第三章一元一次方程全章教案docWord格式文档下载.docx
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00
青山
13:
秀水
15:
x千米
150千米
70千米|
王家庄青山翠湖秀水
1、汽车从王家庄行驶到青山用了多少时间?
从青山到秀水用了多少时间?
从王家庄行驶到青山用了3小时,从青山到秀水用了2小时。
2、请你用算术方法解决这个问题。
(50+70)/2X3+50=180+50=130
3、如果设王家庄到翠湖的路程为x千米,那么王家庄距青山多少千米?
王家庄距秀水多少千米?
王家庄距青山(x-50)千米,王家庄距秀水(x+70)千米。
4、由于汽车是匀速行驶,可知各段路程的车速相等。
你能据此列出方程吗?
(50-x)/3=(x+70)/5
你还能列出其它方程吗?
试试看。
(x-50)/3=(50+70)/3或(x+70)/5=(50+70)/3等等。
以后我们将学习如何从方程中解出未知数x,可以知道,这几个方程的解是相同的。
随着学习的深入,你会逐步认识到:
从算式到方程是数学的进步。
从上面的讨论可以知道,列方程时,要先设字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,写出含未知数的等式一一方程。
上面列方程的过程可以表示如下:
实际问题
设未知数,列方程
►
一兀一次方程
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法。
5、介绍我国和笛卡尔怎样表示未知数。
我国古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知数;
现在通常用“x、y、z”等字母表示未知数,是法国数学家笛卡尔的发明。
三、一元一次方程的概念
例1根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少?
(2)一台计算机已使用1700小时,预计每月再使用150小时,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时?
(3)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生?
解:
(1)设正方形的边长为x厘米,可列怎样的方程?
4x=24①
(2)设x月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间。
可列怎样的方程?
1700+150x=2450②
(3)设这个学校的学生人数为x人,那么女生人数是多少?
男生人数是多少?
女生人数为0.52x人,男生人数为(1-0.52)x人。
这样可列怎样的方程?
0.52x-(1-0.52)x=80③观察方程①②③,它们有什么共同的特点?
只含有一个未知数;
未知数的次数是1。
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程。
思考:
下列式子中,哪些是一元一次方程?
12x+3;
②2X6=12;
③1/2x-3=2;
④1/x+3x=5;
⑤y=0.
答:
③⑤
四、方程的解列方程是解决实际问题的一种方法,利用方程可以解出未知数。
想一想:
(1)x等于多少时,方程①的左右两边相等?
x=6。
(2)x=5能使②的左右两边相等吗?
你是怎么知道的?
能。
当x=5时,左边=1700+150X5=2450=右边。
能使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
思考:
x=2是方程3x-1=2x+1的解吗?
为什么?
是。
因为当x=2时,左边=3X2-1=5;
右边=2X2+仁,所以x=2是方程3x-1=2x+1的解。
五、课堂练习
课本82面1、2、3题。
六、课堂小结
1、怎样列方程?
怎样解决实际问题?
列方程时,要先设字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,写出含未知数的等式——方程。
解决实际问题就是把实际问题抽象成数学问题,通过解决数学问题来解决实际问题.
2、什么叫一元一次方程?
3、什么是方程的解?
你怎样知道某个未知数的值是方程的解?
作业:
课本84面1、2;
85面5、6、10
(2)题。
3.1.2等式的性质
〔教学目标〕1、了解等式的概念;
2、利用天平,通过观察、分析得出等式的性质;
3、会利用等式的性质解方程。
〔重点难点〕等式的性质和运用是重点;
利用天平抽象出等式的性质是难点。
〔教学过程〕
一、问题导入通过上节课的学习,我们能够知道未知数的某个值是方程的解,但怎样才能知道方程的解是什么呢?
这就要讨论怎样解方程。
方程是含有未知数的等式,所以我们先来看看等式有什么性质。
二、等式及其性质
1、等式
用等号表示相等关系的式子叫等式。
如:
m+n=n+m,x+2x=3,3X3+1=5X2,3x+1=5y,等等。
注意:
等式中一定含有等号。
我们可以用a=b来表示一般的等式。
2、等式的性质
[投影1]观察天平的变化,你能发现了什么?
在平衡天平的两边都加上(或减去)同样的量,天平还保持平衡。
如果把天平看成等式,球和正方体看成数或式,那么你能得到什么结论?
等式性质1等式两边加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍相等。
用字母表示为:
如果a=b,那么a±
c=b±
c
[投影2]观察天平的变化,你能发现了什么?
