《数值分析》所有参考答案Word格式.docx
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X7=0.00096
X7
-0.9610°
-0.9610’
=0
X7精确
（8）
二-8700
x8二-8
70.3
X8
-X8
1
=0.310
X8具有4位有效数字，X8二-8700
精确
2•以下各数均为有效数字:
（1）0.1062+0.947;
（2）23.46—12.753;
（4）
（3）2.7476.83;
1.473/0.064。
问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么?
解：
（1）Xi=0.1062，X2=0.947，Xi+X2=1.0532
e（xd|兰丄。
。
—4，e（x2）
-10_3
10一3
e（xiX2）
e（）+e（x2）兰e（）+e（x2）兰一汉10
=0.00055
x；
[1.0532-0.00055,1.0532+0.00055]=[1.05265,1.05375]
-x2=10.707
e（x1）|」"
0」
e（x2）乞一汉10
（2）X1=23.46,X2二-12.753
e（x〔）_e（x2）兰e（xj+e（x2）
110-2
110_3=0.0055
x1-x2[10.707-
0.0055
10.707+0.0055]=[10.7015,10.7125]
（3）x1=2.747x2
=6.83
x〔x2二18.76201,
1-3
兰—汉10,
e（X2）
eg）
10一2
e（X[X2）：
-6.83110_32.747110_2
22
=110_2（0.683+2.747）=0.01715
**
x1x2
[18.76201-0.01715,18.76201
0.01715]=[18.74486,18.77916]
（4）X1二1.473,
X2二0.064,
xiX2=23.015625
eg））10_3
e（x2）
10
1x1
e（）——e（xj-—2e（x2）
X2X2
x1
e（p
J
——
e（x1）
+―-
f
x2
X2
汇丄X10一3+1.473汉丄汉10一3
0.06420.06422
=0.187622
X1
[23.015625-0.187622
23.015625+0.187622]
=[22.828003,23.203247]
3对一元2次方程X2-40xT=0,
如果39919.975具有5位有效数字,求其具有5位有效数字的根。
X2e（Xi）+xie（X2）兰X2e（xi）+xie（X2）
解:
x-40x1=0
x-40x400399
二20399,x；
=20-.、399
20+J399
=399,x=19.975
e（x）
=20x=20+19.975=39.975
eg）=e（X2）
110_3
x1具有5位有效数字。
x2:
20x2019.975
=.025*******
39.975
eg…亠J，
（20+x）
e%）
1..3
.兰
（20x）39.975
二0.31310亠：
110_6
因而X2具有5位有效数字。
x20.025016
也可根据
X1X2=1得到x?
eg）：
-*1）
110-6
x139.975
e（X1）
as
4.若f（x）解:
0.937具有3位有效数字，问论的相对误差限是多？
设1-X，求f（%）的绝对误差限和相对误差限。
X1=0.937
e（xj
er（xi）
13
0.937
=0.53410一
f（x）二
.1—x
f（x）二
e（f厂
f（x）e（x）
十xe（x），
e（f（X1））
e（xj<
-10-3=0.99610_3
.1-0.9372
2r;
er（f（X1））
21-x1
--10_3
1-0.9372
=0.00397=3.9710°
5.取.2.011.42，、2.001.41试按A二2.01-2.00和
A=0.012.01•2.00）两种算法求A的值，并分别求出两种算法所得
A的近似值的绝对误差限和相对误差限,
问两种结果各至少具有几位有效
数字?
1）记
x^1.42，
=2.00，X2二1.41
则
-x10
-2
1_2
-X10
A=
72.01-
J2.00
"
.42-
1.41=0.01
A1
=1.42
-1.41=
0.01
e（Ad
=e（x
1_x2）応
e（旨）-
-e（X2
）
二.2.01，
e（AJ
e（xj-e%）
1_21_2_2
e（x2）=_迖10+_逍10_2=10_2
Ai
不能肯定所得结果具有一位有效数字。
2）A*=0.01（2.01..2.00），
A2=0.01..（1.421.41）=0.01.2.83=0.00353356
e（A2）=e（°
.01
（X1X2）^-0.01^^^^e（X1X2）
e（A2）<
0.012（10
（1.42+1.41）2
_2
110_2）
=0.1248610~4■■■：
丄10一4
具有2位有效数字。
er（A2）-
e（A2）
0.1248610_4
0.00353356
=0.353354710一
3）A*-A〔=A2_厲A*_A2
A—A〔旨A?
_A〔_A_A?
=0.00353356-0.01
-10-4=0.006-10_2
Ai无有效位数。
6•计算球的体积所产生的相对误差为1%。
若根据所得体积的值推算球的
半径，问相对误差为多少?
