一元一次方程及应用Word格式文档下载.docx

一元一次方程及应用Word格式文档下载.docx

《一元一次方程及应用Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元一次方程及应用Word格式文档下载.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

　　要点诠释：

　　一元一次方程须满足下列三个条件：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的次数是1次；

　　（3）整式方程．

2、方程的解：

　　判断一个数是否是某方程的解：

将其代入方程两边，看两边是否相等．

考点2一元一次方程的解法

1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）

　　等式的性质1：

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

　　如果

，那么

；

（c为一个数或一个式子）。

　　等式的性质2：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果

　　分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

　　即：

（其中m≠0）

考点3列一元一次方程解应用题

1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．

（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

　　（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．

　　（4）解方程．

　　（5）检验，看方程的解是否符合题意．

　　（6）写出答案．

2、解应用题的书写格式：

　　设→根据题意→解这个方程→答。

考点4方程与整式、等式的区别

（1）从概念来看：

　整式：

单项式和多项式统称整式。

　　等式：

用等号来表示相等关系的式子叫做等式。

如

，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－

，

m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。

方程：

含有未知数的等式叫做方程。

如5x＋3＝11，

等都是方程。

理解方程的概念必须明确两点：

①是等式；

②含有未知数。

两者缺一不可。

（2）从是否含有等号来看：

方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。

　　（3）从是否含有未知量来看：

等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；

方程既含有“＝”，又必须含有未知数。

但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。

四、例题精析

考点1解一元一次方程

例1方程2x﹣1=0的解是x=　　．

【规范解答】移项得：

2x=1，系数化为1得：

x=

．

【总结与反思】此题虽很容易，但也要注意方程解的表示方法：

填空时应填x=

，不能直接填

考点2由实际问题抽象出一元一次方程

例2七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为　　．

【规范解答】解：

设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，

由题意得，2x+56=589﹣x．

故答案为：

2x+56=589﹣x．

【总结与反思】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，列出方程

考点3一元一次方程的应用

例3家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：

（1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米；

（2）他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米；

（3）抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；

（4）下山用1个小时；

根据上面信息，他作出如下计划：

（1）在山顶游览1个小时；

（2）中午12：

00回到家吃中餐．

若依据以上信息和计划登山游玩，请问：

孔明同学应该在什么时间从家出发？

设上山的速度为v，下山的速度为（v+1），则

2v+1=v+1+2，

解得v=2．

即上山速度是2千米/小时．

则下山的速度是3千米/小时，山高为5千米．

则计划上山的时间为：

5÷

2=2.5（小时），

计划下山的时间为：

1小时，

则共用时间为：

2.5+1+1=4.5（小时），

所以出发时间为：

12：

00﹣4小时30分钟=7：

30．

答：

孔明同学应该在7点30分从家出发．

【总结与反思】本题考查了应用题．该题的信息量很大，是不常见的应用题．需要进行相关的信息整理，只有理清了它们的关系，才能正确解题．

考点4一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用

例4从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发xh后，到达离甲地ykm的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．

（1）小明骑车在平路上的速度为　　km/h；

他途中休息了　　h；

（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；

（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？

【规范解答】

（1）小明骑车在平路上的速度为：

4.5÷

0.3=15，

∴小明骑车在上坡路的速度为：

15﹣5=10，

小明骑车在上坡路的速度为：

15+5=20．

∴小明返回的时间为：

（6.5﹣4.5）÷

2+0.3=0.4小时，

∴小明骑车到达乙地的时间为：

0.3+2÷

10=0.5．

∴小明途中休息的时间为：

1﹣0.5﹣0.4=0.1小时．

15，0.1

（2）小明骑车到达乙地的时间为0.5小时，∴B（0.5，6.5）．

小明下坡行驶的时间为：

2÷

20=0.1，∴C（0.6，4.5）．

设直线AB的解析式为y=k1x+b1，由题意，得

，解得：

∴y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）；

设直线BC的解析式为y=k2+b2，由题意，得

∴y=﹣20x+16.5（0.5＜x≤0.6）

（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，由题意，得

10t+1.5=﹣20（t+0.15）+16.5，解得：

t=0.4，∴y=10×

0.4+1.5=5.5，∴该地点离甲地5.5km．

【总结与反思】本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．

考点5：

一元一次方程的应用；

概率的意义

例5某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中．

（1）该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球？

（2）在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小亮说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小亮的说法正确吗？

请说明理由．

（1）设该运动员共出手x个3分球，根据题意，得

=12，

解得x=640，

0.25x=0.25×

640=160（个），

运动员去年的比赛中共投中160个3分球；

（2）小亮的说法不正确；

3分球的命中率为0.25，是相对于40场比赛来说的，而在其中的一场比赛中，虽然该运动员3分球共出手20次，但是该运动员这场比赛中不一定投中了5个3分球．

【总结与反思】此题考查了一元一次方程的应用及概率的意义．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程及正确理解概率的含义．

五、课堂运用

【基础】

1、已知方程2xm－3+3x=5是一元一次方程，则m=.

