线性代数难点解析Word格式.docx
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第二章矩阵
矩阵的定义、性质,几种特殊的矩阵(零矩阵,上(下)三角矩阵,对称矩阵,对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵)
1)矩阵的各种运算及运算规律
2)矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法
3)矩阵的初等变换方法
1、矩阵的求逆矩阵的初等变换
2、初等变换与初等矩阵的关系
三、重要公式及难点解析
1、线性运算
1)交换律一般不成立,即AB≠BA
2)一些代数恒等式不能直接套用,如设A,B,C均为n阶矩阵
(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2
(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2
(AB)k≠AkBk
(A+B)(A-B)≠A2-B2
以上各式当且仅当A与B可交换,即AB=BA时才成立。
3)由AB=0不能得出A=0或B=0
4)由AB=AC不能得出B=C
5)由A2=A不能得出A=I或A=0
6)由A2=0不能得出A=0
7)数乘矩阵与数乘行列式的区别
2、逆矩阵
1)(A–1)–1=A
2)(kA)–1=(1/k)A–1,(k≠0)
3)(AB)–1=B–1A–1
4)(A–1)T=(AT)–1
5)│A–1│=│A│–1
3、矩阵转置
1)(AT)T=A
2)(kA)T=kAT,(k为任意实数)
3)(AB)T=BTAT
4)(A+B)T=AT+BT
4、伴随矩阵
1)A*A=AA*=│A│I(AB)*=B*A*
2)(A*)*=│A│n-2│A*│=│A│n-1,(n≥2)
3)(kA)*=kn-1A*(A*)T=(AT)*
4)若r(A)=n,则r(A*)=n
若r(A)=n-1,则r(A*)=1
若r(A)
5)若A可逆,则(A*)-1=(1/│A│)A,(A*)-1=(A-1)*,A*=│A│A-1
5、初等变换(三种)
1)对调二行(列)
2)用k(k≠0)乘以某行(列)中所有元素
3)把某行(列)的元素的k倍加至另一行(列)的对应元素
用初等变换①求秩,行、列变换可混用
②求逆阵,只能用行或列变换
③求线性方程组的解,只能用行变换
6、初等矩阵
1)由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵
2)初等阵P左(右)乘A,所得PA(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换
3)初等阵均可逆,且其逆为同类型的初等阵
E-1ij=Eij,E(-1)i(k)=Ei(1/k),E(-1)ij(k)=Eij(-k)
7、矩阵方程
1)含有未知矩阵的等式
2)矩阵方程有解的充要条件
AX=B有解<
==>
B的每列可由A的列向量线性表示
<
r(A)=r(A┆B)
1、有关矩阵的概念及性质的命题
2、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置)
3、矩阵可逆的判定
n阶方阵A可逆<
存在n阶方阵B,有AB=BA=I
│A│≠0
r(A)=n
A的列(行)向量组线性无关
Ax=0只有零解
任意b,使得Ax=b总有唯一解
A的特征值全不为零
4、矩阵求逆
1)定义法:
找出B使AB=I或BA=I
2)伴随阵法:
A-1=(1/│A│)A*
用该方法求逆时,行的代数余子式应竖着写在A*中,计算Aij时不要遗漏(-1)i+j,当n>
3时,通常用初等变换法。
3)初等变换法:
对(A┆I)只用行变换化为(I┆A-1)
4)分块矩阵法
5、解矩阵方程AX=B
1)若A可逆,则X=A-1B,可先求出A-1,再作乘法A-1B求出X
2)若A可逆,可用初等变换法直接求出X
(A┆B)初等行变换(I┆X)
3)若A不可逆,则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组,然后对每列常数项分别求解。
第三章线性方程组
向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出,极大线性无关组的概念,线性相关与线性无关的概念,向量组的秩的概念,矩阵的秩的概念及性质,基础解系的概念。
向量的运算及运算规律,矩阵秩的计算,齐次、非齐次线性方程组解的结构。
线性相关、线性无关的判定,线性方程组解的判断,齐次、非齐次线性方程组的解法。
线性相关、线性无关的判定。
向量组的秩与矩阵的秩的关系。
