教师用书高中数学 第一章 统计案例教案 北师大版选修12.docx
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教师用书高中数学第一章统计案例教案北师大版选修12
第一章统计案例
§1回归分析
1．1 回归分析
1．2 相关系数
1．3 可线性化的回归分析
（教师用书独具）
●三维目标
1．知识与技能
（1）通过对典型案例的探究，了解回归的基本思想、方法及初步应用．
（2）了解相关系数r的含义，会根据两个随机变量的线性相关系数判断它们之间的线性相关程度．
（3）能将非线性回归问题转化为线性回归问题来解决．
2．过程与方法
在分析和探讨变量之间的线性关系的过程中，体会统计推理由直观到严谨的过程，进一步了解统计推理的基本方法和基本思想，发展统计思维能力．
3．情感、态度与价值观
通过对两个随机变量进行回归分析，并根据回归方程对数据进行预测，认识和体会统计推理及其方法在解决实际问题中的作用，感受数学与生活的密切联系．
●重点难点
重点：
（1）回归分析的基本思想和方法．
（2）判断两个随机变量是否线性相关．
难点：
（1）对两个随机变量是否线性相关进行判断．
（2）求线性回归方程．
本节的教学，要通过具体问题的解决，引导学生复习回顾利用最小二乘法求变量之间的线性回归方程的方法，以及如何根据线性回归方程，对数据进行估计．
教学中，要通过引导学生探究，明确在求线性回归方程时，要对变量是否线性相关作出判断的必要性以及判断方法．判断方法有两种：
散点图法—定性判断，相关系数法—定量判断．
（教师用书独具）
●教学建议
1．通过学生熟悉的实际问题引入课题，为学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动学生主动参与的积极性．
2．在教学中，要引导学生探究两个变量相关性的判断方法，感悟两个变量相关性判断的必要性．
3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，具体体现在设问、讲评和规范等方面，要教会学生清晰的思维、准确地计算，要引导学生感悟定性判断与定量判断之间的辩证关系．
●教学流程
情境引入⇒如何判断线性相关⇒如何判断线性相关的程度⇒线性回归方程的应用⇒可线性化的回归分析⇒归纳总结，深化认识
课标解读
1.了解回归分析的思想和方法（重点）．
2．掌握相关系数的计算和判断线性相关的方法（重点）．
3．了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法（难点）.
回归分析
【问题导思】
1．自变量取值一定时，若因变量的取值也随之确定，则这两个变量之间的关系称为什么关系？
若因变量的取值具有随机性呢？
【提示】 函数关系，相关关系．
2．类比用函数图像研究函数，具有相关关系的两个变量可用什么研究？
【提示】 散点图．
1．回归分析
设变量y对x的线性回归方程为y＝a＋bx，由最小二乘法知系数的计算公式为：
b＝＝＝，a＝－b.
2．相关系数
（1）相关系数r的计算
假设两个随机变量的数据分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则变量间线性相关系数r＝
＝＝.
（2）相关系数r与线性相关程度的关系
①r的取值范围为[－1,1]；
②|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高；
③|r|值越接近0，误差Q越大，变量之间的线性相关程度越低．
（3）相关性的分类
①当r>0时，两个变量正相关；
②当r<0时，两个变量负相关；
③当r＝0时，两个变量线性不相关.
求线性回归方程
一根弹簧的长度y（单位：
厘米）在不同拉力x（单位：
牛顿）的作用下的数据如下表：
x/牛顿
5
10
15
20
25
30
y/厘米
7.25
8.12
8.95
9.90
10.90
11.80
（1）求出该弹簧长度y对拉力x的线性回归方程；
（2）预测拉力为18牛顿时的弹簧长度是多少？
【思路探究】 根据样本点数据画出散点图．利用散点图直观分析弹簧长度y与拉力x具有线性相关关系，利用线性回归方程中参数的计算公式可得线性回归方程．
【自主解答】
（1）作出散点图如图所示：
由散点图可看出，两个变量呈现出近似的线性关系，可以建立弹簧长度y对拉力x的线性回归方程．
将已知数据列成下表：
i
xi
yi
x
xiyi
1
5
7.25
25
36.25
2
10
8.12
100
81.20
3
15
8.95
225
134.25
4
20
9.90
400
198.00
5
25
10.90
625
272.50
6
30
11.80
900
354.00
∑
105
56.92
2275
1076.20
由此可得＝＝17.50，＝≈9.49，进而可求得
b＝≈0.18，
a＝9.49－0.18×17.50＝6.34.
