竞赛数学课程数论专题文稿.docx

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竞赛数学课程数论专题文稿

数论

数论素有“数学皇后”的美称。

由于其形式简单，意义明确，所用知识不多而又富于技巧性，千姿百态，灵活多样。

有人曾说：

“用以发现数学天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

”因此在理念的国内外数学竞赛中，几乎都离不开数论问题，使之成为竞赛数学的一大重要内容。

1.基本内容

竞赛数学中的数论问题主要有：

（1）整除性问题；

（2）数性的判断（如奇偶性、互质性、质数、合数、完全平方数等）；

（3）余数问题；

（4）整数的分解与分拆；

（5）不定方程问题；

（6）与高斯函数有关的问题。

有关的基本知识：

关于奇数和偶数有如下性质：

奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数.

两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的奇偶性相反（同）.

若干个整数之和为奇数，则这些数中必有奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇数的个数必为偶数个.

奇数奇数=奇数；奇数偶数=偶数；偶数偶数=偶数.

若干个整数之积为奇数，则这些数必为奇数；若干个整数之积为偶数，则这些数中至少有一个偶数.

若是整数，则与有相同的奇偶性；若、是整数，则与奇偶性相同。

关于整数的整除性：

设是整数，则；若，则；若，则对任意整数，有.

若在等式中，除某一项外，其余各项都能被整除，则这一项也能被整除.

若，且，则.若，且，则.

设是素数，若，则或.

关于同余：

若，则.

分别被除，余数相同.

同余具有反身性:

、对称性:

若，则、传递性：

若，则.