V
~~R3,dV=4二R2dR
dV
4二RdR
4二R3
dR
=3一
R
由er（V）=10知er（R）兰丄如0一2
7有一圆柱，高为25.00cm,半径为20.00_0.05cm。
试求按所给数据计算这个圆柱的体积和圆柱的侧面积所产生的相对误差限。
1）V（R）-”：
R2h
RR
er（V）:
V（R）er（R）=2二hR—er（R）=2er（R）
VnR2h
er（V）止2er（R）兰2汉
0.05
20
200
=0.005
（1）
'
1-cosx
i1十cosx丿
5
⑵“
jx+1-vx,
⑶-
11-
x
12x1x
1-cosx⑷
sinx
2）S（R）=2二Rher（S）：
S（R）Rer（R）=2二hRer（R）=er（R）
S2nRh
er（S）%|er（R）兰0.0025
答计算体积的相对误差限为0.005,计算侧面积的相对误差限为0.00259.试改变下列表达式，使计算结果比较精确:
当x«
1时;
当X冷1时;
当x«
当X«
1时。
J+cosx
2x
2sin—
c2x
2cos—
2丿
=tg—
1-x（1x）-（1一x）（12x）（1x）-（1x-2x2）
（1
2x）（1x）
（12x）（1x）
2x2
2sin2
=tg
（12x）（1-x）
xx
2sincos
10•若1个计算机的字长n=3，基数，10，阶码-2乞p乞2，问这台计算机能精确表示几个实数。
n=3,—0,L=-2,U=2
所能精确表示的实数个数为
12「-1）"
-1（U_L1）=129102（221）=9001
11给定规格化的浮点数系=2，n=3,L=-1,U=1,求F中规格化的浮点数的个数，并把所有的浮点数在数轴上表示出来。
1=2,n=4,L一1,U=1
所有规格化浮点数个数为
12（1-1厂：
ni（u-L1）=12123（111^49
机器零0
1111
p=1±
0.1000汉2,±
0.1001汉2,±
0.1_0102,土0.1011汉2
_0.1100
21,
士0.11012,
11
-0.11102,士0.11112
p=0-0.1000
20,
-0.100120,
-0.10102°
-0.101120
-0.110120,
-0.111020,-0.111120
p=-1士0.1000
2_1
-0.10012_1
±
0.1010x2二,+0.1011x2」
-0.1100
2一1
-0.11012_1,-0.11102_1,-0.11112_1
12.设有1计算机:
10，试求下列各数的机器
近似值（计算机舍入装置）
（1）41.92;
（2）328.7
⑶0.0483
⑷0.918;
（5）0.007845;
（6）98740;
（7）1.8210
3.
（8）4.7110』;
21
（9）6.644510
（10）3.879
-J0
10;
（11）3.19610'
100
0;
（12）13.65410
n=3,L=-2,
U=2,=10
41.92
（11）3.19610_100
（2）
328.7
（12）13.6541099
（3）
0.0483
fl（41.92）=0.41910
0.918
fl（328.7）溢出
0.007845
fl（0.0483）=0.48310_1
98740
fl（0.918）=0.918100
（7）
1.82103
fl（0.007845）=0.78510
4.7110"
fl（98740）溢出
（9）
6.644510
fl（1.82103）溢出
（10）
3.87910_10
fl（4.7110"
）溢出
fl（6.64451021）溢出
fl（3.87910_10）溢出
fl（3.19610_100）溢出
fl（13.6541099）溢出
11116.考虑数列1，-，，—3927
81
设P。
=1，则用递推公式
PnPn_1
（n=2,3,）
可以生成上述序列。
试考察计算Pn的算法的稳定性。
Pn=3Pn"
n「23,…
若P0有误差，则实际按如下递推
PnPn-1
Pn
-Pn
Pn_1
_3Pn-1
记
en=
=Pn
_Pn
则有
en
=en
—=
…—
ne0
3n
-n
e°
（pn_1-pn_1）
n「1Ln_1
en-A
误差逐步缩小,数值稳定17.考虑数列1，2781。
设P0
P1
1二-，则用递推公310
一Pn-2
（n=2,3,
试问计算的上述公式是稳定的吗?
