2年模拟新课标版高考数学一轮复习 85空间向量与立体几何Word文档格式.docx
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BF⊥平面ACD;
(2)若AB=BC=2,∠CBD=45°
求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的余弦值.
B组 2014—2015年模拟·
提升题组
1.(2015河北重点中学期中,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°
Q为AD的中点.
(1)若PA=PD,求证:
平面PQB⊥平面PAD;
(2)若平面APD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,则在线段PC上是否存在点M,使二面角M-BQ-C的大小为60°
?
若存在,试确定点M的位置;
若不存在,请说明理由.
2.(2014北京西城一模,17)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形,E是CD的中点,D1E⊥CD,AB=2BC=2.
BC⊥D1E;
(2)求证:
B1C∥平面BED1;
(3)若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为,求线段D1E的长度.
3.(2014宁夏银川一中四模,19)在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足===(如图1),将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角(如图2).
A1E⊥平面BEP;
(2)求直线A1E与平面A1BP所成角大小;
(3)求二面角B-A1P-F的余弦值.
4.(2014辽宁鞍山二模,18)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=,E为PD上一点,PE=2ED.
PA⊥平面ABCD;
(2)求二面角D-AC-E的余弦值;
(3)在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF∥平面AEC?
若存在,指出F点的位置,并证明;
若不存在,说明理由.
1.
解析
(1)证明:
以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),结合已知易得C(4,2,0),C1(4,2,2),E(3,2,2),F,
∴=(4,2,2),=,=(1,0,-2),
∴·
=(4,2,2)·
=0,
·
(1,0,-2)=0,
∴AC1⊥EF,AC1⊥EC.
又EF∩EC=E,且EF、EC⊂平面EFC,
∴AC1⊥平面EFC.
(2)连结AF,AC.设向量n=(x,y,z)是平面AFC的法向量,则n⊥,n⊥,而=(4,2,0),=,
∴4x+2y=0,x+y+2z=0,
令x=1,得n=.
又是平面EFC的法向量,
cos<
n,>
=
==-.
∴锐二面角A-FC-E的平面角的余弦值为.
2.
连结BD,交AC于点O,连结OP.
因为O为矩形ABCD对角线的交点,所以OB=OD,又因为P是DF的中点,所以OP为三角形BDF的中位线,所以BF∥OP.
因为BF⊄平面ACP,OP⊂平面ACP,
所以BF∥平面ACP.(4分)
(2)因为∠BAF=90°
所以AF⊥AB,
因为平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AF⊥平面ABCD.
以A为坐标原点,AB,AD,AF所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系A-xyz,则B(1,0,0),C(1,2,0),F(0,0,1).(7分)
因为AB⊥平面ADP,所以平面ADP的一个法向量为n1=(1,0,0).
设P点坐标为(0,2-2t,t)(0<
t<
1),
则=(0,2-2t,t),又=(1,2,0),
设平面APC的一个法向量为n2=(x,y,z),则
所以平面APC的一个法向量为n2=,
所以|cos<
n1,n2>
|===,(10分)
解得t=或t=2(舍).
所以P,=,
||==.
故PF的长为.(12分)
3.
∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥PA,
∴PA⊥平面ABCD.
又∵AB⊥AD,故可建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
设BE=1,AP=λ,
则=(2,4,0),=(0,0,λ),=(2,-1,0),(2分)
=4-4+0=0,·
∴DE⊥AC,DE⊥AP,
∴ED⊥平面PAC.(4分)
∴平面PED⊥平面PAC.(6分)
(2)由
(1)知,平面PAC的一个法向量是=(2,-1,0),且=(2,1,-λ),
设直线PE与平面PAC所成的角为θ,
则sinθ=|cos<
>
|==,解得λ=±
∵λ>
0,
∴λ=2,即P(0,0,2).(8分)
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0),
∵=(2,2,0),=(0,-2,2),n⊥,n⊥,
∴
令x0=1,则n=(1,-1,-1),(10分)
∴cos<
==.(11分)
显然二面角A-PC-D的平面角是锐角,
∴二面角A-PC-D的平面角的余弦值为.(12分)
4.
∵BC为圆O的直径,
∴CD⊥BD.
∵AB⊥圆O所在的平面,∴AB⊥CD,
又∵AB∩BD=B,∴CD⊥平面ABD.
又∵BF⊂平面ABD,∴CD⊥BF.
又∵BF⊥AD且AD∩CD=D,
∴BF⊥平面ACD.
(2)如图,以O为原点建立空间直角坐标系.
则B(0,-1,0),E(0,0,1),D(1,0,0),A(0,-1,2).
∵BF⊥AD,∴DF===AD,得=,
∴F,=,=(0,1,1).
