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E,过
【2017成都中考】如图，在^ABC+，AB=AC,以AB为直径作圆0,分别交BC于点D,交CA的延长线于点
点D作DHLAC于点H,连接DE交线段0A于点
F.
（1）求证：
DH是圆0的切线；
（2）若A为EH的中点，求里的值；
FD
证明：
（1）连接0D,如图1,
V0B=0D,
・••△0DB是等腰三角形，
Z0BD=Z0DB@,
在^ABC中，:
AB=AC,
・•・/ABC=NACB②，
由①②得：
Z0DB=Z0BD=ZACB,
AOD〃AC,
VDH±
AC，
ADH±
0D,
・・・DH是圆0的切线;
（2）如图2,在。
0中，VZE=ZB,
・•・由
（1）可知：
ZE=ZB=ZC,
「•△EDC是等腰三角形，
VDHXAC,且点A是EH中点，
设AE=x,EC=4x,则AC=3x,
连接AD,则在。
0中，ZADB=90°
AD±
BD,
TAB=AC,
AD是BC的中点，
AOD是^ABC的中位线，
・・・OD〃AC,OD4rAemX3x=除|2]|2||2|
YOD〃AC,
AZE=ZODF,
在^AEF和△ODF中,
・ZE=ZODF,Z0FD=ZAFE,
AAAEF^AODF,.EF,AE|
・・fdFd,
.幽
・*OD3J-a
・EL=2
・・FD—3；
（3）如图2,设。
0的半径为r,即OD=OB=r,
VEF=EA,
AZEFA=ZEAF,
VOD//EC,
AZFOD=ZEAF,
则/FOD=ZEAF=ZEFA=ZOFD,
ADF=OD=r,
二・DE=DF+EFR1,
・・・BD=CD=DE=rH,
在。
0中，VZBDE=ZEAB,
AZBFD=ZEFA=ZEAB=ZBDE,
ABF=BD,4BDF是等腰三角形，
二・BF=BDR1,
AAF=AB-BF=20B-BF=2r-（1+r）=r-1,
在^BFD和^EFA中，
f/BFDt/EFA
|zb=zer
AABFD^AEFA,
.EF,BF
・・FA-DF，
・1Hr
,r-l-r，
解得：
n芍应，12卢^（舍），乙£
■
综上所述，。
0的半径为上奠.
以CB为半径作。
C,交AC于点D,交AC
【2016成都中考】如图，在RtAABC中，ZABC=90°
的延长线于点E,连接ED,BE.
（1）求证：
△ABDs△AEB；
（2）当2星W时，求lanE；
BC|3
（3）在
（2）的条件下，作NBAC的平分线，与BE交于点F,若AF=2,求。
C的半径.
ac：
zVAB2+Bc2=5,
（3）过点F作FM±
AE于点M,
•・,AB：
BC=4：
3,,,•设
AB—4x,BC—3x,
・••由
（2）可知；
AE=8x,AD=2x,.・・DE=AE-AD=6x,
?
AF平分NBAC,
.BF_AB
.・即一AE'
・世1±
1_
一EF-8j2
tanE」，
2
2V5V5
AcosE^——,shE=——,
T55
・・・EF=-2bE=-§
^.
35
.・・siiE二亚二匹I，西|5|
*/1anE=A
【2015成都中考】如图，在R1AABC中，NABC=90°
AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相较于点D,
E,F,且BF=BC,。
是4BEF的外接圆，NEBF的平分线交EF于点G,交。
0于点H,连接BD,
FH.
（1）求证：
△ABC^AEBF；
（2）试判断BD与。
0的位置关系，并说明理由;
（3）若AB=1,求HG?
HB的值.
（2）BD与e0相切。
理由：
连接OB,则
DBC
DCB
OFB
OBF，
・・・DBODBC
・・・DBOBo
EBO
OBFEBO90,
（3）连接EA,EH,由于DF为垂直平分线,
・・・CEEAV2AB
AEF2BE2BF2
又・・・BH为角平分线，・,・EBH
・・・GHF
EFH
FHB，
HBFHP
45,
HG,
HBHF
即
HGHBHF2,・・•在等腰RtHEF中EF22HF2
・・・HGHBHF21EF220
AC-2BC,过C作AB的垂线1交。
0于另一点D,
【2014成都中考］如图，在。
0的内接△ABC中，NACB=90
垂足为E.设P是AC上异于A,C的一个动点，射线AP交1于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.【来源：
21•世
纪•教育•网】
（1）求证：
△PAC^APDF；
值范围）
解：
（1）同弧所对的圆周角相等NPAC=ZPDC,ZAFD=ZABP=ZACP,.\APAC^APDF；
（2）AP=BP且AB为直径；
・・・△APB为等腰直角三角形；
又TAB=5,AC=2BC；
AAC2«
BC指；
APBP
・••由射影定理可得DE=CE=2,BE=1,AE=4；
又TNAPB=/AEF=90°
；
AFE二NABP二45°
，FE二AE二4；
AP
由
（1）的相似可得——
PD
（3）如图，过点G作GH,PB于点H,
ytanAFDtanABP
GH
AGPH
BGHB
.y
・・_G_H-
xHBPH
又〈AP=BP;
，NHPG二NCAB；
・・_tanCABJL
x2]
・・・y与x之间的函数关系式为y_x.