2.方法评析

数论问题综合性强，以极少的知识就可生出无穷的变化。

因此数论问题的方法多样，技巧性高，富于创造性和灵活性。

在竞赛数学中，解决数论问题的常用方法有因式分解法、估值法、调整法、构造法、反证法、奇偶分析法等等。

2.1因式（数）分解

例1证明无穷数列10001，100010001，……中没有素数。

证明：

设，则

当为偶数，设，

所以为合数。

当为奇数，设，

所以为合数。

评析：

对分奇偶，分情况讨论，问题变得清晰易证。

同时注意，

若为奇数时，可分解因式。

例2证明对任意整数，不是素数。

证明：

当为偶数时，为偶数，所以为合数；

当为奇数，设，则

所以为合数。

评析：

对适时地进行奇偶性讨论，不失为一种证明思路。

同时

应注意，可作因式分解。

例3设正整数满足。

证明：

不是素数。

证明：

由于，则设，其中，则

故

所以为合数。

评析：

此题中采用方法可扩展如下：

若，不妨设,则

，且

由于，所以，即

所以，故。

同理可证，所以

同理可得

例4证明：

若正整数满足，则和都是完全平方数。

证明：

因，即

故只需证和互质。

设,即证

则

由于，所以，又，则。

所以，故得证。

故和互质，所以和都是完全平方数。

评析：

有时，适当的因式分解可以使问题简化，以证得结论。

例5一个正整数，加上100为一个完全平方数，若加上168则为另一个完全平方数，求这个数。

解：

设这个数为，则

其中

（注：

限定正的可减少讨论）。

故，

从而与则等于把拆开的因数1、2、4、17、34、68.这样就有六种情形。

又由于，且与同奇偶性，故

所以。

则。

评析：

此题利用平方差公式，再考虑因数分解，便于讨论以确定某

些式子的值，最终求得解。

例6求方程的全部整数解。

解：

对原方程进行变形、因式分解

左边四个括号内奇偶性相同，而为偶数，故括号内每个都为偶数，则应出现，矛盾。

所以原方程无整数解。

评析：

将所有字母项放在一起，进行因式分解，再与另一侧数字项对比讨论，推出矛盾。

例7证明：

两连续正整数之积不能是完全平方数，也不能是完全立方数。

证明：

若有两连续正整数之积为完全平方数，设（），则，则与均为完全平方数。

故存在正整数使得，从而

这与矛盾。

所以两连续正整数不能是完全平方数。

若有两连续正整数之积为完全立方数，设（），则，则与均为完全立方数。

故存在正整数使得，从而

这与矛盾。

所以两连续正整数不能是完全平方数。

评析：

此题运用因式分解和反证法，分析论证推出矛盾。

2.2估值法

例8证明方程没有的整数解。

证明：

对原方程进行变形、因式分解

设，若，设为的素因数，则

又，故，从而，所以，这与为素因素矛盾。

与均为完全立方数。

设，则由得，

又，则

当时，则

这与矛盾。

故没有非零整数解。

当时，则

这与矛盾。

故没有非零整数解。

评析：

因式分解与互素性质相结合，分情况讨论，推出矛盾，题目得证。

例9在两个相邻的完全平方数与之间任取若干个不同的整数，证明它们中两两乘积互不相同。

证明：

只需证明若则

若，则设（见例3），则，即

，矛盾

故在两个相邻的完全平方数与之间任取若干个不同的整数，它们中两两乘积互不相同。

评析：

与例三的思想方法大同小异，因为它们都利用的结论。

例10求不定方程的全部正整数解。

解：

当时，无解；

当时，，有；

当是，为偶数，必为奇数。

当时，，

当时，

当时，，

故，则

而

所以，则，

故，与矛盾，则无解。

综上，不定方程的正整数解为（2，1）、（3，1）、（5，2）。

评析：

通过分析估计归纳，对分类讨论，一一得出结果。

资料

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考试知识点技巧大全

一、考试中途应饮葡萄糖水

大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。

科学研究证实,虽然大脑的重量只占人体重量的2%-3%,但大脑消耗的能量却占食物所产生的总能量的20%,它的能量来源靠葡萄糖氧化过程产生。

据医学文献记载,一个健康的青少年学生30分钟用脑,血糖浓度在120毫克/100毫升,大脑反应快,记忆力强；90分钟用脑，血糖浓度降至80毫克/100毫升，大脑功能尚正常；连续120分钟用脑，血糖浓度降至60毫克/100毫升，大脑反应迟钝，思维能力较差。

我们中考、高考每一科考试时间都在2小时或2小时以上且用脑强度大，这样可引起低血糖并造成大脑疲劳，从而影响大脑的正常发挥，对考试成绩产生重大影响。

因此建议考生，在用脑60分钟时，开始补饮25%浓度的葡萄糖水100毫升左右，为一个高效果的考试加油。

二、考场记忆“短路”怎么办呢？

对于考生来说，掌握有效的应试技巧比再做题突击更为有效。

1.草稿纸也要逐题顺序写草稿要整洁，草稿纸使用要便于检查。

不要在一大张纸上乱写乱画，东写一些，西写一些。

打草稿也要像解题一样，一题一题顺着序号往下写。

最好在草稿纸题号前注上符号，以确定检查侧重点。

为了便于做完试卷后的复查，草稿纸一般可以折成4-8块的小方格，标注题号以便核查，保留清晰的分析和计算过程。

2.答题要按先易后难顺序不要考虑考试难度与结果，可以先用5分钟熟悉试卷，合理安排考试进度，先易后难，先熟后生，排除干扰。

考试中很可能遇到一些没有见过或复习过的难题，不要蒙了。

一般中考试卷的题型难度分布基本上是从易到难排列的，或者交替排列。

3.遇到容易试题不能浮躁遇到容易题，审题要细致。

圈点关键字词，边审题边画草图，明确解题思路。

有些考生一旦遇到容易的题目，便觉得心应手、兴奋异常，往往情绪激动，甚至得意忘形。

要避免急于求成、粗枝大叶，防止受熟题答案与解题过程的定式思维影响，避免漏题，错题，丢掉不该丢的分。

4.答题不要犹豫不决选择题做出选择时要慎重，要关注题干中的否定用词，对比筛选四个选项的差异和联系，特别注意保留计算型选择题的解答过程。

当试题出现几种疑惑不决的答案时，考生一定要有主见，有自信心，即使不能确定答案，也不能长时间犹豫，浪费时间，最终也应把认为正确程度最高的答案写到试卷上，不要在答案处留白或开天窗。

5.试卷检查要细心有序应答要准确。

一般答题时，语言表达要尽量简明扼要，填涂答题纸绝不能错位。

答完试题，如果时间允许，一般都要进行试卷答题的复查。

复查要谨慎，可以利用逆向思维，反向推理论证，联系生活实际，评估结果的合理性，选择特殊取值，多次归纳总结。

另外，对不同题型可采用不同的检查方法。

选择题可采用例证法，举出一两例来能分别证明其他选项不对便可安心。

对填空题，则一要检查审题;二要检查思路是否完整;三要检查数据代入是否正确;四要检查计算过程;五要看答案是否合题意;六要检查步骤是否齐全，符号是否规范。

还要复查一些客观题的答案有无遗漏，答案错位填涂，并复核你心存疑虑的项目。

若没有充分的理由，一般不要改变你依据第一感觉做出的选择。

6、万一记忆短路可慢呼吸考试中，有些考生因为怯场，导致无法集中精神，甚至大脑忽然一片空白，发生记忆堵塞。

此时不要紧张，不妨尝试如下方式：

首先是稳定心态，保持镇静，并注意调节自己的呼吸率。

先慢吸气，当对自己说放松时缓慢呼气，再考虑你正在努力回忆的问题，如果你仍不能回想起来，就暂时搁下这道题，开始选做其他会的试题，过段时间再回过头来做这道题。

第二，积极联想。

你不妨回忆老师在讲课时的情景或自己的复习笔记，并努力回忆与发生记忆堵塞问题有关的论据和概念，把回忆起的内容迅速记下来，然后，看能否从中挑出一些有用的材料或线索。

第三，进行一分钟自我暗示。

即根据自己的实际，选择能激励自己，使自己能心情平静和增强信心的话，在心中默念3至5遍。

比如：

我已平静下来，我能够考好、我有信心，一定能考出理想的成绩等等。

第四，分析内容，查找相关要点。

借助试卷上其它试题，也许会给考生提供某些线索。

因此不要轻易放弃，查看试题中的相关要点，看看是否能给考生提供线索或启发。