方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。
三、重点难点解析
1、n维向量的概念与运算
1)概念
2)运算
若α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T
①加法:
α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)T
②数乘:
kα=(ka1,ka2,…,kan)T
③内积:
(α·
β)=a1b1+a2b2+,…,+anbn=αTβ=βTα
2、线性组合与线性表出
3、线性相关与线性无关
1)概念
2)线性相关与线性无关的充要条件
①线性相关
α1,α2,…,αs线性相关
齐次方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解
向量组的秩r(α1,α2,…,αs)<s(向量的个数)
存在某αi(i=1,2,…,s)可由其余s-1个向量线性表出
特别的:
n个n维向量线性相关<
│α1α2…αn│=0
n+1个n维向量一定线性相关
②线性无关
α1,α2,…,αs线性无关
齐次方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解
向量组的秩r(α1,α2,…,αs)=s(向量的个数)
每一个向量αi(i=1,2,…,s)都不能用其余s-1个向量线性表出
③重要结论
A、阶梯形向量组一定线性无关
B、若α1,α2,…,αs线性无关,则它的任一个部分组αi1,αi2,…,αit必线性无关,它的任一延伸组必线性无关。
C、两两正交,非零的向量组必线性无关。
4、向量组的秩与矩阵的秩
1)极大线性无关组的概念
2)向量组的秩
3)矩阵的秩
①r(A)=r(AT)
②r(A+B)≤r(A)+r(B)
③r(kA)=r(A),k≠0
④r(AB)≤min(r(A),r(B))
⑤如A可逆,则r(AB)=r(B);
如B可逆,则r(AB)=r(A)
⑥A是m×
n阵,B是n×
p阵,如AB=0,则r(A)+r(B)≤n
4)向量组的秩与矩阵的秩的关系
①r(A)=A的行秩(矩阵A的行向量组的秩)=A的列秩(矩阵A的列向量组的秩)
②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变
③若向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出,则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)。
特别的,等价的向量组有相同的秩,但秩相同的向量组不一定等价。
5、基础解系的概念及求法
2)求法
对A作初等行变换化为阶梯形矩阵,称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元(共有r(A)个主元),那么剩于的其他未知数就是自由变量(共有n-r(A)个),对自由变量按阶梯形赋值后,再带入求解就可得基础解系。
6、齐次方程组有非零解的判定
1)设A是m×
n矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是r(A)<n,亦即A的列向量线性相关。
2)若A为n阶矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是│A│=0
3)Ax=0有非零解的充分条件是m<n,即方程个数<未知数个数
7、非齐次线性方程组有解的判定
n矩阵,Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A增)的秩,即r(A)=r(A增)
2)设A是m×
n矩阵,方程组Ax=b
①有唯一解<
r(A)=r(A增)=n
②有无穷多解<
r(A)=r(A增)
③无解<
r(A)+1=r(A增)
8、非齐次线性方程组解的结构
如n元线性方程组Ax=b有解,设,η2,…,ηt是相应齐次方程组Ax=0的基础解系,ξ是Ax=b的一个解,则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax=b的通解。
1)若ξ1,ξ2是Ax=b的解,则ξ1-ξ2是Ax=0的解
2)若ξ是Ax=b的解,η是Ax=0的解,则ξ+kη仍是Ax=b的解
3)若Ax=b有唯一解,则Ax=0只有零解;
反之,当Ax=0只有零解时,Ax=b没有无穷多解(可能无解,也可能只有唯一解)
1、有关n维向量概念与性质的命题
2、向量的加法与数乘运算
3、线性相关与线性无关的证明
1)定义法
设k1α1+k2α2+…+ksαs=0,然后对上式做恒等变形(要向已知条件靠拢!