把平衡天平的两边都扩大(或缩小)相同的倍数,天平仍保持平衡。
同样地,如果把天平看成等式,球和正方体看成数,那么你能得到什么结论?
等式性质2等式两边乘以同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
如果a=b,那么ac=bc;
如果a=b,那么a/c=b/c(c工0)。
注意:
①等式两边除以一个数时,这个数必须不为0;
②对等式变形必须同时进行,且是同一个数或式。
[投影3]回答下列问题:
(1)从a+b=b+c,能否能到a=c,为什么?
(2)从a-b=b-c,能否能到a=c,为什么?
(1)从ab=bc,能否能到a=c,为什么?
(1)从a/b=c/b,能否能到a=c,为什么?
(1)从xy=1,能否能到x=1/y,为什么?
三、例题
[投影4]例1利用等式的性质解下列方程:
(1)x+7=26;
(2)-5x=20;
(3)-1/3x-5=4.f/
分析:
解方程的结果就是将方程转化为x=a的形式,为此,解方程就要将未知项移到一边,常数项移到另一边。
(1)将常数项移到右边,得
x=26-7
化为x=a的形式,得x=19。
(2)化为x=a的形式,得x=20/—5于是x=—4。
(3)将常数项移到右边,得
-1/3x=4+5即-1/3x=9
化为x=a的形式,得
x=9X(—3)于是x=—27。
四、课堂练习
课本84面练习
(1)〜(4)。
五、课堂小结
1、等式和等式的性质。
2、运用等式的性质解方程。
作业:
课本85面3、4、7、8。
课外阅读86面《“方程”5话》
3.2.1解一元一次方程——合并同类项
[教学目标]1、会利用合并同类项解一元一次方程;
2、通过对实例的分析,体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。
[重点难点]利用合并同类项解一元一次方程是重点;
列一元一次方程解决实际问题是难点。
一、问题导入
约公元825年,中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书,重点论述怎样解方程。
这本书的拉丁文译本取名为《时消与还原》。
“对消”与“还原”是什么意思?
我们先讨论下面的问题,然后再回答这个问题。
二、探索合并同类项解一元一次方程
问题某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的两倍,今年购买数量又是去年的2倍。
前年这个学校购买了多少台计算机?
设前年购买计算机x台。
那么去年购买计算机多少台?
今年购买计算机多少台?
去年购买计算机2x台,今年购买计算机4x台。
问题中的相等关系是什么?
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台
依题意,可得方程
x+2x+4x=140
这个方程怎么解呢?
我们知道,解方程的最终结果是要化为x=a的形式,为此可以作怎样的变形?
把左边合并同类项。
可得
7x=140
系数化为1,得x=20
所以前年这个学校购买了20台计算机。
本题蕴含着一个基本的等量关系,即总量=各部分量的和。
上面解方程中“合并同类项”起了什么作用?
它把含未知数的项合并为一项,从而向x=a的形式迈进了一步,起到了化简的作用。
三、例题
例1解方程7x—2.5x+3x—1.5x=—15X4-6X3
合并同类项,得
6x=—78
系数化1,得x=—13注意:
如果方程中有同类项,一定要合并同类项。
四、课堂练习
课本89面
(1)〜(4);
补充题:
足球表面是由若干黑色五边形和白色六边形皮块围成的,黑白皮块的数目比为3:
5,一个足球的表
面一共有32个皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少?
1、合并同类项解一元一次方程。
通过合并同类项把方程化为ax=b(a工0,a、b是常数)的形式。
从而简化方程。
2、列一元一次方程解实际问题。
(1)找等量关系是关键,也是难点;
(2)注意抓住基本等量关系:
总量=各部分量的和。
93面1;
3
(1)、
(2);
4;
5。
第三章第一阶段复习3.1—32
(1)
一、双基回顾
1、方程、方程的解和解方程
含有的叫做方程;
使方程相等的的值叫做方程的解。
的过程叫做解方程。
〔1〕x=—3是不是方程2x=5x+9的解,你是怎么知道的.
2、一元一次方程
只含有未知数,并且未知项的次数的方程叫做一元一次方程。
〔2丨指出下列各式中哪些是一元一次方程?
并说明理由。
(1)2x-y=3;
(2)x=0;
(3)x2-2x+仁0;
(4)x+3=2x-1.
3、等式的性质
性质1等式两边同一个数(或),结果仍相等。
若a=b,贝H.
