高考数学文黄金易错点专题09等差数列与等比数列含答案.docx

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高考数学文黄金易错点专题09等差数列与等比数列含答案

专题09等差数列与等比数列

2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点

1．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于（　　）

A．100B．99C．98D．97

答案　C

解析　由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1，

∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为（　　）

A．6B．7

C．12D．13

答案　C

解析　∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，

∴S12>0，S13<0，

∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.

3．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b12等于（　　）

A．1B．2

C．4D．8

答案　C

解析　设等差数列{an}的公差为d，因为a4－2a＋3a8＝0，所以a7－3d－2a＋3（a7＋d）＝0，即a＝2a7，解得a7＝0（舍去）或a7＝2，所以b7＝a7＝2.因为数列{bn}是等比数列，所以b2b12＝b＝4.

4．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为（　　）

A.B.

C.D.

答案　A

5．定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的如下函数：

①f（x）＝x2；②f（x）＝2x；③f（x）＝；④f（x）＝ln|x|.

则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（　　）

A．①②B．③④

C．①③D．②④

答案　C

解析　等比数列性质，anan＋2＝a，

①f（an）f（an＋2）＝aa＝（a）2＝f2（an＋1）；

③f（an）f（an＋2）＝＝＝f2（an＋1）；

④f（an）f（an＋2）＝ln|an|ln|an＋2|≠（ln|an＋1|）2＝f2（an＋1）．故选C.

6．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

答案　6

解析　∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.

又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.

∴S6＝6×6＋×（－2）＝6.

7．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．

答案　20

解析　设等差数列{an}公差为d，由题意可得：

解得

则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.

8．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________．

答案　64

解析　设等比数列{an}的公比为q，

∴⇒解得

∴a1a2…an＝（－3）＋（－2）＋…＋（n－4）

∵n∈N*，

∴当n＝3或4时，取到最小值－6，

此时取到最大值26＝64，

∴a1a2…an的最大值为64.

9．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.

答案　50

解析　∵数列{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5，

∴lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln（a1a2…a20）

＝ln（a10a11）10＝ln（e5）10＝lne50＝50.

10．已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝（n∈N*），则b2015＝________.

答案　

解析　∵an＋bn＝1，且bn＋1＝，

∴bn＋1＝，∵a1＝，且a1＋b1＝1，

∴b1＝，∵bn＋1＝，∴－＝－1.

又∵b1＝，∴＝－2.

∴数列是以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴＝－n－1，∴bn＝.

则b2015＝.

易错起源1、等差数列、等比数列的运算

例1、

（1）已知数列{an}中，a3＝，a7＝，且是等差数列，则a5等于（　　）

A.B.C.D.

（2）已知等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，且a1＋a7＝9，a4＝2，则S8等于（　　）

A．15（1＋）B．15

C．15D．15（1＋）或15（1＋）

答案　

（1）B　

（2）D

解析　

（1）设等差数列的公差为d，则＝＋4d，∴＝＋4d，解得d＝2.

∴＝＋2d＝10，解得a5＝.

（2）由a4＝2，得a1a7＝a＝8，故a1，a7是方程x2－9x＋8＝0的两根，所以或因为等比数列{an}的各项都为正数，所以公比q>0.当时q＝＝，所以S8＝＝15（1＋）；

当时，q＝＝，所以S8＝＝15.故选D.

【变式探究】

（1）已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.

（2）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，则log2＝________.

答案　

（1）　－1　

（2）1006

【名师点睛】

在进行等差（比）数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d（q）的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．

【锦囊妙计，战胜自我】

1．通项公式

等差数列：

an＝a1＋（n－1）d；

等比数列：

an＝a1·qn－1.

2．求和公式

等差数列：

Sn＝＝na1＋d；

等比数列：

Sn＝＝（q≠1）．

3．性质

若m＋n＝p＋q，

在等差数列中am＋an＝ap＋aq；

在等比数列中am·an＝ap·aq.

易错起源2、等差数列、等比数列的判定与证明

例2、已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且满足an＋Sn＝2n＋1.

（1）求证：

数列{an－2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）求证：

＋＋…＋<.

