高中数学 312两角和与差的正弦余弦正切公式2教案 新人教A版必修4.docx

高中数学 312两角和与差的正弦余弦正切公式2教案 新人教A版必修4.docx

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高中数学312两角和与差的正弦余弦正切公式2教案新人教A版必修4

湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（2）教案新人教A版必修4

（一）导入新课

思路1.（复习导入）让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.

思路2.（问题导入）教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.

1.化简下列各式

（1）cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ;

（2）;

（3）

2.证明下列各式

（1）

（2）tan（α＋β）tan（α-β）（1-tan2tan2β）＝tan2α-tan2β;

（3）

答案:

1.

（1）cosα;

（2）0;（3）1.

2.证明略.

教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.

②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.

活动：

待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=（α+β）-β,等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.

sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕;

cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ〔C（α±β）〕;

tan（α±β）＝〔T（α±β）〕.

讨论结果：

略.

（三）应用示例

思路1

例1利用和差角公式计算下列各式的值.

（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;

（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;

（3）

活动：

本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现

（1）同公式S（α-β）的右边，

（2）同公式C（α+β）右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T（α+β）右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为，再逆用公式T（α+β）即可解得.

解：

（1）由公式S（α-β）得

原式=sin（72°-42°）=sin30°=.

（2）由公式C（α+β）得

原式=cos（20°+70°）=cos90°=0.

（3）由公式T（α+β）得

原式==tan（45°+15°）=tan60°=.

点评：

本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.

变式训练

1.化简求值：

（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°;

（2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;

（3）sin（54°-x）cos（36°+x）+cos（54°-x）sin（36°+x）.

解：

（1）原式=sin（14°-44°）=sin（-30°）=-sin30°=.

（2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin（14°+16°）=sin30°=.

（3）原式=sin［（54°-x）+（36°+x）］=sin90°=1.

2.计算

解：

原式==tan（45°-75°）=tan（-30°）=-tan30°=.

例2已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x-θ）的定义域为R,设θ∈［0,2π］,若f（x）为偶函数,求θ的值.

活动:

本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.

解:

∵f（x）为偶函数,∴f（-x）=f（x）,

即sin（-x+θ）+cos（-x-θ）=sin（x+θ）+cos（x-θ）,

即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ

=sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ.

∴sinxcosθ+sinxsinθ=0.

∴sinx（sinθ+cosθ）=0对任意x都成立.

∴sin（θ+）=0,即sin（θ+）=0.

∴θ+=kπ（k∈Z）.∴θ=kπ-（k∈Z）.

又θ∈［0,2π）,∴θ=或θ=.

点评:

本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.

变式训练

已知：

<β<α<,cos（α-β）=,sin（α+β）=,求cos2β的值.

解：

∵<β<α<,

∴0<α-β<,π<α+β<.

又∵cos（α-β）=,sin（α+β）=,

∴sin（α-β）=,cos（α+β）=.

∴cos2β=cos［（α+β）-（α-β）］

=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）

=×+（）×=.

例3求证：

cosα+sinα=2sin（+α）.

活动：

本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S（α+β）展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S（α+β）的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.

证明：

方法一：

右边=2（sincosα+cossinα）=2（cosα+sinα）

=cosα+sinα=左边.

方法二：

左边=2（cosα+sinα）=2（sincosα+cossinα）

=2sin（+α）=右边.

点评：

本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与分别变为了与，即辅助角的正、余弦.关于形如asinx+bcosx（a，b不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin（x+φ）的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin（x+φ）的形式.一般情况下，如果a=osφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A（sinxcosφ+cosxsinφ）=Asin（x+φ）.由sin2φ+cos2φ=1,可得

A2=a2+b2,A=±,不妨取A=,于是得到cosφ=,sinφ=,从而得到tanφ=,因此asinx+bcosx=sin（x+φ），通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.

变式训练

化简下列各式：

（1）sinx+cosx;

（2）cosx-6sinx.

解：

（1）原式=2（sinx+cosx）=2（cossinx+sincosx）

=2sin（x+）.

（2）原式=2（cosx-sinx）=2（sincosx-cossinx）

=2sin（-x）.

例4

（1）已知α+β=45°,求（1+tanα）（1+tanβ）的值;

（2）已知sin（α+β）=,sin（α-β）=,求

活动：

对于

（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在

（2）中，我们欲求若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S（α+β）、S（α-β）发现，它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而化切为弦正是，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答.

解：

（1）∵α+β=45°,∴tan（α+β）=tan45°=1.

又∵tan（α+β）=

∴tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）,

即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.

∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+（1-tanαtanβ）+tanαtanβ=2.

（2）∵sin（α+β）=,sin（α-β）=,

∴sinαcosβ+cosαsinβ=,①

sinαcosβ-cosαcosβ=.②

①+②得sinαcosβ=,

①-②得cosαsinβ=,

∴

点评：

本题都是公式的变形应用，像

（1）中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）,对于我们解题很有用处，而

（2）中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.

变式训练

1.求（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan44°）（1+tan45°）的值.

解：

原式=［（1+tan1°）（1+tan44°）］［（1+tan2°）（1+tan43°）］…［（1+tan22°）（1+tan23°）］（1+tan45°）=2×2×2×…×2=223.

2.计算：

tan15°+tan30°+tan15°tan30°.

解：

原式=tan45°（1-tan15°tan30°）+tan15°tan30°=1.

（四）作业

已知一元二次方程ax2+bx+c=0（ac≠0）的两个根为tanα、tanβ,求tan（α+β）的值.

解：

由韦达定理得：

tanα+tanβ=,tanαtanβ=,

∴tan（α+β）=.

（五）课堂小结

1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？

我们学习了哪些重要的解题方法？

通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？

如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.

2.教师画龙点睛：

通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=sin（x+φ），运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.

中国书法艺术说课教案

今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：

本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。