性质2等式两边同一个数,或的数,结果仍相等。
若a=b,贝H;
〔3用适当的数字或式子填空,使所得的结果仍是等式,并说明理由。
(1)如果3x+8=6,那么3x=6[⑶如果2x-3=5,那么2x=[];
4、合并同类项解一元一次方程
];
(2)如果-5x=25,那么x=[];
(4)如果x/4=-7,那么x=[]
如果方程中有同类项,可以先合
〔4丨解方程:
-3x+2x=5-1
二、例题导引
例1下列说法中正确的是〔
①若x=y,贝Hx/m2=y/m2;
③若x/m=y/m,贝Ux=y;
已知方程(m-2)x
并同类项变成ax=b(a工0)的形式,再求解。
例2
例3
例4
了20本,
I-1
〕
②若x=y,贝卩mx=my;
④若x2=y2,贝Hx3=y3
+3=m-5是关于x的一元一次方程,求m的值。
已知x=1/2是关于x的方程4+x=3-2ax的解,求a2+a+1的值。
小明去商店买练习本,回来后和同学说,店主告诉我,如果多买一些就给我8折优惠,我就买结果便宜了1.6元,你猜原来每本价格是多少?
(请你列出方程,并用等式的性质求解。
)
三、练习提高
夯实基础
①2x+1;
②x=0;
③2x+3>
0:
④x—2y=3;
⑤1/x-3x=5;
⑥x2+x-3=0.
A、3个B、4个C、5个D、6个
2、下列方程中,解为1/2的是〔
A、5(t—1)+2=t—2
C、3y—2=4(y—1)
3、下列变形不正确的是〔〕
A、若2x—1=3,贝U2x=4
C、若x+3=2,贝Ux=—1
B、1/2x—仁0
D、3(z—1)=z—2
4、已x=y,下列变形中不一定正确的是〔
A、x—2=y—2
C、ax=ay
5、下列各式的合并不正确的是
A、一x—x=—2x
B、若3x=—6,贝Ux=2
D、若一1/2x=3,贝Ux=—6〕
B、一2x=—2y
D、x/c2=y/c2
B、-3x+2x=—x
C、1/10x—0.1x=0
6、若x2a—1+2=0是一元一次方程,
7、某班学生为希望工程捐款131
意列方程为.
8、将等式3a—2b=2a—2b变形,
因为3a—2b=2a—2b,所以3a=2a所以3=2
是述过程中,第一步的依据是是.
9、解下列方程:
(1)6x—5x=—5
(3)2/3y—y=—3+1
10、某校三年共购买计算机140
前年这个学校购买了多少台计算机?
设前年购买了计算机x台,可以表示出:
去年购买计算机台,今年购买计算机
中的相等关系:
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台,列得方程
解这个方程。
11、从30cm长的木条上零截出两段长度相等的木条后,还剩6cm长的木条,求截去的每一段木长是多少?
D、0.1x—0.9x=0.8x
贝ya=.
元,比每人平均2元还多35元。
设这个班的学生有x人,根据题
过程如下:
台,
第二步得出错误结论,其原因
(2)-1/2x+3/2x=4
(4)2x—7x=19+31
去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的2
台。
根据
倍,
问题
条的
能力提升次方程,使x=1是它的解:
3,
12、写出一个一元
13、若关于x的方程2(x—1)—a=0的解是
B、一4
14、下列等式的变形错误的是〔
A、若ac2=bc2,贝Ua=b
C、若a2=b2,贝,aI=Ib
则a的值是〔
—5
C、5
B、若a/c=b/c,
D、若a=b则a
则a=b
2=b2
I
15、代数式8x—7与6—2x的值互为相反数,那么x的值是.
16、一桶油重8千克,油用去一半后边桶重4.5千克,设桶中原有油千克,则下列方程错误的是〔〕
A、8—x=4.5—0.5xB、x—0.5x=8—4.5
C、0.5x+8—4.5=xD、x—8=0.5x+4.5
17、关于x的方程kx=4的解为不等于零的自然数,则x所能取的整数值是—.
18、已知x=—1/2是方程2x2+3x+2m=—2的解,求m2+1/m2的值。
19、甲、乙两个车工,共同加工180个零件,乙完成的个数比甲完成的个数的4/5多9个,问甲加
工了几个零件?
探索创新
20、有一些分别标有6,12,18,,24…的卡片,后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6,小勇拿了相邻的3张卡片,且这些卡片的数字之和为342.
(1)猜猜小勇拿到了哪3张卡片?
(2)小勇能否拿到相邻的3张卡片,使它们的数字之和等于86?
