动量守恒定律文档格式.docx

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D．刚到达底端时的动量

E．刚到达底端时的动能

分析：

通过本题理解动量、冲量的矢量性，以及动量与动能、功与冲量的区别与联系。

由牛顿定律及运动学公式可知，两物体从顶端滑到底端所用时间是不同的，设高为h，则t1=

即，若θ＜α则t1＞t2，重力冲量IG＝mg·

t，某个力的冲量只与这个力及这个力的作用时间有关，所以选项A不对。

因斜面倾角不同，故物体所受弹力及物体所受合力的方向均不相同，而冲量为矢量，所以选项B、C均不对。

因到达底端时的动量方向均平行斜面向下，二者也不相同，所以选项D也不对。

两种情况下都是只有重力做功，根据机械能守恒定律可知，两物体到达底端时，动能是相同的，动能为标量，没有方向，所以选项E正确。

解答：

本题正确答案是E。

说明：

1．请思考：

（1）本题中若A、B、C、D四选项问的是冲量的大小和动量的大小，答案将如何？

（选项A、B错误，选项C、D正确）。

（2）本题中，若A、B、C三个选项问的是各力做功情况，答案又将如何？

（均正确）

2．冲量与功都跟一定的物理过程相对应，但它们从不同角度描述了力的作用行为，具体比较如下表所示：

冲量

功

力的积累特征

对时间的积累作用

对空间的积累作用

定义式

I＝Ft

W＝Flcosα

矢、标性

矢量

标量

对受力物体的效应

动量改变

动能改变

某力对物体做了功，该力一定有冲量；

而某力有冲量，该力却不一定做功

3．动量和动能都是描述物体运动状态的物理量之一，具体比较如下表所示

动量

动能

P＝mν

变化原因

物体所受的合外力的冲量

外力做功的代数和

二者间大小关系

对于给定的物体，若动能发生了变化，动量也一定发生变化；

而动量发生变化，动能却不一定发生变化。

例2．质量为0.40kg的小球，沿光滑水平面以5.0m/s的速度冲向墙壁，又以4.0m/s的速度被反向弹回，如图5－2所示，求小球动量的增量。

图5－2

通过本题进一步理解动量的矢量性及动量变化在一维情况下的计算方法。

思路是规定正方向，严格按公式计算，已知量中与规定的正方向相同的取正，相反的取负，未知量先按正的计算，得到结果后再根据正、负号确定其方向。

规定初速度v1方向为正方向，则v1＝5.0m/s，v2＝－4.0m/s，有：

∆p＝mv2－mv1＝0.4×

（－4－5）kg·

m/s＝－3.6kg·

m/s，负号表示动量增量与初速度方向相反。

1．解决这类问题的关键是：

选定正方向，确定各已知量的正负。

2．请同学们自己计算：

（1）若规定末速度v2方向为正，如何？

（不影响结果）

（2）此题中，小球动能变化如何？

（减少了1.8J）

3．思考：

如何用矢量图表示本题的动量及动量变化量？

四、针对训练

1．关于冲量和动量，下列说法中错误的是（）

A．冲量是反映力对作用时间累积作用特征的物理量

B．动量是描述物体运动状态的物理量

C．动量方向与物体速度方向相同

D．冲量方向与动量方向一致

2．如图5－3所示，固定的光滑斜面倾角为θ。

质量为m的物体由静止开始从斜面顶端滑到底端，所用时间为t。

在这一过程中（）

图5－3

A．物体所受支持力的冲量为0

B．物体所受支持力的冲量大小为mgcosθ·

t

C．物体所受重力的冲量大小为mg·

D．物体动量的变化量大小为mgsinθ·

