北师版九年级数学上册第1章 特殊平行四边形中的旋转最值动点问题专题训练含答案Word下载.docx
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(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
6.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G,E分别在线段AD,AB上.
(1)如图①,连接DF,BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,则下列说法“在旋转过程中线段DF与BF的长始终相等”是否正确?
若正确,请说明理由;
如不正确,请举反例说明;
(2)如图②,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段与DG始终相等,并以图为例说明理由.
二、最值问题
7.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()
A.2B.4
C.6D.89.
8.如图,在菱形ABCD中,AC=6
,BD=6,E是BC边的中点,P,M分别是AC,AB上的动点,连接PE,PM,则PE+PM的最小值是()
A.6B.3
C.2
D.4.5
9.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S△PAB=
S矩形ABCD,则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为_____________.
10.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,则EF的最小值为.
三、动点问题
11.如图①,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图②是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()
A.
B.2
C.
D.2
12.如图,矩形OABC的顶点A,C分别在坐标轴上,B(8,7),D(5,0),点P是边AB或边BC上的一动点,连接OP,DP,当△ODP为等腰三角形时,点P的坐标为____________
13.在矩形ABCD中,AD=32cm,AB=24cm,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点,PO的延长线交BC于Q.若P从点A出发,以1cm/s的速度向D运动,设点P的运动时间为ts,则当t=____________时,以点P和点Q以及点A,B,C,D中的两个点为顶点的四边形是菱形.
14.如图,M,N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足AM=BN,连接AC交BN于点E,连接DE交AM于点F,连接CF,若正方形的边长为6,则线段CF的最小值是.
15.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E是BC的中点,点F在AD上运动,沿直线EF折叠四边形CDFE,得到四边形GHFE,其中点C落在点G处,连接AG,AH,则AG的最小值是.
16.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,
),动点P从点A出发,沿A→B→C→D→A→B→…的路径,在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动,移动到第2018秒时,点P的坐标为.
17.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点B(2,0),∠DOB=60°
,点P是对角线OC上一个动点,点E(0,-1),当EP+BP最短时,点P的坐标为.
18.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°
,P,Q分别是AB,AC上的动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点,连接AD,PD,PQ,DQ.
△PDQ是等腰直角三角形;
(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形?
请说明理由.
19.如图,正方形ABCD的边长为8cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.
四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由.
20.如图①,四边形ABCD是正方形,G是CD边上一动点(点G与C,D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.
(1)试探究线段BG,DE之间存在怎样的关系并证明你的结论;
(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图②、③所示的情形,
(1)中的结论是否仍成立?
若成立,选择任意一种情形给出证明;
若不成立,请说明理由.
21.在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F,垂足为点O.
(1)如图①,连接AF,CE.试说明四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图②,动点P,Q分别从A,C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,已知点P的速度为5cm/s,点Q的速度为4cm/s,运动时间为ts,当以A,P,C,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,过点C的直线MN∥AB,D为AB上一动点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为点F,连接CD,BE.
CE=AD;
(2)当D运动到AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?
说明你的理由;
(3)若D运动到AB的中点,则∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?
说明你的理由.
23.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=20cm,BD=12cm,两动点E,F同时以2cm/s的速度分别从点A,C出发在线段AC上相对运动,点E到点C,点F到点A时停止运动.
当点E,F在运动过程中不与点O重合时,以点B,E,D,F为顶点的四边形为平行四边形;
(2)当点E,F的运动时间t为何值时,四边形BEDF为矩形?
24.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为点E,F,点Q为斜边AB的中点.
(1)如图①,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量关系式是;
(2)如图②,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图③,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时
(2)中的结论是否成立?
请画出图形并给予证明.
参考答案:
1.A2.45°
3.1354.20°
5.解:
(1)∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,∴AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC,∴△AEB≌△AFC,∴BE=CF
(2)∵四边形ACDE为菱形,AB=AC=1,∴DE=AE=AC=AB=1,AC∥DE,∴∠AEB=∠ABE,∠ABE=∠BAC=45°
,∴∠AEB=∠ABE=45°
,∴△ABE为等腰直角三角形,∴BE=
AC=
,∴BD=BE-DE=
-1
6.解:
(1)根据图形的对称性,本来DF和BF相等,但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中,线段DF与BF始终相等”不正确.例如,当点F旋转到AB上时,BF最短(小于AB),而这时DF大于AD,即DF大于BF
(2)可以找到一条线段BE与DG始终相等.理由如下:
如图②,连接BE.在正方形ABCD和正方形AEFG中,AE=AG,AD=AB,且∠DAB=∠GAE=90°
,∴∠DAB-∠GAB=∠GAE-∠GAB,即∠DAG=∠BAE.∴△ADG绕点A顺时针旋转90°
后能和△ABE重合.∴DG=BE
7.B8.C9.4
10.2.4
11.C12.(8,4)或(
,7)13.7或2514.3
-315.216.(
,
)17.(2
-3,2-
)
18.解:
(1)证明:
∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,BD=AD=DC,∠B=∠DAQ.