设平面BEF的法向量为n1=(x,y,z),则
即
解得不妨取平面BEF的一个法向量n1=(0,-1,1).
又由已知AB垂直于圆O所在的平面,
得是平面BCD的一个法向量,
设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为θ,n2==(0,0,2),则cosθ=|cos<
|==.
∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.
∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°
Q为AD的中点,∴BQ⊥AD.
又PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PQB,
∵AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且由
(1)知PQ⊥AD,∴PQ⊥平面ABCD.
以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图.
则Q(0,0,0),结合已知易得P(0,0,),B(0,,0),C(-2,,0).
假设存在满足题意的点M,可知M与点P,C不重合,设=λ(0<
λ<
1),则M(-2λ,λ,(1-λ)).
易知平面CBQ的一个法向量为n1=(0,0,1).
设平面MBQ的法向量为n2=(x,y,z),
由可取n2=,
∵二面角M-BQ-C的大小为60°
∴cos60°
=|cos<
|=,解得λ=(λ=-1舍去),∴=.
∴存在满足题意的点M,且点M为线段PC靠近P的三等分点.
因为底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形,所以BC⊥CD,BC⊥CC1,
又因为CD∩CC1=C,
所以BC⊥平面DCC1D1,
因为D1E⊂平面DCC1D1,所以BC⊥D1E.
(2)证明:
连结D1B1,DB,因为BB1∥DD1,BB1=DD1,所以四边形D1DBB1是平行四边形.
连结DB1交D1B于点F,连结EF,则F为DB1的中点.
在△B1CD中,因为DE=CE,DF=B1F,所以EF∥B1C.
又因为B1C⊄平面BED1,EF⊂平面BED1,
所以B1C∥平面BED1.
(3)由
(1)可知BC⊥D1E,
又因为D1E⊥CD,且BC∩CD=C,
所以D1E⊥平面ABCD.
设G为AB的中点,以E为原点,EG,EC,ED1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.则E(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),G(1,0,0).
设D1E=a,则D1(0,0,a),B1(1,2,a).
设平面BED1的一个法向量为n=(x,y,z),
因为=(1,1,0),=(0,0,a),
所以由得
令x=1,得n=(1,-1,0).
设平面BCC1B1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
因为=(1,0,0),=(1,1,a),
令z1=1,得m=(0,-a,1).
由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为,
得|cos<
m,n>
|===cos,
解得a=1.所以D1E=1.
解析 不妨设正三角形ABC的边长为3.
在题图1中,取BE的中点D,连结DF.
∵===,∴AF=AD=2,
又∠A=60°
∴△ADF为正三角形.
又∵AE=ED=1,∴EF⊥AD,
∴在题图2中有A1E⊥EF,BE⊥EF.
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角.
∵二面角A1-EF-B为直二面角,∴A1E⊥BE.
又∵BE∩EF=E,∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP.
(2)由
(1)可知,A1E⊥平面BEP,BE⊥EF,故可建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,0),A1(0,0,1),B(2,0,0),F(0,,0),P(1,,0),
∴=(2,0,-1),=(-1,,0),=(0,0,1),
设平面A1BP的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
令x1=3,则n1=(3,,6).
n1,>
==,
易知直线A1E与平面A1BP所成角的大小为.
(3)=(0,,-1),=(-1,0,0),设平面A1FP的法向量为n2=(x2,y2,z2).
则n2⊥,n2⊥,
令y2=1,得n2=(0,1,).
又易知二面角B-A1P-F为钝二面角,
所以二面角B-A1P-F的余弦值是-.
∵PA=AD=1,PD=,
∴PA2+AD2=PD2,即PA⊥AD.(2分)
又PA⊥CD,AD∩CD=D,
∴PA⊥平面ABCD.(4分)
(2)过E作EG∥PA交AD于G,从而EG⊥平面ABCD,
且AG=2GD,EG=PA=.(5分)
连结BD交AC于O,过G作GH∥OD,交AC于H,
∴GH=OD=,
连结EH.∵GH⊥AC,EH在平面ABCD上的射影为GH,
∴EH⊥AC,
∴∠EHG为二面角D-AC-E的平面角.(6分)
又tan∠EHG==,
∴二面角D-AC-E的余弦值为.(7分)
(3)存在.以A为原点,AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),E,=(1,1,0),=.
设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),
则即
令y=1,则n=(-1,1,-2).(10分)
假设侧棱PC上存在一点F,且=λ(0≤λ≤1),使得BF∥平面AEC,则·
n=0.
又∵=+=(0,1,0)+(-λ,-λ,λ)=(-λ,1-λ,λ),
n=λ+1-λ-2λ=0,∴λ=,
∴存在点F,使得BF∥平面AEC,且F为PC的中点.(12分)