3．下列说法正确的是（）

A．两个物体中动量大的物体，其动能也大

B．物体受到的合外力越大，合外力的冲量一定越大

C．物体受到的力的冲量越大，力的作用时间一定越长

D．力对物体有冲量，但力对物体不一定做功

4．如图5－4所示，一质量m＝3.0kg的物体静止在光滑的水平面上，受到与水平方向成60°

角的力F作用，F的大小为9.0N，经2s时间，求：

（1）物体重力冲量大小？

（2）力F的冲量大小？

（3）物体动量的变化量？

（g取10m/s2）

图5－4

第二节动量定理

一个质量为m＝0.20kg的小球，从距地面h1＝1.25m高处由静止开始自由落下，然后被地面反弹，反弹后上升到最高点时距离地面高h2＝0.80m，设小球与地面的作用时间为t＝0.10s，g取10m/s2。

不计空气阻力。

（1）小球刚要落地时动量的大小和方向如何？

下落过程中重力的冲量如何？

（2）小球反弹后刚离开地面时的动量大小和方向如何？

上升到最高点过程中重力的冲量如何？

（3）小球反弹后，上升到最高点的过程，小球的动量变化如何？

与该过程中小球所受重力的冲量有何关系？

（4）小球与地面碰撞过程，小球的动量变化如何？

（5）小球与地面碰撞过程，地面对小球的平均作用力多大？

（6）如果研究从释放小球到反弹到最高点的全过程，应用动量定理，如何列式求得地面对小球的平均作用力？

物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量，这个关系叫做动量定理，表达式为：

I＝p′－p或I＝∆p。

1．动量定理表达式：

I＝∆p。

式中I指的是合外力的冲量或过程中物体所受各力冲量的矢量和，可以是几个力同时作用，也可以每个力的作用时间不同；

∆p指的是物体动量的增量，它的方向可以跟初动量方向相同（同一直线，动量增大）；

也可以跟初动量方向相反（同一直线动量减小或反向运动）；

甚至可以跟初动量成任意角度，（如曲线运动），但∆p一定与合外力冲量I的方向相同。

2．牛顿第二定律的另一种表达形式：

据F＝ma得：

，即作用力F等于物体动量的变化率

，两者大小相等，方向相同。

例1．以速度v0＝10m/s水平抛出一个质量为1.0kg的物体，若在抛出3.0s后未与地面及其它物体相碰，求它在3.0s内动量的变化？

（不计空气阻力，取g＝10m/s2）

本题若用∆p＝mv2－mv1处理，涉及到不在一条直线上的矢量运算问题，比较麻烦且易出错。

根据动量定理F∆t＝∆p，物体动量的变化等于这段时间内合外力的冲量，由于本题中物体所受合外力为定值mg（大小、方向均定），所以用F∆t计算方便。

平抛出去的物体只受重力，所求动量的变化应等于重力的冲量，即：

∆p＝F∆t＝mg·

t＝1.0×

10×

3.0kg·

m/s＝30kg·

m/s，方向向下。

一般求变力的冲量不能用Ft直接求出，用动量定理Ft＝∆p来求解。

只要知道物体的初末状态，就能求出合外力（可以是变力）的冲量I（若F是变力时，它的冲量不能写成Ft，一般用I表示），尤其物体在一条直线上的运动时尤为方便。

如上一专题中例2，若求墙对小球的冲量，实际上即为小球的动量变化量，若给出球跟墙的作用时间，还可求出球受到的平均冲力。

再如质量为m的物体以速率v做半径为R的匀速圆周运动，若求运动半周过程中所受合外力的冲量，因合外力为变力，不能用Ft直接求，可以由物体动量的变化∆p＝mv－（－mv）＝2mv得到I的大小，方向与末动量方向相同。