又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ.
∵∠BDP+∠ADP=90°
,∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°
,∴△PDQ是等腰直角三角形
(2)当点P运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形.
理由:
由
(1)知△ABD为等腰直角三角形.
当点P运动到AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°
.
又∵∠BAC=90°
,∠PDQ=90°
,∴四边形APDQ为矩形.
又∵DP=AP=
AB,∴矩形APDQ是正方形
19.解:
(1)如图,∵四边形ABCD为正方形,
∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°
AB=BC=CD=AD,
∵AE=BF=CG=DH,
∴BE=CF=DG=AH,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,
∴EH=EF=FG=GH,∠1=∠2,
∴四边形EFGH为菱形,
∵∠1+∠3=90°
,∠1=∠2,
∴∠2+∠3=90°
,∴∠HEF=90°
∴菱形EFGH为正方形
(2)直线EG经过一个定点.理由如下:
如图,连接BD,DE,BG,EG.EG与BD交于点O.
∵BE平行且等于DG,
∴四边形BGDE为平行四边形,
∴BD,EG互相平分,∴BO=OD,
∴点O为正方形的角平分线的交点,
∴直线EG必过正方形角平分线的交点
20.解:
(1)BG=DE,BG⊥DE,证明如下:
延长BG交DE于点H,
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,
∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°
∴△BCG≌△DCE(SAS),
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE.
又∠CBG+∠BGC=90°
,∴∠CDE+∠DGH=90°
∴∠DHG=90°
,∴BH⊥DE,即BG⊥DE
(2)仍然成立,选图②证明,证明如下:
设BG分别与CD,DE交于点H,O,
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,
∴BC=CD,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCG=∠DCE,∴△BCG≌△DCE(SAS),
又∵∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90°
∴∠CDE+∠DHO=90°
,∴∠DOH=90°
∴BG⊥DE
21.解:
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE.
∵EF垂直平分AC,垂足为点O,∴OA=OC,
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF,
∴四边形AFCE为平行四边形.
又∵EF⊥AC,
∴▱AFCE为菱形.
设AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,
由勾股定理得42+(8-x)2=x2,解得x=5,
∴AF=5cm
(2)显然,当P点在AF上,Q点在CD上时,A,C,P,Q四点不可能构成平行四边形;
同理:
P点在AB上,Q点在DE或CE上时,也不可能构成平行四边形.
因此只有当P点在BF上,Q点在ED上时,才能构成平行四边形,如图,连接AP,CQ,则以A,P,C,Q四点为顶点的四边形是平行四边形,此时PC=QA.∵点P的速度为5cm/s,点Q的速度为4cm/s,运动时间为ts,
∴PC=5tcm,QA=(12-4t)cm.
∴5t=12-4t,解得t=
∴以A,P,C,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=
22.解:
∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°
.∵∠ACB=90°
,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE.∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD
(2)四边形BECD是菱形,理由:
∵D为AB的中点,∴AD=BD.∵CE=AD,∴BD=CE.∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形.∵DE⊥BC,∴四边形BECD是菱形
(3)当∠A=45°
时,四边形BECD是正方形,理由:
∵∠ACB=90°
,∠A=45°
,∴∠ABC=∠A=45°
.∵四边形BECD是菱形,∴∠DBE=2∠ABC=90°
,∴菱形BECD是正方形.故当∠A=45°
时,四边形BECD是正方形
23.解:
连接DE,EB,BF,FD.
∵两动点E,F同时以2cm/s的速度分别从点A,C出发在线段AC上相对运动,
∴AE=CF.
∵平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴OD=OB,OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),
∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC,即OE=OF,
∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
即以点B,E,D,F为顶点的四边形是平行四边形.
(2)当点E在OA上,点F在OC上,EF=BD=12cm时,四边形BEDF为矩形.
∵运动时间为t,
∴AE=CF=2t,
∴EF=20-4t=12,
∴t=2;
当点E在OC上,点F在OA上时,
EF=BD=12cm,EF=4t-20=12,
∴t=8.
因此,当点E,F的运动时间t为2s或8s时,四边形BEDF为矩形.
24.解:
(1)AE∥BF,QE=QF
(2)QE=QF.证明:
延长FQ交AE于点D,∵AE∥BF,∴∠QAD=∠QBF,又∵∠BQF=∠AQD,BQ=AQ,∴△FBQ≌△DAQ(ASA),∴QF=QD,∵AE⊥CP,∴EQ是Rt△DEF斜边上的中线,∴QE=QF=QD,即QE=QF
(3)
(2)中的结论仍然成立,
图形如图所示,证明:
如图,当点P在BA延长线上时,延长EQ与FB的延长线交于点D,∵AE∥BF,∴∠AEQ=∠D,又∵∠AQE=∠BQD,AQ=BQ,∴△AQE≌△BQD(AAS),∴QE=QD,∵BF⊥CP,∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线,∴QE=QF