于是，y对x的线性回归方程为y＝6.34＋0.18x.
（2）由线性回归方程可知当拉力为18牛顿时，弹簧长度的估计值为6.34＋0.18×18＝9.58（厘米）．
1．回归分析是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，因此，在作回归分析时，要先判断这两个变量是否相关，利用散点图可直观地判断两个变量是否相关．
2．利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线方程y＝a＋bx，则x＝x0处的估计值为y0＝a＋bx0.
3．线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差，所以由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．
4．回归直线必过样本点的中心点．
假定单位面积小麦基本苗数x与成熟期有效穗y是线性相关的，今测得5组数据如下：
x
15.0
25.8
30.0
36.6
44.4
y
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2
求y与x之间的线性回归方程，并对基本苗数56.7预报有效穗．
【解】 设线性回归方程为y＝a＋bx.
则＝30.36，＝43.5，2＝921.7296，
＝1320.66，iyi＝6746.76，＝5101.56.
所以b＝≈0.291，a＝－b≈34.67，
∴所求的线性回归方程为y＝34.67＋0.291x.
当x＝56.7时，y＝34.67＋0.291×56.7＝51.170.
估计成熟期有效穗为51.170.
相关系数的应用
下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断交通事故数与机动车辆数是否有线性相关关系．
机动车辆
数x/千台
95
110
112
120
129
135
150
180
交通事故
数y/千件
6.2
7.5
7.7
8.5
8.7
9.8
10.2
13.0
【思路探究】 列表计算出相关系数所需数据，代入公式即可求出相关系数r，由此判断交通事故数y与机动车辆数x是否线性相关．
【自主解答】 将数据列成下表：
i
xi
yi
x
y
xiyi
1
95
6.2
9025
38.44
589.0
2
110
7.5
12100
56.25
825.0
3
112
7.7
12544
59.29
862.4
4
120
8.5
14400
72.25
1020.0
5
129
8.7
16641
75.69
1122.3
6
135
9.8
18225
96.04
1323.0
7
150
10.2
22500
104.04
1530.0
8
180
13.0
32400
169.00
2340.0
∑
1031
71.6
137835
671.00
9611.7
由此可得＝128.875，＝8.95.进而求得
r＝
≈0.9927.
因为r>0.75，所以可以得出交通事故数y和机动车辆数x有较强的线性相关程度．
1．线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多．需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关．
2．利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若r＞0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．
现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩（x）与入学后第一次考试的数学成绩（y）如下：
学生号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
120
108
117
104
103
110
104
105
99
108
y
84
64
84
68
69
68
69
46
57
71
请问：
这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？
【解】 ＝×（120＋108＋…＋99＋108）＝107.8，
＝（84＋64＋…＋57＋71）＝68，
＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，
＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，
iyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71
＝73796.
所以相关系数为
r＝
≈0.7506.
由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系．
可线性化的回归分析
某地区的女性在不同年龄段的身高平均值x（单位：
cm）和体重平均值y（单位：
kg）的数据如下表：
身高x/cm
60
70
80
90
100
110
体重y/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x/cm
120
130
140
150
160
170
体重y/kg
20.92
26.85
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）试建立y与x之间的回归方程；
（2）若体重超过相同身高的女性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175cm、体重82kg的女性的体重是否正常？
【思路探究】 由样本点画出散点图，找出拟合函数曲线，转化为线性回归模型解题．注意最后要将中间变量值用x代换．
【自主解答】
（1）根据上表中的数据画出散点图如图所示：
由图可看出，样本点分布在某条类似指数函数曲线y＝ec1＋c2x的周围，其中c1和c2是待定的系数，令z＝lny，变换后的样本数据表如下：
x
60
70
80
90
100
110
z
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
x
120
130
140
150
160
170
z
3.04
3.29
3.44
3.66
3.86
4.01
作出散点图如图所示：
设z与x之间的线性回归模型为z＝a＋bx，
则由表中数据得b≈0.020，a＝－b≈0.625，
所以z与x之间的线性回归方程为z＝0.625＋0.020x，所以y＝e0.625＋0.020x.
（2）当x＝175cm时，
预测平均体重y＝e0.625＋0.020×175≈61.87（kg），
由于61.87×1.2＝74.24<82，所以这位女性偏胖．
非线性回归方程的求解步骤：
若函数模型为y＝x2＋bx＋c，则作变换t＝________才能转化为y对t
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