)
①由B=C可得AB=AC,因此,可按已知条件的信息对上式乘上某个A
②展开整理上式,直接用已知条件转化为齐次线性方程组,最后通过分析论证k1,k2,…,ks的取值,得出所需结论。
2)用秩(等于向量个数)
3)齐次方程组只有零解
4)反证法
4、求给定向量组的秩和极大线性无关组
多用初等变换法,将向量组化为矩阵,通过初等变换来求解。
5、求矩阵的秩
常用初等变换法。
6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组
第四章线性空间
线性空间、基、维数、内积、长度、夹角和距离的概念,正交向量组及标准正交基的概念,正交矩阵
Rn及其中向量的运算规则。
内积、长度、夹角、距离的计算。
两个向量的正交。
正交矩阵的性质及应用。
1、线性空间与基的概念和性质
2、内积、距离与夹角
1)内积:
α·
β=a1b1+a2b2+…+anbn
2)长度:
‖α‖=(α·
α)的平方根=(a12+a22+…+an2)的平方根
3)距离:
d=‖α-β‖=[(a1-b1)2+(a2-b2)2+…+(an-bn)2]的平方根
4)夹角:
cosθ=(α·
β)/(‖α‖‖β‖)
θ=arccos[(α·
β)/(‖α‖‖β‖)]
5)正交:
α与β的夹角为90°
,记为α⊥β
α与β正交<
β=0
6)正交向量组:
任意两个向量都互相垂直
①任一组非零正交向量组必线性无关
②Rn中任一非零正交向量组的向量个数不大于n
3、向量的正交化
1)标准正交基的概念
2)施密特正交化(先正交化,再单位化)
4、正交矩阵
2)性质
若A为正交阵==>
│A│=1或-1
A-1仍为正交阵
若BBT=I,则AB(AB)T=I
A-1=AT
3)n阶方阵A是正交阵<
A的n个行向量构成Rn的一组标准正交基
A的n个列向量构成Rn的一组标准正交基
1、判定给定集合是否为线性空间
一般由线性空间的定义与性质来判断
2、求线性空间的基与维数
3、验证n维向量组为Rn的一组标准正交基
步骤:
1)证向量两两正交,即内积为零
2)证各向量都是单位向量,即长度为1
4、计算两向量的内积、向量间的夹角及距离
5、把给定向量组标准正交化
1)判断向量组的线性相关性,只有线性无关的向量组才能标准正交化
2)正交化(施密特正交化方法)
3)标准化vi=βi/‖βi‖
6、证明有关正交矩阵的命题
7、正交矩阵的判定
若AAT=In==>
A为正交阵
若AAT≠In==>
A不是正交阵
该方法多用于抽象矩阵的证明。
2)n阶方阵A是正交阵<
A的n个行向量(或列向量)构成Rn的一组标准正交基
A的行(列)向量都是单位向量且两两正交
该方法多用于给出具体数值的矩阵。
第五章特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念及其基本性质。
相似矩阵的概念与性质,矩阵相似于对角阵的条件。
约当型矩阵。
计算特征值与特征向量的方法。
求相似的对角阵。
相似对角化及其应用。
1、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质
①若λ是A的特征值,则│λI-A│=0,因此λI-A是不可逆矩阵
②若λ不是A的特征值,则│λI-A│≠0,因此λI-A是可逆矩阵
③特别地,0是A的特征值<
│A│=0<
A不可逆
④Ax=0的基础解系就是λ=0的线性无关的特征向量
⑤对n阶阵A,若r(A)=1,则λ1=∑aii,λ2=λ3=…=λn=0
①若x1,x2都是特征值λi所对应的特征向量,则x1,x2的线性组合k1x1+k2x2(非零)仍是属于λi的特征向量。
λi的特征向量不是唯一的,反过来,一个特征向量只能属于一个特征值。
②不同特征值的特征向量是线性无关的,并且当λi是A的k重特征值时,A属于λi的线性无关的特征向量的个数不超过k个。
③特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和,特征值的乘积等于矩阵A行列式的值。
2、相似矩阵的概念及性质
若A~B==>
AT~BT
A-1~B-1(若A、B均可逆)
Ak~Bk(k为正整数)
│λI-A│=│λI-B│,从而A、B有相同的特征值
│A│=│B│,从而A、B同时可逆或不可逆