如果能拿到,请求出这三张卡片上的数各是多少?
如果不能拿到,请说明理由。
3.2.2解一元一次方程一一移项
(2)
[教学目标]1、理解移项的概念;
2、会用移项法解一元一次方程;
3、经历用方程解决实际问题的过程。
[重点难点]用移项法解方程是重点;
移项是难点。
[教学目标]
一、问题导入
上节课学习的一元一次方程都有这样的特点:
一边是含有未知数的项,一边是常数项。
这样的方程我们可以用合并同类项来解,那么像3x+7=32-2x这样的方程怎么解呢?
二、移项的概念
我们来看下面的问题。
[投影1]问题:
把一些图书分给某班学生阅读,如果每人3本,则剩余20本;
如果每人4本,贝U还缺25本,这个班有多少学生?
设这个班有x人,那么这批书有多少本?
还可以怎么表示?
这批书共有(3x+20)本,还可表示为(4X-25)本。
因为3x+20与4x-25都表示这批书,所以
3x+20=4x-25
由上节课的学习,你能猜想怎么解这个方程吗?
把未知项移一到边,把常数项移到一边。
怎样才能做到这一点呢?
由等式的性质,把等式两边同时减去4x,加上20。
即
jIr————f
—4x—20;
-4x—20
\III
■■■■■n■■
3x+20=4x-25①
3x—4x=—20—25②
比较①、②,方程中的项4x与20发生了怎样的变化?
4x从右边移到了左边,并且改变了符号,20从左边移到了右边,并且改变了符号。
像这样,把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。
把②合并同类项,得
—x=—45
/•x=45
所以这个班有45名学生。
表示同一个量的两个不同的式子相等,这是一个基本的等量关系。
上面解方程中“移项”有什么作用?
通过移项,使含未知数的项在等号的一边,常数项在另一边,从而把方程转化为我们熟悉的类型,这就是化归思想的运用。
解方程经常要合并与移项。
前面提到的古老代数书中的’对消”和还原;
指的就是“合并”与“移项。
三、例题
现在我们来解前面提到的方程。
[投影2]例13x+7=32-2x解:
移项,得
3x+2x=32-7合并同类项,得
5x=25
/•x=5
移项要变号。
[投影3]1、下面的移项对不对?
如果不对,错在哪里?
应当怎样改正?
(1)从3x+6=0得到3x=6;
(2从)2x=x—1得到2x=1—x
(3)从2+x-3=2x+1得到2-3-1=2x-x。
2、课本91面
(1)〜
(2);
[投影4]3、甲粮仓存粮1000吨,乙粮仓存粮798吨,现从甲粮仓运一部分到乙粮仓使甲乙两个粮仓的粮食数量相等,那么应从甲粮仓运出多少吨粮食?
五、课堂小结
1、什么叫做移项?
移项的依据是什么?
2、移项法解一元一次方程要注意什么?
移项要注意变号。
3、我们知道了哪些基本的等量关系?
总量=部分量的和;
表示同一个量的两个不同的式子相等.
课本2;
3(3)、(4);
8;
9。
3.2.3一元一次方程的应用
(一)
[教学目标]1、掌握用一元一次方程解决实际问题的基本思想;
2、进一步经历用方程解决实际问题的过程,体会运用方程解决实际问题的一般方法。
[重点难点]运用一元一次方程解决简单的实际问题是重点;
寻找等量关系是难点。
[教学过程]
一、目标导入
前面我们通过简单的实际问题研究了一元一次方程的解法,今天我们就来运用一元一次方程解决简单的实际问题。
二、例题
[投影1]例1有一列数,按一定规律排列成1,—3,9,—27,81,—243,…,其中某三个相邻数的和是—1701,这三个数各是多少?
从符号与绝对值两方面观察,这列数有什么规律?
符号正负相间;
后者的绝对值是前者绝对值的3倍。
即后一个数是前一个数的-3倍。
如果设其中一个数为x,那么后面与它相邻的两个数你能用x表示出来吗?
后面两数分别是-3x,9x。
程。
问题中的相等关系是什么?
三个相邻数的和=-1701。
由此可得方程x-3x+9x=-1701
解之,得x=-243。
所以这三个数是-243,729,-218。
本题中有三个未知量,由它们之间的关系,我们可以用一个字母来表示,从而列出这一点要注意学习。
[投影2]例2根据下面的两种移动电话计费方式表,考虑下列问题。
方式一
方式二
月租费
30元/月
0元
本地的通话费
0.30元/分
0.4元/分