【解析】由一元一次方程的定义可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3

所以m=4或m=3

注意：

很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x的指数是（m－3）.

2、已知y=1是方程2－

的解，则关于x的方程m（x+4）=m（2x+4）的解是（）

A、x=1B、x=－1C、x=0D、方程无解

【解析】将y=1代入方程得

，再将m=1代入m（x+4）=m（2x+4）得x=0，故选C

【巩固】

1、用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）

A方法：

剪6个侧面；

B方法：

剪4个侧面和5个底面．

现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．

（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；

（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？

（1）∵裁剪时x张用A方法，

∴裁剪时（19﹣x）张用B方法．

∴侧面的个数为：

6x+4（19﹣x）=（2x+76）个，

底面的个数为：

5（19﹣x）=（95﹣5x）个；

（2）由题意，得

解得：

x=7，

∴盒子的个数为：

=30．

裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．

2、解方程：

2﹣

=

（1）去分母得：

12﹣2（2x+1）=3（1+x），

去括号得：

12﹣4x﹣2=3+3x，

移项合并得：

﹣7x=﹣7，

x=1；

【拔高】

1、目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：

进价（元/只）

售价（元/只）

甲型

25

30

乙型

45

（1）如何进货，进货款恰好为46000元？

（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？

（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，由题意，得

25x+45（1200﹣x）=46000，

x=400．∴购进乙型节能灯1200﹣400=800只．

购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；

（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由题意，得

y=（30﹣25）a+（60﹣45）（1200﹣a），y=﹣10a+18000．∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，

∴﹣10a+18000≤[25a+45（1200﹣a）]×

30%，∴a≥450．

∵y=﹣10a+18000，∴k=﹣10＜0，∴y随a的增大而减小，

∴a=450时，y最大=13500元．

∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元．

2、食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输，某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？

（1）设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100﹣x）瓶，

由题意得，2x+3（100﹣x）=270，

x=30，100﹣x=70，

A饮料生产了30瓶，则B饮料生产了70瓶；

课程小结

一、一元一次方程

（1）、含有未知数的等式是方程。

（2）、只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。

（3）、分析实际问题中的数量关系，利用其中的等量关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

（4）、列方程解决实际问题的步骤：

①设未知数；

②找等量关系列方程。

（5）、求出使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

（6）、求方程的解的过程，叫做解方程。

二、等式的性质

（1）、用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式。

（2）、等式的性质1：

如果a=b，那么a±

c=b±

c.

（3）、等式的性质2：

等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。

如果a=b，那么ac=bc;

如果a=b且c≠0，那么

.

（4）、运用等式的性质时要注意三点：

①等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算;

②等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子；

③等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母。

三、一元一次方程的解

1、解一元一次方程——合并同类项与移项

（1）、合并同类项的依据：

乘法分配律。

合并同类项的作用：

是一种恒等变形，起到“化简”的作用，它使方程变得简单，更接近x=a（a是常数）的形式。

（2）、把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

（3）.移项依据：

等式的性质1.移项的作用：

通过移项，使含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a（a是常数）的形式。

2、解一元一次方程——去括号与去分母

（1）、方程两边都乘以各分母的最小公倍数，使方程不在含有分母，这样的变形叫做去分母。

（2）、顺流速度=静水速度+水流速度；

逆流速度=静水速度-水流速度。

（3）、工作总量=工作效率×

工作时间。

（4）、工作量=人均效率×

人数×

时间。

四、实际问题与一元一次方程

（1）、售价指商品卖出去时的的实际售价。

（2）、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。

进价指商品的买入价，也称成本价。

（3）、标价指的是商家所标出的每件物品的原价。

它与售价不同，它指的是原价。

（4）、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几，则称将标价打了几折。

（5）、盈亏问题：

利润=售价－成本；

售价=进价+利润；

售价=进价+进价×

利润率；

（6）、产油量=油菜籽亩产量×

含油率×

种植面积。

（7）、应用：

行程问题：

路程=时间×

速度；

工程问题：

工作总量=工作效率×

时间；

储蓄利润问题：

利息=本金×

利率×

本息和=本金+利息。