PnT2f2,3「。
若P0和P1有误差，则实际按如下
递推:
3Pn「Pn_2,
n二2,3,
en二Pn-Pn，则有
二2,3,
命二宀心」1「I
-3（en「1
1_2）=3n「（e1一1e。
33
（A）
en_3en_1=_en_1_en_2
（en「1
-轴小尹（e1-3e°
（B）
9（A）-（B）得
3n仏丄。
8IL3
R（e1
-3e0）
只需-—e°
=0,则lim
3n,
e^:
:
因而递推过程不稳定
18.已知P（x）二125x
32
230x-11x3x-47
用秦九韶法求P（5）。
125
230
-11
-47
625
312516775
83820419115
3355
1676483823419068
p（5）=419068
19.已知f（X）=3x•（x-4）2-6（x-4）3•4（x-4）5，用秦九韶法求f（3.9）及f（4.2）。
f（x）=4（x-4）5—6（x-4）3-（x-4）2-（x-4）-7
令z=x_4,
则Xo二
3.9时，
Z0二X0-4二
-0.1，由
4
_6
7
-0.1
-0.4
0.04
0.596
-0.1596
-0.08404
-5.96
1.596
0.8404
6.91596
得f（3.9）=6.
91596；
Xo=4.2时，
Zo=Xo
_4=0.2
，由
-6
0.2
0.8
0.16
-1.168
-0.0336
0.19328
-5.84
-0.168
0.9664
7.19328
得f（4.2）=7.19328。
习题2
1.分析下列方程各存在几个根，并找出每个根的含根区间：
（1）xcosx=0；
（2）3x-cosx=0；
（3）sinx_eJ二0；
（4）x2-e」=0。
（1）xcosx=0（A）
f（x）=xcosx，f（x）=1-sinx_0,x
f（0）=0cos0=1,f（—1）--1cos（一1）--1cos1：
0
方程（A）有唯一根x：
[-1,0]
（2）3x-cosx=0（B）
f（x）=3x-cos<
f（x）=3sinx0,x（—"
■,：
）时
f（0）=30—co0=—1：
0，f
（1）=31-cos1=3—cos10
方程（B）有唯一根x：
[0,1]
（3）sinx-e—x=0（C）
・■x
sinx二e
f1（x）=sinx,f2（x）二e_x
方程（C）有无穷个正根，无负根
在[2k兀，2k兀+—]内有一根x1（k），且lim[x®
-2k兀]=0
2kT旳
在[2k,2^-]内有一根x2k），且lim[x；
-（2kT）二"
（示图如下）
2kT°
o
k=0,1,2,3
⑷X2
（D）
fi（x）二x2
f2（x）二e"
方程（D）有唯一根x[0,1]
当X:
0时（D）与方程
（E）
同解当X<
0时（E）无根
2.给定方程x-x-1=0；
（1）试用二分法求其正根，使误差不超过0.05；
（2）若在[0,2]上用二分法求根，要使精确度达到6位有效数，需二分几次?
1）f（x）二X-X-1
x2-x-1=0
-0f
（1）=T,f（1.5）=-0.25:
0,f
（2）=1
**15
x[1.5,2],x1.618034
1.5（-）
1.75（+）
2（+）
1.625（+）
1.5625（+）
1.5625（-）
1.5937（5）
⑴625-1.5625）.0.03125：
!
1
_1
X*：
1.59375:
-1.6
2位有效近似值为1.6
2）a=a°
=O,b=b°
=2
ck（akbk）
x-ck
2k「
-105
k-1_5ln10.1n2二16.60
■只要2等分18次3.为求x3-5x-3=0的正根，试构造3种简单迭代格式，判断它们是否收敛，且选择一种较快的迭代格式求出具有3位有效数的近似根。
f（x）=x3「5x「3=x（x2「5）「3
当x
一一3v0
f（x）0
=1。
J?
_3>
0，f（0）=—3c0
f
（2）=2（4-5）-3=-5,f（3）=3（9-5）3=9
由草图可知唯一正根X：
（2,3）
（1）5x=x3-3,
x=1（x3一3），
■i（x）
1（x3一3）,
构造迭代格式
xk1
+（x：
-3）
（I）
「3x2
当x[2,3],l（x）一—2
12
-迭代格式⑴发散
x=35x3,构造迭代格式
2（x）=35x3
当[2,3]时
>
1/
当x•[2,3]时
Xk订二35Xk3,
2（x）=l（5x3）
523）23
3169
（II）
3（5x3）2
3125
2（x）[：
2
（2）,2（3）]=[3523,3533]=[313,318][2,3]
迭代格式（II）对任意X。
[2,3]均收敛
3）
x=L+-
\x
25x33
x5—,
（III）
3（x）
4）
30.301453
J169
max申3（x）
2冬仝
2[32
min{25,3
\2
-0.0680
2min{4、6.5,9、6}
13-22
3（x）二―（—5）2（-3）x~
2x
13
—*
—
.<
：
.1
X252
22、5
8、5
x,
—亠5
X
当x[2,3]时-3（x）[3（3）,3
（2）]=[.6,-,6.5][2,3]
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