同步汇编人教B版版高中数学必修一学案全集 汇编150页29份含答案.docx

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人教B版2018版高中数学必修一学案全集汇编

目录

1.1　集合与集合的表示方法

1.1.1　集合的概念

[学习目标]　1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系.2.掌握集合中元素的两个特性.3.记住常用数集的表示符号并会应用.

[知识链接]

1.在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合.

2.在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合.

3.解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数合在一起称为这个不等式的解集.

4.一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2.

[预习导引]

1.元素与集合的概念

（1）集合：

把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.

（2）元素：

构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.

（3）集合元素的特性：

确定性、互异性.

2.元素与集合的关系

关系

概念

记法

读法

属于

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A

a∈A

a属于集合A

不属于

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A

a∉A

a不属于集合A

3.集合的分类

（1）空集：

不含任何元素的集合，记作∅.

（2）非空集合：

①有限集：

含有有限个元素的集合.

②无限集：

含有无限个元素的集合.

4.常用数集的表示符号

名称

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N＋或N*

Z

Q

R

要点一　集合的基本概念

例1　下列每组对象能否构成一个集合：

（1）我们班的所有高个子同学；

（2）不超过20的非负数；

（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；

（4）的近似值的全体.

解　

（1）“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.

（2）任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；（3）“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；（4）“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合.

规律方法　判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.

跟踪演练1　下列所给的对象能构成集合的是________.

（1）所有正三角形；

（2）必修1课本上的所有难题；

（3）比较接近1的正整数全体；

（4）某校高一年级的16岁以下的学生.

答案　

（1）（4）

解析　

序号

能否构成集合

理由

（1）

能

其中的元素是“三条边相等的三角形”

（2）

不能

“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以所给对象不确定，故不能构成集合

（3）

不能

“比较接近1”的标准不明确，所以所给对象不确定，故不能构成集合

（4）

能

其中的元素是“16岁以下的学生”

要点二　元素与集合的关系

例2　所给下列关系正确的个数是（　　）

①－∈R；②∉Q；③0∈N*；④|－3|∉N*.

A.1B.2C.3D.4

答案　B

解析　－是实数，是无理数，∴①②正确.N*表示正整数集，∴③和④不正确.

规律方法　1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a∉A”这两种情况中必有一种且只有一种成立.

2.符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系.

3.“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合.

跟踪演练2　设不等式3－2x＜0的解集为M，下列关系中正确的是（　　）

A.0∈M,2∈MB.0∉M,2∈M

C.0∈M,2∉MD.0∉M,2∉M

答案　B

解析　本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x＜0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2∈M.

要点三　集合中元素的特性及应用

例3　已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值.

解　∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.

若－3＝a－3，则a＝0.

此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1.

此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意.

综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.

规律方法　1.由于集合B含有两个元素，－3∈B，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验.

2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.

跟踪演练3　已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________.

答案　1

解析　∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.

当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.

当a2－1＝0时，a＝±1.

a＝－1（舍），∴a＝1.

此时，A＝{2,0}，符合题意.

1.下列能构成集合的是（　　）

A.中央电视台著名节目主持人

B.我市跑得快的汽车

C.上海市所有的中学生

D.香港的高楼

答案　C

解析　A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合.

2.集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是（　　）

A.0∈AB.a∉A

C.a∈AD.a＝A

答案　C

解析　由题意知A中只有一个元素a，∴a∈A，元素a与集合A的关系不能用“＝”，a是否等于0不确定，因为0是否属于A不确定，故选C.

3.设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A；广州________A（填∈或∉）.

答案　∉　∈

解析　深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会.

4.已知①∈R；②∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.正确的个数为________.

答案　3

解析　①②③是正确的；④⑤是错误的.

5.已知1∈{a2，a}，则a＝________.

答案　－1

解析　当a2＝1时，a＝±1，但a＝1时，a2＝a，由元素的互异性知a＝－1.

1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定.若研究对象不确定，则不能构成集合.

2.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.

3.集合中元素的两种特性：

确定性、互异性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.

1.1.2　集合的表示方法

[学习目标]　1.掌握集合的两种表示方法（列举法、描述法）.2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.

[知识链接]

1.质数又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他正整数整除的数.

2.函数y＝x2－2x－1的图象与x轴有2个交点，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有1个交点，函数y＝x2－x＋1的图象与x轴没有交点.

[预习导引]

1.列举法

把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法.

2.描述法

（1）集合的特征性质

如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有性质p（x），则性质p（x）叫做集合A的一个特征性质.

（2）特征性质描述法

集合A可以用它的特征性质p（x）描述为{x∈I|p（x）}，它表示集合A是由集合I中具有性质p（x）的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.

要点一　用列举法表示集合

例1　用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2＝x的所有实数根组成的集合；

（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.

解　

（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

（2）设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.

（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.

规律方法　对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：

①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复.

跟踪演练1　用列举法表示下列集合：

（1）我国现有的所有直辖市；

（2）绝对值小于3的整数的集合；

（3）一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象交点组成的集合.

解　

（1）{北京，上海，天津，重庆}；

（2）{－2，－1,0,1,2}；

（3）方程组

的解是

所求集合为.

要点二　用描述法表示集合

例2　用描述法表示下列集合：

（1）正偶数集；

（2）被3除余2的正整数的集合；

（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.

解　

（1）偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}.

（2）设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.

（3）坐标轴上的点（x，y）的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{（x，y）|xy＝0}.

规律方法　用描述法表示集合时应注意：

①“竖线”前面的x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p（x）可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一.

跟踪演练2　用描述法表示下列集合：

（1）所有被5整除的数；

（2）方程6x2－5x＋1＝0的实数解集；

（3）集合{－2，－1,0,1,2}.

解　

（1）{x|x＝5n，n∈Z}；

（2）{x|6x2－5x＋1＝0}；

（3）{x∈Z||x|≤2}.

要点三　列举法与描述法的综合运用

例3　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.

解　

（1）当k＝0时，原方程为16－8x＝0.

∴x＝2，此时A＝{2}.

（2）当k≠0时，由集合A中只有一个元素，

∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根.

则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.

从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}.

综上所述，实数k的值为0或1.

当k＝0时，A＝{2}；

当k＝1时，A＝{4}.

规律方法　1.

（1）本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解.

（2）kx2－8x＋16＝0的二次项系数k不确定，需分k＝0和k≠0展开讨论，从而做到不重不漏.

2.解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点.

跟踪演练3　把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合.

解　由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根.

∴

解得k＜1，且k≠0.

所以k取值范围的集合为{k|k＜1，且k≠0}.

1.集合{x∈N*|x－3＜2}用列举法可表示为（　　）

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}

C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

答案