即，动量定理I＝∆p中等号两端的量—合外力的冲量I和物体的动量变化量∆p是可以互求的。

例2．一粒钢珠从静止状态开始自由下落，然后陷入泥潭中，若把在空中自由下落的过程称为1，进入泥潭直到停住的过程称为2，则：

A．过程1中钢珠动量的改变量等于重力的冲量

B．过程2中阻力的冲量的大小等于过程1中重力的冲量大小

C．过程2中阻力的冲量的大小等于过程1与过程2中重力的冲量大小

D．过程2中钢珠的动量改变量等于阻力的冲量

从动量定理出发，认真分析物理过程，画出运动过程草图和受力图。

注意∆p与I的对应关系。

如图5－5所示，

图5－5

过程1中物体所受合力即为重力，由动量定理知选项A正确。

从开始到最后，v1＝0，v3＝0，即∆p＝0，设向下为正方向，有G（t1＋t2）－ft2＝0，可知ft2≠Gt1，所以选项B错，C正确。

过程2中受G、f两个力，所以选项D错。

本题正确选项AC。

1．研究运动过程，确定始末状态是解题的关键。

注意过程2中也受重力，这是本题容易出错的地方。

2．应用动量定理解决问题时，一定要注意矢量性的问题，应合理地选取正方向，学会化矢量方程为标量方程的方法。

例如，本节问题思考中的（5）小球与地面碰撞过程，地面对小球的平均作用力多大？

前面可求出小球落地和反弹时的速度大小v1＝5.0m/s和v2＝4.0m/s，小球与地面碰撞过程，受重力和地面支持力，设地面对小球的平均作用力为F：

若设向上为正方向，根据动量定理有：

（

－mg）t＝mv2－（－mv1），解得

＝20.0N

若规定向下为正方向，根据动量定理有：

（mg－

）t＝－mv2－mv1，解得

3．请思考：

从能量和做功的角度如何解释本题中的过程1、过程2、及全过程？

（过程1只有重力做功，满足机械能守恒，若已知距泥潭的高度，可求得v2；

过程2重力做正功泥潭阻力做负功，若已知进入泥潭的深度，可根据动能定理求得克服阻力做的功；

全过程初、末动能均为0，全过程重力做的总功等于过程2克服阻力做的功）

4．若泥潭阻力大小不变，如何从牛顿定律和运动学角度解释本过程？

（过程1为自由落体运动，过程2为匀减速运动）

5．我们知道玻璃杯从同一高度落下，掉在石头上比掉在草地上容易碎，是何原因？

由本题的解答过程可知，若t2越短，则F越大。

玻璃杯是否易碎，决定于过程中受力的大小，即动量变化率的

大小，不是玻璃杯所受冲量的大小。

∆p一定时，t越小F越大，t越大F越小。

从释放玻璃杯到落地，（或研究刚要碰石头或草地到静止的过程），玻璃杯的动量变化是相同的，不同的是玻璃杯落在草地上由于草地的缓冲作用，作用时间较长，相应受到冲力就小，不易碎。

例3．水平放置的高压采煤水枪出水口的截面积为S，水的射速为v，射到煤层上后，水速度变为零，若水的密度为ρ，求水对煤层的冲力。

高压水枪射出水的速度极大，可以认为水射到煤层上时，速度仍为水平的且速度大小仍为v，我们取一小段时间内射到煤层上的水进行研究，这部分水在较短时间内速度变为零，煤一定对水产生力的作用，水受到的重力可以不计（为什么？

）。

因此，可以由动量定理来求煤对水的平均作用力，再由牛顿第三定律就知道水对煤的作用力。

设在∆t时间内射出水的质量为∆m，则∆m＝ρSv∆t，∆m也是∆t内与煤层发生作用的水的质量。

以∆m为研究对象，设F为水对煤层的冲力，F′为煤层对水的反冲力，以F′的方向为正方向，∆m在∆t内动量变化为∆p＝∆m[0－（－v）]＝ρSv2∆t,

根据动量定理（忽略水的重力）有

F′∆t＝ρSv2∆t，所以F′＝ρSv2。

根据牛顿第三定律，水对煤层的冲力F的大小也为ρSv2

1．本题的研究对象为“变质量”的“连续”的流体，模型的建立非常重要。

处理这类问题时，一般要假设一段时间∆t内流出的水柱，其长度为v∆t，水柱底面积为S，得水柱体积V＝Sv∆t，故水柱质量为∆m＝ρSv∆t，再用相应的规律进行求解。