【2013成都中考］如图，。
0的半径r
25,四边形ABCD内接圆。
0,ACBD于点H,P为CA延长线
（3）在
（2）的条件下，求四边形ABCD的面积.
上的一点，且PDAABD.
（1）PD与圆0相切.
如图，连接D0并延长交圆于点E,连接AE,
VDE是直径，
AZDAE=90°
AZAED+ZADE=90°
VZPDA=ZABD=ZAED,
AZPDA+ZADE=90°
即PD±
DO,
•••PD与圆0相切于点D；
（2）:
tanZADB里
4
・•・可设AH=3k,则DH=4k,
〈PAy生骗，3
二•PA=（班-3）k,
DHV3
・・・PH=4^,
・••在RtAPDH中，tanZP=
AZP=30°
，ZPDH=60°
，
VPD±
D0，
AZBDE=90°
-ZPDH=30°
连接BE,则/DBE=90°
DE=2尸50,.•.BD=DE?
cos30°
2^^；
（3）由
（2）知，BH=25'
"
-4k,
225^3
AHC=3（--4k）,
又・・・pd2x,
…，TAP—x遮黑式」.
=43k[4k+3254k]
V3
k=4-3,
4vsys
AAC=3k+3（25-4k）=24+7,
11」炳炳17小
AS四边形abcd=2BD?
AC夕X25X（24+7）=900+2
补充方法:
舐4jfc|4展-3比
乔・%■-Rfr'
k=-3
iV-TVoK
【2012成都中考］如图，AB是。
0的直径，弦CD，AB于H,过CD延长线上一点E作。
0的切线交AB的延长线于F.切点为G,连接AG交CD于K.
（1）求证：
KE二GE；
（2）若KG2=KD•GE,试判断AC与EF的位置关系，并说明理由;
（3）在
（2）的条件下，若siiE二一AK=2r求FG的长.
（1）如答图1,连接0G.
VEG为切线，,ZKGE+Z0GA=900,
VCD_LAB,・\ZAKH+Z0AG=90°
又0A=0G,Z0GA=ZOAG,
・・・NKGE二NAKH=ZGKE,
・・・KE=GE.
（2）AC〃EF,理由为:
连接GD,如答图2所示.
9
「KG=KD?
GE,
・・・△GKDsAEGK，
・・・NE=NAGD,又NC=NAGD,
・・・ZE=NC,
AAC//EF；
（3）连接0G,0C,如答图3所示.
3
shE=shZACH=—,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t,
TKE=GE，AC〃EF,JCK=AC二5t,AHK=CK-CH=t.
222
在RtAAHK中，根据勾股定理得AH，HKJAK，,
即（3t）2+t2=&
炳）2,解得卜电
设。
0半径为口在RtAOCH中，0C=r,0H=r-3t,CH=4t,
92
由勾股定理得：
OH'
+CH/=0C
22225
即（r-3t）+（4t）=r,解得尸一访
・・・EF为切线，・・・AOGF为直角三角形,
0A长为半径作。
0,。
0经过B、D两点,
及CB的延长线相交于点E、F、G、H.
【2011成都中考】已知：
如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点0为圆心,过点B作BK_LAC,垂足为K。
过D作DH〃KB,DH分别与AC、AB、
AE=CK；
1
②）如果AB=a,AD=_a（a为大于零的常数），求BK的长:
（3）若F是EG的中点，且DE=6,求。
0的半径和GH的长.
（1）证明：
・・,四边形据ABCD是矩形，
・・・AD=BC,
;
BK±
AC,DH//KB,
AZBKC=ZAED=90°
・•・△BKC^AADE,・•・
AE=CK；
（2）,/AB=a,AD^Cl=BC,
:
.AcJ/mZ+EcRdZ+（1a）2=fV10
VBK±
AC,
AABKC^AABC,
ACBK
・•・BLAB，
（3）连接OF,
VABCD为矩形,
・EFOF
.・前前
6=3,
VF是EG的中点，
・・・GF=EF=3,
VAAFD^AHBF,
JHF=FE=3+6=9,
JGH=6,
・，DH〃KB,ABCD为矩形,
AE-=EF?
