收益。

在该特定模型中，相当于ODF的平均需求增加一个相应的额外收益。

随机模型并无需求限制条件，可仍然利用平均需求增加一个所带来的附加收益来设立嵌套顺序，额外需求预估可以经过利用增加一个平均需求的模型重新进行优化，把新的目的函数值与原目的函数值对比得出。

然而，这需要对模型进行重新优化。

DeBoer于2002年根据Williamson的观点，利用ODF组合经过网络收益的净贡献来确立订座限[53]。

采取了不同办法来预估ODF组合对网络收益的贡献率。

最早开展投标价格控制方法（BidPrice）理论研究的是Simpson[54]，他按照不同的数学规划办法描述了投标价格控制理论和很多主要相似办法。

该控制方法是当前较为有效的网络问题解决办法之一。

其核心理念是：

构建前面提到的确定型线性规划模型，将期望需求取代随机需求当做模型中的制约条件，利用本模型的对偶价格来构建网络中各个航节上每提高一个舱位的边际价值，旅客路线途径航节上的对偶价格累积值当做该路线近似替代成本（通常称它为该路线的投标价），并将其当做能承受机票票价的下限值。

该方法建立的竞价并未考虑需求的随机属性。

Talluri与VanRyzin于1998年构建了一个起讫点控制问题的一般模型[55]，通过动态规划法对这一模型的最优控制结构和投标价格控制性能开展了严格分析，深入地研究了投标价格法的理论基础。

证明竞价策略仅在ODF的机会成本等同各个航段机会成本的累积值时才为最优的。

该线性要求一般无法满足，并且也证明了当运力和销售数量很大时，竞价策略是渐近优化的。

Talluri和VanRyzin于1999年研究了DLP模型的随机化版本，用此来测算竞价[56]。

其理念是应用需求的随机向量代替期望需求来融合更多随机信息。

他们对n个实际需求序列进行模拟，把实际需求代替期望需求当做各个ODF订座的上限，利用DLP模型，对各个序列确立最优的舱位分配。

N个优化舱位分配给出了了n组影子价格，航段的竞价简略定义为航段上n个影子价格的平均值，该种方法即为随机线性规划（SLP）法。

DeBoer在2002年应用的ODF机会成本法近似，直接将接受一个订座请求获得的收益同ODF机会成本关联起来。

竞价控制的缺陷是如果一个ODF的票价高于机会成本则开放预定，对预定总量未能限定，这可能引起航班坐满了只对网络收益有边际贡献的旅客。

所以，采用竞价舱位控制方法进行舱位分配时，要基于最新的需求数据和运力信息不断调整竞价，避免上述事情发生十分必要。

不管是嵌套方法还是竞价方法，都是允许ODF组合使用所以比其低的预留舱位，通过一个线性规划模型从一个非嵌套解更换到一个嵌套订票控制策略的启发式方法。

可是，如果去除ODF预留舱位这一限定条件，那么优化结果将不能实现。

为了获得一个最优的订票控制策略，需求嵌套和舱位分配策略关联起来，可仅仅凭借数学规划模型无法解决，可利用模拟方法解决[57]。

Weatherford曾给出了价格和舱位控制决策的综合计算表达式，但因收入函数的表达式复杂性比较高，致使求解极为困难[58]。

综上所述，对单航段舱位控制研究比较深入，解决方案、办法也比较成熟，目前，在该方面研究工作重点是拓展现有模型，解决诸如超订、大批到达、较少依赖需求预测等问题。

对网络舱位控制问题的解决方案、办法还有所欠缺，还有较多问题有待进一步深入研究。

1.2.3定价模型研究现状

航空公司定价问题研究重点是从两个方面进行的：

一是站在经济学角度，借助有关理论来分析航空公司应当采取的定价办法和策略，即开展规范定性研究；

二是通过构建数学模型，利用真实或者模拟数据，开展实证定量研究。

关于收益管理定价方法的有效性，TheodoreC.Botimer将经济学的效率作为立足点对其开展了分析，他指出制定差异定价体系能够确保旅客在供高于求的情形下按最大支出意愿购买机票，令舱位的配给效果实现最优，使得社会及航空公司收益最大化[59]。

不管是静态还是动态舱位控制，传统收益管理方法是以航空公司决策为中心的方法，对机票价格制定时并未完全考虑旅客的购票选择行为。

Cooper指出，虽然航空公司会对不同等级的机票建立不同的限定措施，可现实销售过程中高收入群体依然有选择较低价格机票的倾向，因此传统收收益管理方法的实行通常会引起航班收益螺旋式下降，时间一长会给航空公司造成较高的收益损失。

为此，近些年，专家对动态定价的研究与日俱增，动态定价这种收益管理新方法也逐渐受到航空公司的重视。

理论上来讲，收益动态定价方法能够确立每个销售情形下的机票价格，即该方法已经包含了对舱位的控制，而且其重心在于同旅客需求关系更为直接、联系更为紧密的定价部分。

DieterWestermann提出动态定价是效果更加突出的收益管理方法，特别是传统航空公司在面对低成本航空公司的简单构成化定价系统时，动态定价相较传统收益管理方法更加有效[60]。

伴随专家对动态定价的深入研究，多个动态定价模型构建起来。

2003年BitranG.和CaldenteyR.在已有的动态定价模型开展了综合研究，发现不同动态定价模型下对价格所受的区间限制所做假定也不相同，即预售机票价格的改变能够假定是离散的，也能够假定为连续的价格改动。

价格处于离散时，最优定价只能在事先给出的价格集合中选择；

而定价处于连续变动时，通常假定最优价格

。

RichardE.Chatwin从价格和出售所剩时间及商品所剩数量的关系出发，利用微积分法建立了一个易腐蚀商品动态定价模型。

这一模型假定需求服从泊松分布，需求强度为价格的函数，它还假定价格离散，即销售商能够在一个既定的价格区间内动态调动价格，这里的最优价格为一个分段常值函数[61]。

BeatBurger和MatthiasFuchs介绍了某个航空公司动态定价的原始随机模型，这一模型假定某个航班存在一组离散价格集合，而旅客的买票愿望是这一集合的随机累积函数，然后将价格、所剩舱位数量等要素当做决策变量，并利用动态规划办法建立期望收益函数，航空公司的决策是将期望收益最大化作为目的，从价格集合中选择某一销售形态下的最优售票价格[62]。

KyleY.Lin将以上模型进行了优化，仍假定旅客买票愿望为价格的函数，可价格具有连续性。

将潜在旅客分成虚旅客和实旅客两类，并假定潜在旅客总数遵从参数为

的负二项分布。

将价格、舱位存量及参数

当做决策变量，利用动态递归法建立了一个比较繁复的收益函数[63]。

因为这一模型中等式前后都有一个相同的期望收益表达式，所有没有办法求解，并且KyleY.Lin并未提出旅客购买票概率的准确函数。

为破解该问题，

2006年商红岩对这一模型进行了优化，她直接将价格、所剩舱位数量、预计的实际旅客总数和虚旅客总数当做决策变量，同样利用动态递归办法建立期望收益函数，同时引进Logit模型来体现旅客买票几率[64]，优化模型能算出最优价格及最大期望收益。

可在现实销票过程中，虚旅客这一概念太过含糊，极难精确判定。

商红岩通过简单比较发觉，虚旅客对航空公司最优定价并没有多大影响，于是提出仅以价格、所剩舱位数量