2．本题中，每一小段水柱与煤层的冲击作用时间是极短的，冲击力很大，粗略情况下，可以不计重力的影响。

请同学们进一步思考和计算一下本节问题思考中的问题，若小球与地面的作用时间分别为t1＝1.00s，t2＝0.10s，t3＝0.01s，小球与地面碰撞过程，地面对小球的平均作用力各多大？

从中你会发现，碰撞时间越短，小球所受地板的平均作用力越大，小球重力与地板的平均作用力的比值越小。

1．质量不同而动量相同的两个物体，要使它们在相同的时间内静止下来，则（）

A．必须给两物体施以相同的阻力B．必须给质量较大的物体施以较大的阻力

C．必须给速度较大的物体施以较大的阻力D．上述说法都不对

2．质量为m的物块以初速度v0从光滑斜面底端向上滑行，到达最高位置后再沿斜面下滑到底端，则物块在此运动过程中（）

A．上滑过程与下滑过程中物块所受重力的冲量相等

B．整个过程中物块所受弹力的冲量为零

C．整个过程中物块的合外力冲量为零

D．整个过程中物块的合外力冲量大小为2mv0

3．用一根细线悬挂一个重物，把重物拿到一定高度后突然释放，重物可将线拉断，如果在细线上端拴一段橡皮筋，再从同样高度释放重物，细线不再被拉断，这是因为拴上橡皮筋后在细线绷直时与不拴橡皮筋相比较（）

A．重物的动量减小B．重物动量改变量减小

C．重物所受冲量减小D．重物动量的变化率减小

4．质量为1.0kg的小球，由静止开始自由落下，经1.0s落地，然后被反弹起，经0.80s上升到最高点，设小球与地面的作用时间为0.10s，g取10m/s2，求地面对小球的平均作用力？

（不计空气阻力）

第三节动量守恒定律

甲、乙两个溜冰者，质量分别为m甲＝59kg，m乙＝50kg，均以v0＝4.0m/s的速度在同一直线上相向依惯性自由滑行。

甲手持一个质量为m＝1.0kg的球，他将球抛给乙，乙再把球抛还给甲。

整个过程两人始终没有相碰。

不计冰面的阻力。

（1）若甲第一次以v球＝20m/s相对地的水平速度将球抛给乙，则抛出球后甲的速度多大？

（2）乙第一次接到球后，其速度多大？

（3）若乙第一次接到球后，迅速以相对地面相同的速率v球＝20m/s，将球抛还给甲，则乙抛出球后的速度如何？

（4）若这样抛接若干次后，某时刻，甲接到球后的速度恰为零，这时乙的速度如何？

1．内力和外力：

当研究对象不是一个物体而是两个（或多个）物体时，我们说这两个（或多个）物体组成了一个系统。

系统内部物体之间的力叫做内力，系统以外的物体对系统内物体的力叫做外力。

2．动量守恒定律：

如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和恒为零，这个系统的总动量保持不变。

以系统内只有两个物体的情况为例，表达式为

m1v1＋m2v2＝

＋

1．适用动量守恒定律的几种情况：

（1）理想守恒：

系统不受外力或所受外力合力为零，此时合外力冲量为零，故系统动量守恒。

当系统存在相互作用的内力时，由牛顿第三定律得知，相互作用的内力产生的冲量，大小相等，方向相反，使得系统内相互作用的物体动量改变量大小相等，方向相反，系统总动量保持不变。