ED=3X6=18,
・・・AE=3/2,
VAAED^AHEC,
.AE_ED1
・ECHE2
・・・AC=
【2010成都中考】已知：
如图，ABC内接于eO,AB为直径，弦CEAB于F,C是AD的中点，连结BD
并延长交EC的延长线于点G,连结AD,分别交CE、BC于点P、Q.
P是ACQ的外心；
（2）若tanABC,CF8r^CQ的长；
（3）求证：
®
PPQ）2FPgFG.
C是弧AD的中点,
・•・弧AC二弧CD,
・・・NCAD二NABC
TAB是。
0的直径，二.NACB=90°
AZCAD+ZAQC=90°
又CE_LAB,・・・NABC+NPCQ=90°
AZAQC=ZPCQ
/.SAPCQ中，PC=PQ,
・.・CE_L直径AB,・••弧AC二弧AE
・•・弧AE二弧CD
AZCAD=ZACEo
・••在△APC中，有PA=PC,
1•PA二PC二PQ
・・・P是△ACQ的外心。
（2）解:
•・・CE_L直径AB于F,
CF3
・••在RtABCF中，由lanNABC二一CF=8,
BF4
得BF+CF
33
・・・由勾股定理，得BC>
/cF2BF2TO
AB是。
0的直径，
二.在RtAACB中，由tan/ABC=——--
AC3
，BC40
-BC43
得ACBC10o
易知RtAACBsRtAqca,AAC2CQBC
・・・CQAC215。
BC2
（3）证明：
・・・AB是。
0的直径，・・・NACB=90°
AZDAB+ZABD=90°
又CF_LAB,・・・NABG+NG=90°
AZDAB二NG；
・♦.AF^RtAGFB,
AFFP
即AFBFFPFG
FGBF
易知RtAACFsRtACBF,
・・・FG2AFBF（或由摄影定理得）
・•・FCPFFG
由
（1）,知PC=PQ,・•・FP+PQ=FP+PC=FC
J（FPPQ）2FP?
FGo
【2009成都中考】如图，RtAABC内接于。
0,AC=BC,NBAC的平分线AD与。
0交于点D,与BC交于点E,延长
BD,与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点，连结0G.
（1）判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：
AE二BF；
（3）若0GDE3（22）,求。
的面积。
B
B卷（共50分）
一、填空逾：
（每小题4分.共2。
分）
2L.红；
22,%23.唔；
24.（限,磊）,（占
工Ly・2n+l上m-4tn-q
25.4和5.
二,（共8分）
26.解：
（1）根据题意，得
r：
mo-g+80）［（%3O）一如］
=-%1420x+800（1^20,Hz.
%=尸（。
-20）=（-2x+80）（45・20）
B-50菜+2000（21WjcW30.且工为整数）.
⑵在1W*W20,且/为整数时,
・•凡=10尸4900,
「.当毒=10时■用的最大值为900.在21（#030,且工为整数时,
-50%+2000中，%的值随工值的增大而减小.
・・・当工=21时禺的最大值是950.
950>
900,
二当上
=21即在第21天时,日销售利润最大.最大值为950元
三.（共1。
27.
（1）猜想：
06，。
.
如图,连结。
，、。
JOC=O〃.G是CO的中点,
・•・由等腰三角形的性质,有。
C上CD
一•6•2
（2）证明大第是50的直径,・•・乙ACR=90：
而iOE=4sF（同讽所对的圆周角相
等）.
在Rt和Rt△HCF中.
・「乙ACE=L8CF=90\AC=NC,乙CAE=LCBF中
/.RlAACE^Ri^BCF.（ASA）
……1分
…①1分
…②1分
AE=/JF,……3分
（3）解:
如图，过点。
作法?
的垂线，垂足为历
则H为BD的中点.
，0H=9D,即AD=20”.
又乙CAD=乙BAD=CD=RD—OH=0Q在RtABDE和RtA4jPjB中.
/LDBE=ADAC=乙BAD,
Rt△ffDEsRt△AD氏
赍第'
即必I”
・•.BD2=AD•DE=MG・DE=6（2
又BD=FD/,BF=2BD.
「・RF=48加=铁（2-在）,设AC=h，则BC=笈u任.
-AD^^BAC的平分线，
J.LFAD=jLBAD.
在Rt^ABD和RrAAFZ）中，
r/ADB=£
ADF=9T,AD=AD,乙FAD三乙BAD,/.RtAABD9Rt^AFD.（ASA）
；
.AF=AB=&
QD=FD.
CF=AFAC^•flx-工二（立一1）尤在RtABCF中,由勾股定理.得
8尸=暧+C尸=，+［（笈-1）工『=2（2-&
）3.
由①、②，得2（2-依/=24（2-“与・
「•一=12.解得x=跖或-&
，（舍去）.
二犯=任=&
、邛=遍
.）。
0的半径长为而.
・・5^0W77•胡V=6ir.
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