《图形的相似》全章复习与巩固知识讲解提高.docx

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《图形的相似》全章复习与巩固知识讲解提高

《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解（提高）

责编：

常春芳

【学习目标】

1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；

2、掌握黄金分割的定义、性质及应用；

3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念；熟练掌握三角形相似的判定方法以及相似三角形的性质，并能够运用性质与判定解决有关问题；

4、了解位似的概念，做的位似是特殊的相似变换，会利用位似的方法，讲一个图形放大或缩小；

5、了解平行投影和中心投影的基本概念与性质，能综合运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、比例线段及黄金分割

1.比例线段：

对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:

b=c:

d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

要点诠释：

（1）若a:

b=c:

d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）

（2）若a:

b=b:

c，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）．

2.黄金分割的定义：

如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．

3.黄金矩形与黄金三角形：

黄金矩形：

若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.

黄金三角形：

顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．

黄金三角形性质：

底角平分线将其腰黄金分割．

要点二、相似图形

1．相似图形：

在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形（similarfigures）.

要点诠释：

（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等.

2.相似多边形

各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．

要点诠释：

（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（2）相似多边形对应边的比称为相似比.

要点三、相似三角形

1.相似三角形的判定:

判定方法

（一）：

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.

判定方法

（二）：

两角分别相等的两个三角形相似.

要点诠释：

　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（三）：

两边成比例夹角相等的两个三角形相似.

要点诠释：

　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法（四）：

三边成比例的两个三角形相似.

相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；

（3）相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

要点四、图形的位似及投影

1.位似多边形定义:

如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.

要点诠释：

位似图形与相似图形的区别：

位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；

（2）位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

3.作位似图形的步骤

　　第一步：

在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

　　第二步：

作位似中心与各关键点连线；

　　第三步：

在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

　　第四步：

顺次连接各对应点.

要点诠释：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

4.平行投影

在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.

（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

　（3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

　　即：

　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

　　注意：

利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

5.中心投影

在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.

（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

【典型例题】

类型一、黄金分割

1.如图，用纸折出黄金分割点：

裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．

【答案与解析】

设正方形ABCD的边长为2，

E为BC的中点，

∴BE=1

∴AE=，

又B′E=BE=1，

∴AB′=AE-B′E=-1，

∵AB″=AB′=-1

∴AB″：

AB=（-1）:

2

∴点B″是线段AB的黄金分割点．

【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．

举一反三

【变式】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．

求证：

（1）AD=BD=BC；

（2）点D是线段AC的黄金分割点．

【答案】

（1）∵∠A=36°，∠C=72°，

∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，

∴∠ABD=36°，

∴△ADB、△BDC是等腰三角形，

∴AD=BD=BC．

（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，

∴BC：

AC=CD：

BC，

∴BC2=AC•DC，

∵BC=AD，

∴AD2=AC•DC，

∴点D是线段AC的黄金分割点．

类型二、相似三角形

2.已知：

如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？

【答案与解析】

解：

∵AC=a，BC=b，

∴AB=，

①当△ABC∽△BDC时，

即.

②当△ABC∽△CDB时，

，

即.

【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.

举一反三

【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.

（1）求证：

△COM∽△CBA；

（2）求线段OM的长度.

【答案】

（1）证明：

A与C关于直线MN对称，

∴ACMN，∴∠COM=90°，

在矩形ABCD中，∠B=90°，

∴∠COM=∠B，

又∠ACB=∠ACB，

∴△COM∽△CBA，

（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，

∴AC=10，∴OC=5，

△COM∽△CBA，

∴，

∴OM=.

类型三、相似三角形的综合应用

3.（2015•杭州）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．

（1）若=，AE=2，求EC的长；

（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：

线段CP可能是△CFG的高线还是中线？

或两者都有可能？

请说明理由．

【答案与解析】

解：

（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∴，

∵，AE=2，

∴EC=6；

（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．

证明：

∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，

又∵∠CFG=∠ECD，

∴∠CGF=∠PCG，

∴CP=PG，

∵∠CFG=∠ECD，

∴CP=FP，

∴PF=PG=CP，

∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；

②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．

证明：

∵DE⊥AC，

∴∠EDC+∠ECD=90°，

∵∠CFG=∠EDC，

∴∠CFG+∠ECD=90°，

∴∠CPF=90°，

∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．

③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．

【总结升华】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．

4.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．

【答案与解析】

（1）△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM

以下证明△AMF∽△BGM．

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B

∴△AMF∽△BGM．

（2）当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC

∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝，

又∵AMF∽△BGM，∴，

∴，

又∵α＝45°，AB＝，

∴AC=BC=4，

∴，，

∴.

【总结升华】本题考查了相似三角形知识的综合运用，并且渗透了转化思想．

5.如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．

（1）求证：

梯形ABCD是等腰梯形．

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．

【答案与解析】

（1）∵是等边三角形

∴

∵是中点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴梯形是等腰梯形．

（2）在等边中，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵∴，

∴，

∴.

【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.

举一反三

【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．

（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?

【答案】

（1）∵DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，

　∴.

　又∵AB=8，AC=6，，，

　∵，即，

　自变量x的取值范围为.

（2）

　　.

所以当时，S有最大值，且最大值为6.

类型四、图形的位似

6.