高考数学大一轮复习 第十一章 统计与统计案例 111学案 理 北师大版Word格式.docx
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（5）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．（ ×
（6）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．（ ×
题组二 教材改编
2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）
A．总体B．个体
C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本
答案 A
解析 由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；
其中1名居民的阅读时间是个体；
从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.
3．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为（ ）
A．33,34,33B．25,56,19
C．20,40,30D．30,50,20
答案 B
解析 因为125∶280∶95＝25∶56∶19，
所以抽取人数分别为25,56,19.
4．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是（ ）
A．10B．11C．12D．16
答案 D
解析 从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D.
题组三 易错自纠
5．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）
A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5D．2,4,6,16,32
解析 间隔距离为10，故可能的编号是3,13,23,33,43.
6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
答案 1800
解析 分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1800件.
题型一 简单随机抽样
1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：
抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是（ ）
A．这次抽样中可能采用的是简单随机抽样
B．这次抽样一定没有采用系统抽样
C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率
解析 利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；
这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；
这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误，故选A.
2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08B．07C．02D．01
解析 由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.
3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为
，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意知
＝
，得n＝28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为
，故选C.
思维升华应用简单随机抽样应注意的问题
（1）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否方便；
二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
（2）在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
题型二 系统抽样
典例
（1）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示：
13
3
4
5
6
8
9
14
1
2
7
15
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
解析 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．故选B.
（2）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为（ ）
A．11B．12C．13D．14
解析 由
＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为
＝12.
引申探究
1．若本例
（2）中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”________被抽到．（填“能”或“不能”）
答案 不能
解析 若55被抽到，则55＝5＋20n，n＝2.5，n不是整数．故不能被抽到．
2．若本例
（2）中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________．
答案 28
解析 因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，
所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为
＝28.
思维升华
（1）系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．
（2）使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．
（3）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．
跟踪训练将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A．26,16,8B．25,17,8
C．25,16,9D．24,17,9
解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k（k∈N＋）组抽中的号码是3＋12（k－1）．令3＋12（k－1）≤300，得k≤
，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；
令300<
3＋12（k－1）≤495，得
<
k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；
第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.
题型三 分层抽样
命题点1 求总体或样本容量
典例
（1）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（ ）
A．9B．10C．12D．13
解析 ∵
，∴n＝13.
（2）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于（ ）
A．54B．90C．45D．126
解析 依题意得
×
n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.
命题点2 求某层入样的个体数
典例
（1）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师的人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A.90B．100C．180D．300
解析 由题意得抽样比为
，
∴该样本中的老年教师的人数为900×
＝180.
（2）（2017·
重庆一诊）我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：
今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）
A．104人B．108人
C．112人D．120人
解析 由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×
＝300×
＝108，故选B.
思维升华分层抽样问题类型及解题思路
（1）求某层应抽个体数量：
按该层所占总体的比例计算．
（2）已知某层个体数量，求总体容量或反之：
根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
（3）确定是否应用分层抽样：
分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．
跟踪训练
（1）（2017·
南昌一模）某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人，高二1200人，高三n人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n等于（ ）
A．860B．720
C．1020D．1040
解析 分层抽样是按比例抽样的，
所以81×
＝30，解得n＝1040.
（2）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．
答案 200,20
解析 该地区中小学生总人数为
3500＋2000＋4500＝10000，
则样本容量为10000×
2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2000×
2%×
50%＝20.
五审图表找规律
典例（12分）某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
80
200
中年
120
160
240
600
青年
280
720
1200
320
480
1040
2000
（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
（3）若要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解，则应怎样抽样？
抽取40人调查身体状况
↓（观察图表中的人数分类统计情况）
样本人群应受年龄影响
↓（表中老、中、青分类清楚，人数确定）
要以老、中、青分层，用分层抽样
↓
要开一个25人的座谈会
↓（讨论单位发展与薪金调整）
样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响
↓（表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定）
要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样
要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解
↓可认为全运会是大众体育盛会，一个单位人员对情况了解相当）
将单位人员看作一个整体
↓（从表中数据看总人数为2000）
人员较多，可采用系统抽样
规范解答
解
（1）按老年、中年、青年分层用分层抽样法抽取，[1分]
抽取比例为
.[2分]
故老年人、中年人、青年人各抽取4人，12人，24人．[4分]
（2）按管理、技术开发、营销、生产分层用分层抽样法抽取，[5分]
，[6分]
故管理、技术开发、营销、生产各部门分别抽取2人，4人，6人，13人．[8分]
（3）用系统抽样，
对全部2000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1900，共20人组成一个样本．
[12分]
1．（2018·
广东茂名月考）在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（ ）
A．p1＝p2<
p3B．p2＝p3<
p1
C．p1＝p3<
p2D．p1＝p2＝p3
解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.
2．打桥牌时，将洗好的扑克牌（52张）随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，则这种抽样方法是（ ）
A．系统抽样B．分层抽样
C．简单随机抽样D．非以上三种抽样方法
解析 符合系统抽样的特点，故选A.
3．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
解析 在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为
，故选A.
4．将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为（ ）
A．700B．669C．695D．676
解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号为015，
分段间隔数k＝
＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15＋（35－1）×
20＝695.
5．某工厂的一、二、三车间在11月份共生产了3600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，则二车间生产的产品数为（ ）
A．800B．1000
C．1200D．1500
解析 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的
，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的
，所以二车间生产的产品数为3600×
＝1200.故选C.
6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ）
A．7B．9
C．10D．15
解析 由系统抽样的特点知，抽取号码的间隔为
＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋（n－1）×
30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．
7．（2018·
湖南怀化模拟）某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从4300人中抽取一个样本，这4300人中青年人1600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为（ ）
A．90B．180C．270D．360
解析 设老年人有x人，从中抽取y人，则1600＋3x＝4300，得x＝900，即老年人有900人，则
得y＝180.故选B.
8．（2017·
雅礼中学月考）某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k＝20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应抽取的号码是（ ）
A．177B．157C．417D．367
解析 根据系统抽样的特点可知，抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组应抽取的号码是17＋（8－1）×
20＝157.
9．（2017·
江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
答案 18
∴应从丙种型号的产品中抽取
300＝18（件）．
10．（2017·
潍坊模拟）某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的
.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________．
答案 36
解析 根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×
＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×
＝36.
11.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．
答案 37 20
解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×
5＝37；
由已知条件得，200名职工中40岁以下的职工人数为200×
50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则
，解得x＝20.
12．某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取__________名学生．
答案 60
解析 根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为
300＝60.
13．（2017·
宁夏中卫二模）某市教育主管部门为了全面了解2017届高三学生的学习情况，决定对该市参加2017年高三第一次全省统一考试（后称统考）的32所学校进行抽样调查．将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是（ ）
A．3B．1C．4D．2
解析 根据系统抽样的特点可知，总体分成8组，组距为
＝4，若抽到的最大编号为31，则最小编号是3.
14．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.
一年级
二年级
三年级
女生
373
男生
377
370
答案 16
解析 由题意可知二年级女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×
＝16.
15．（2018·
泉州质检）某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有（ ）
A．36人B．30人C．24人D．18人
解析 设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，x,3x，由题意可得3x－x＝12，x＝6，
∴持“喜欢”态度的有6x＝36（
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