r(A)=r(B)
3、矩阵可相似对角化的充要条件
1)相似对角化的概念
2)充要条件
A与对角阵相似<
A有n个线性无关的特征向量
A的每个特征值中,线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数
3)A与对角阵相似的充分条件是A有n个不同的特征值
4、对称矩阵的相似
1)实对称阵必可对角化
2)特征
①特征值全是实数,特征向量都是实向量
②不同特征值的特征向量互相正交
③k重特征值必有k个线性无关的特征向量,或者说必有r(λI-A)=n-k
1、特征值与特征向量的求法
1)对抽象矩阵
由特征值与特征向量的定义及其性质推导出特征值的取值。
2)对数字矩阵
①从特征方程│λI-A│=0求出特征值λi(应有n个,含重根)
②解齐次方程组(λI-A)x=0,其基础解系就是λ所对应的线性无关的特征向量。
2、判断A是否可对角化
1)方法一:
n阶方阵A可对角化<
A有n个线性无关的特征向量
方法二:
对n阶方阵A的任一特征值λi(设为ki重根),有n-r(λiI-A)=ki
2)化A为对角阵的步骤
①先求出A的特征值λ1,λ2,…,λn
②再求所对应的线性无关的特征向量x1,x2,…,xn
λ1
③构造可逆矩阵P=(x1x2…xn),则P-1AP=[λ2…]
λn
3、利用特征值与相似矩阵求行列式
1)│A│=λ1λ2…λn其中:
λ1,λ2,…,λn为A的n个特征值
2)若A~B,则│A│=│B│
4、利用相似对角化求An
若A~∧,即存在可逆阵P,使得P-1AP=∧,则
A=P∧P-1,从而An=P∧nP-1
其中:
∧是A的相似标准型
5、有关特征值与特征向量的证明
第六章实二次型
二次型的概念,二次型同对称阵的关系,矩阵合同的概念,标准型与规范标准型的概念,正定二次型与正定矩阵的概念。
从二次型求对称阵及从对称阵求二次型。
合同与讹传西变量变换之间的关系。
正定二次型、正定阵的判断。
3、应用:
正交变换法、配方法及初等变换法化二次型为标准型,从标准型求规范标准型。
化二次型为标准型。
1、二次型的概念及其标准型
1)二次型
二次型的矩阵是唯一的,由二次型应能立即写出其二次型矩阵,反之,给出实对称矩阵要能构造出二次型。
2)二次型的标准型
①概念
②正、负惯性指数,r(f)=r(A)=p+q
③正交变换化二次型为标准型时,标准型中平方项系数必是矩阵A的n个特征值,而配方法没有这个属性。
3)惯性定理
二次型的正、负惯性指数是唯一不变的,它反映了二次型的本质特征。
2、合同矩阵与正定矩阵
1)合同矩阵
②充要条件:
实对称阵A≌B<
二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数。
A≌B的必要条件是r(A)=r(B)
2)正定二次型与正定矩阵
②充要条件
n元二次型xTAx正定<
xTAx的正惯性指数p=n
A与I合同,即有可逆阵D使A=DTD
A的特征值全是正数
A的顺序主子式全大于零
正定的必要条件:
aii>
0,(i=1,2,…,n);
│A│>
0可帮助排除非正定的二次型。
3)注意:
若A为正定矩阵,则kA(k>
0),AT,A-1,A*也是正定矩阵。
若A为正定矩阵,则有│A│>
0,从而A可逆。
若A为正定矩阵,则A的主对角线上的元素aii>
0,(i=1,2,…,n)。
1、有关二次型基本概念的命题
2、化二次型为标准型
1)配方法
2)正交变换法
①必须先正确写出二次型矩阵,二次型矩阵是对角线aii为xi2的系数,aij=aji为xixj系数的一半;
②求出二次型矩阵的特征根及对应的特征向量;
③将重特征根的特征向量正交化,再将所得特征向量单位化,以此为列构成的矩阵即为正交矩阵Q;
④作变换X=QY,即可将二次型化为标准型。
3)初等变换法
①用正交变换化标准型时,平方项系数是特征值,且是唯一的。
②由配方法所得的标准型是不唯一的。
③不论用那种方法,正、负惯性指数是一致的。
3、判别二次型的正定
方法:
1)用定义
2)正惯性指数p=n
3)顺序主子式全大于零
4)特征值全大于零
5)对任意x≠0,恒有xTAx>
0。
4、有关正定性的证明
1)方法:
①特征值法
②定义法
2)正定是对实对称阵而言,证明A是正定矩阵时,要验证AT=A。