即内力只能改变系统内各物体的动量，而不能改变整个系统的总动量。

（2）近似守恒：

当外力远小于内力，且作用时间极短，外力的冲量近似为零，或者说外力的冲量比内力冲量小得多，可以近似认为动量守恒。

（3）某方向的动量分量守恒：

如果系统所受外力的矢量和不为零，而外力在某方向上分力的和为零，则系统在该方向上动量守恒。

2．动量守恒定律的特点：

（1）矢量性：

表达式m1v1＋m2v2＝

中守恒式两边不仅大小相等，且方向相同，等式两边的总动量是系统内所有物体动量的矢量和。

在一维情况下，先规定正方向，再确定各已知量的正负，未知量先按正向处理，代入公式求解后再判断未知量的方向。

（2）系统性：

即动量守恒是某系统内各物体的总动量保持不变。

（3）同时性：

动量守恒贯穿于相互作用的全过程，书写时要注意，等式两边分别对应两个确定状态，每一状态下各物体的动量是同时的。

（4）相对性：

表达式中的动量必须相对同一参照物（通常取地面为参照物）。

例1．质量m1＝10g的小球在光滑的水平面上以v1＝30cm/s的速率向右运动，恰遇上质量m2＝50g的小球以v2＝10cm/s的速率向左运动，碰撞后，小球m2恰好停止，那么碰撞后小球、的速度是多大？

方向如何？

由于两小球在光滑水平面上，以两小球组成的系统为研究对象，该系统沿水平方向不受外力，因此系统动量守恒。

碰撞过程两小球组成的系统动量守恒。

设v1的方向，即向右为正方向，则各速度的正负及大小为：

v1＝30cm/s，v2＝－10cm/s，

＝0

据：

代入数值得：

＝－20cm/s

则小球m1的速度大小为20cm/s，方向与v1方向相反，即向左。

1．注意在应用动量守恒定律时要明确以下几个问题：

（1）明确研究对象，即所研究的相互作用的物体系统。

（2）明确所研究的物理过程，分析该过程中研究对象是否满足动量守恒条件。

（3）明确系统中每一物体在所研究的过程中初、末状态的动量及整个过程中动量的变化。

（4）明确参考系，规定正方向，根据动量守恒定律列方程，求解。

2．请同学自己计算

（1）本题中两球碰撞过程，m1球对m2球的冲量如何？

m2球对m1球的冲量如何？

（m1球对m2球的冲量大小是0.005N·

s，方向向右；

m2球对m1球的冲量大小是0.005N·

s，方向向左。

即二者大小相等，方向相反，这是普遍规律，还是特殊现象？

）

（2）本题中，两球碰撞过程，m1球对m2球做功如何？

m2球对m1球做功如何？

（m1球对m2球做功－2.5×

10－3J；

m2球对m1球做功－2.5×

10－3J。

二者均为负功，且大小相等，这是普遍规律，还是特殊现象？

例2．如图5－6所示的装置中，木块B与水平面间接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。

现将子弹、木块和弹簧合在一起做为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中（）

图5－6

A．动量守恒，机械能守恒B．动量不守恒，机械能不守恒

C．动量守恒，机械能不守恒D．动量不守恒，机械能守恒

合理选取研究对象和运动过程，利用机械能守恒和动量守恒的条件分析。

如果只研究子弹A射入木块B的短暂过程，并且只选A、B为研究对象，则由于时间极短，则只需考虑在A、B之间的相互作用，A、B组成的系统动量守恒，但此过程中存在着动能和内能之间的转化，所以A、B系统机械能不守恒。

本题研究的是从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程，而且将子弹、木块和弹簧合在一起为研究对象，在这个过程中有竖直墙壁对系统的弹力作用，（此力对系统来讲是外力）故动量不守恒。