（2）∵＝

＝＝－，

∴＋＋…＋

＝（－）＋（－）＋…＋（－）

＝－<.

【变式探究】

（1）已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝________.

（2）已知数列{bn}的前n项和为Tn，若数列{bn}满足各项均为正项，并且以（bn，Tn）（n∈N*）为坐标的点都在曲线ay＝x2＋x＋b（a为非零常数）上运动，则称数列{bn}为“抛物数列”．已知数列{bn}为“抛物数列”，则（　　）

A．{bn}一定为等比数列

B．{bn}一定为等差数列

C．{bn}只从第二项起为等比数列

D．{bn}只从第二项起为等差数列

答案　

（1）2n＋1－3　

（2）B

解析　

（1）由已知可得an＋1＋3＝2（an＋3），

又a1＋3＝4，

故{an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列．

∴an＋3＝4×2n－1，

∴an＝2n＋1－3.

（2）由已知条件可知，若数列{bn}为“抛物数列”，设数列{bn}的前n项和为Tn，则数列{bn}满足各项均为正项，并且以（bn，Tn）（n∈N*）为坐标的点都在曲线ay＝x2＋x＋b（a为非零常数）上运动，即aTn＝·b＋·bn＋b，当n＝1时，aT1＝·b＋·b1＋b⇒ab1＝·b＋·b1＋b⇒·b－·b1＋b＝0⇒a·b－a·b1＋2b＝0，

即b1＝；

当n≥2时，由aTn＝·b＋·bn＋b，

及aTn－1＝·b＋·bn－1＋b，

两式相减得

a·bn＝·（b－b）＋·（bn－bn－1）

⇒·（b－b）－·（bn＋bn－1）＝0，

由各项均为正项，可得bn－bn－1＝1（n≥2），

由等差数列的定义可知{bn}一定为等差数列．

【名师点睛】

（1）判断一个数列是等差（比）数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法．

（2）＝q和a＝an－1an＋1（n≥2）都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．

【锦囊妙计，战胜自我】

数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法

（1）证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：

①利用定义，证明an＋1－an（n∈N*）为一常数；

②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1（n≥2）．

（2）证明{an}是等比数列的两种基本方法：

①利用定义，证明（n∈N*）为一常数；

②利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1（n≥2）．

易错起源3、等差数列、等比数列的综合问题

例3、已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.

（1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；

（2）将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn

解　

（1）由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4，

∴an＝5－n，从而Sn＝.

（2）由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，

设等比数列{bn}的公比为q，

则q＝＝，

∴Tm＝＝81－（）m]，

∵（）m随m增加而递减，

∴{Tm}为递增数列，得4≤Tm<8.

又Sn＝＝－（n2－9n）＝－（n－）2－]，

故（Sn）max＝S4＝S5＝10，

若存在m∈N*，使对任意n∈N*总有Sn

则10<4＋λ，得λ>6.即实数λ的取值范围为（6，＋∞）．

【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－1＝3（an－1），n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足若bn≤t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．

【名师点睛】

（1）等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．

（2）数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．

（3）数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．

【锦囊妙计，战胜自我】

解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．

1．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为（　　）

A．20B．22

C．24D．28

答案　C

解析　由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝（a4＋a12）＋（a6＋a10）＋a8＝5a8＝120，解得a8＝24，∵a8＋a12＝2a10，

∴2a10－a12＝a8＝24.

2．已知在等差数列{an}中，a1＝120，d＝－4，若Sn≤an（n≥2），则n的最小值为（　　）

A．60B．62

C．70D．72

答案　B

解析　由题意可知，Sn＝na1＋d＝－2n2＋122n，an＝a1＋（n－1）d＝124－4n，由Sn≤an得－2n2＋126n≤124，解得n≤1或n≥62，又n≥2，∴n≥62，故选B.

3．在等比数列{an}中，a1＝4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn＋2}也是等比数列，则q等于（　　）

A．2B．－2

C．3D．－3

答案　C

解析　由题意可得q≠1，由数列{Sn＋2}是等比数列，可得S1＋2，S2＋2，S3＋2成等比数列，所以（S2＋2）2＝