由上面的分析可知，正确选项为B。

1．要加强对外力和内力的理解。

本题所述过程中，墙壁对弹簧的作用力是系统的外力，子弹与木块间的作用力，及木块与弹簧间的作用力是系统的内力。

2．请思考：

（1）内力对系统内物体的冲量及做功的特点？

（2）本题中若研究子弹射入木块后一起压缩弹簧的过程，以子弹、木块和弹簧为研究对象，动量是否守恒，机械能是否守恒？

（动量不守恒，机械能守恒）。

例3．如图5－7所示，甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车的质量共为M＝30kg，乙和他的冰车的质量也是30kg，游戏时，甲推着一个质量为m＝15kg的箱子，和他一起以大小为v0＝2.0m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。

为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。

若不计冰面的摩擦力，求：

甲至少要以多大的速度（相对于地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞？

图5－7

甲、乙不相碰的条件是相互作用后三者速度相同，或甲与乙、箱子的运动方向相反。

而要使甲与乙及箱子的运动方向相反，则需要甲以更大的速度推出箱子。

因本题所求为“甲至少要以多大速度”推出木箱，所以要求相互作用后，三者的速度相同。

以甲、乙和箱子组成的系统为研究对象，因不计冰面的摩擦，所以甲、乙和箱子相互作用过程中动量守恒。

设甲推出箱子后的速度为v甲，乙抓住箱子后的速度为v乙，甲推出箱子的速度为v，则由动量守恒定律，得：

甲推箱子过程：

（M＋m）v0＝Mv甲＋mv①

乙抓住箱子的过程：

mv－Mv0＝（M＋m）v乙②

甲、乙恰不相碰的条件：

v甲＝v乙③

代入数据可解得：

v＝5.2m/s

若甲推出箱子的速度小于5.2m/s或大于5.2m/s，各会出现什么情况？

若甲推出箱子后甲停下来，需以多大的速度推出箱子？

（若甲推出箱子的速度小于5.2m/s，甲向右运动的速度将大于乙和箱子共同向右的速度，甚至是乙和箱子的共同速度是向左的，必会相撞；

若甲推出箱子的速度大于5.2m/s，乙和箱子的共同速度必向右，且一定大于甲向右的速度，甚至是甲推出箱子后停下来或反向运动，必不会相撞。

若甲推出箱子后甲停下来，需以6.0m/s的速度推出箱子。

2．仔细分析物理过程，恰当选取研究对象，是解决问题的关键。

对于同一个问题，选择不同的物体对象和过程对象，往往可以有相应的不同方法，同样可以解决问题。

本例中的解答过程，先是以甲与箱子为研究对象，以甲和箱子共同前进到甲推出箱子为过程；

再以乙和箱子为研究对象，以抓住箱子的前后为过程来处理的。

本题也可以先以甲、乙、箱子三者为研究对象先求出最后的共同速度v＝0.40m/s，再单独研究甲推箱子过程或乙抓住箱子的过程求得结果，而且更为简捷。

1．试分析下列情况中，哪些系统的动量守恒（）

A．在不计水的阻力时，一小船船头上的人，水平跃入水中，由人和船组成的系统

B．在光滑水平面上运动的小车，一人迎着小车跳上车面，由人和小车组成的系统

C．在光滑水平面上放有A、B两木块，其间有轻质弹簧，两手分别挤压A、B木块，突然放开右手，由A、B和弹簧组成的系统

D．子弹打入放在光滑水平面上的木块，子弹和木块组成的系统

2．在光滑水平面上，质量为3m，速度为v的小车，与质量为2m的静止小车碰撞后连在一起运动，则两车碰撞后的总动量是（）

A．

B．2mvC．3mvD．5mv

3．冰车原先在光滑的水平面上匀速滑行，若一人在冰车上先后向前和向后各抛出一个沙包，两沙包的质量和对地速度大小都相同，沙包都抛出去之后，冰车的速率与原来相比（）

A．增大了B．减少了

C．不变D．可能增大也可能减小

4．一个人坐在光滑冰面上静止的小车中，人与车总质量为M＝70kg，当他接到一个质量m＝20kg，以速