大一上学期高数复习要点Word格式文档下载.docx
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首先看定义域然后判断函数的单调区间
求极值和最值
利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符
号）
四.不定积分：
（要求：
将例题重新做一遍）
对原函数的理解
原函数与不定积分
1基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式）
不定积分的性质
f[/（V）±
岸（兀）依=|貞工）必
j=引（k#0）
2第一类换元法（凄微分法〉
2第二类换元法（三角代换无理代换倒
3分韶枳分法
（LT）+rr=mT-L'
V
f=f（^）r^-（UVdxj=b-Jwr
•b■"
fO（冲含有
可考虑用代换IX=<
7sinrr=Qtant
x-asecr
I
最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一
定会取得满意的成绩！
咼数咼频易错点
1.求极限请注意自变量趋向什么。
我们知道：
lim（x趋向0）sinx/x=1，但是当x趋向无穷
limsinx/x=O，原因：
无穷小量x有界函数=无穷小量。
这里：
|sinx|<
=1,1/x是无穷小量。
再次重申：
请注意x趋向什么。
2.关于极限的保号性。
若limf（x）=A,A>
0或（A<
0），则存在S>
0,当x取x0的S去心
x->
xO邻域时,f（x）>
0（或f（x）<
0）。
这是最原始结论：
如果结论中不取去心邻域，那么结论是错的。
比如举例分段函数：
当x=0时，f（x）=-1，当x不为0时，f（x）=xA2+1,显然lim（x
趋向0）f（x）=1>
0，然而并不满足f（x）>
0（在x=0处）。
介绍这个定理的作用：
解一类题。
请看：
已知f（x）可导，且当x趋向0,limf（x）/|x|=1，判断f（x）是否存在极值点。
因为f（x）可
导，那么f（x）必连续，因为lim（x趋向0）f（x）/|x|=1这个极限存在且为1，那么我们得到结
论：
lim（x趋向0）f（x）=0，否则不会存在极限的，又因为f（x）连续，那么f（0）=0，令f（x）/|x|=g（x），根据保号性，因为limg（x）=1>
0，那么：
g（x）>
0，那么由于|x|在x趋向0
时>
0,所以f（x）>
0，而0=f（0），所以f（x）>
f（0），根据极小值的定义，x=0为f（x）的极小值点。
★综上：
已知limg（x）=a,a的正负已知，可以使用保号性。
3.请注意当题目说：
x趋向无穷时，那么题目包含两个意思：
x趋向正无穷和x趋向负无穷。
在含有eAx,arctanx，等等类的题目时，请看清楚x趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无
穷。
补充：
在含有绝对值的题目时，这点尤其重要，如果说x趋向无穷，那么在去||时，必须考虑凶中x是趋向正无穷还是负无穷，当然题目不一定非要以绝对值出现，有些题会以
V（xA2）出现。
4.关于和差化积积化和差公式的记忆。
8字口诀：
同c异s,s异c同。
前者用来记住积化和
差，后者用来记住和差化积。
举例：
sinacosb=?
因为它们的三角函数名异名，那么使用s,
sinacosb=（1/2）（sin（a+b）+sin（a-b）），★说明：
1，纯粹个人记忆方法，接受不了也正常；
2,这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓，比如所有的积化和差，右边是1/2（（）+（或
者-）（））;
3,实在不会，死记硬背吧，或者请教别的大神。
5.关于极值点的3种判别法：
■法一：
定义法；
■法二：
若f（x）可导，f（xo）=0，且f'
'
（x）不为0,则f（x）在xo处取得极值，若二阶导<
0,取得极大；
>
0,极小。
法三：
（n阶判别法）:
若f（xo）=二阶导（xo）=—=n-1阶导（xo）=0，且n阶导不为0,若n为偶数，且n阶导>
0,极小，反之，极大；
若n为奇数，n阶导不等于0,则（xo,f（xo）为拐点，xo不是极值点。
证明：
略
6.参数方程二阶导问题（无数不懂事的孩子搞不清楚），我们说一般地，y'
表示对x的二阶
导数，不是对参数t的二阶导数。
y"
=dA2y/dxA2=[d（dy/dx）]/dx，对于求dy/dx，我们采
用求关于t的y'
⑴，和关于t的x'
（t），因为dy/dx=（dy/dt）x（dt/dx）=y'
（t）/x‘（t）。
已知y=cost,x=tA2，那么求dy/dx,dA2y/dxA2。
标准解答：
1:
y'
（t）=-sint,x'
（t）=2t,
所以dy/dx=-sint/2t；
2:
dA2y/dxA2=d（dy/dx）/dx={d[（-sint）/2t]}/dt*
（dt/dx）=（-tcost+sint）/（4tA3）★综上：
二阶导是一个整体记号，不是简单的除法。
7.等价无穷小只能使用于乘除（题外：
其实它可以使用于加减的，这里不说，以防混淆）。
比
如：
初学者可能会认为这个极限为0,lim（x趋向0）（tanx-sinx）/xA3=0[计算思路：
（x-x）/xA3=0]，事实上它等于1/2.原因：
提取tanx后等价无穷小。
等价无穷小必须自己去背的，没有人可以帮你。
8.对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。
错误一：
把变量当做常量。
比如：
y=xAx，标准
解答Iny=xInx，两边对x求导，y'
/y=1+lnx，所以y'
=（xAx）（1+lnx）。
错误做法：
y=x^x，
y'
=x（xA（x-1））=xAx。
（但愿你们找到了错误在哪），错误二：
搞不清楚对x求导是什么意思。
当然：
y=x^2求导大家都会吧，y'
=2x，当出现对yA2=xA2，很多同学就迷茫了，我们说y是
x的函数，所以最后必须乘y'
，对yA2=xA2求导，得到：
2yy'
=2x.再则：
对隐函数求导我们把其中一个看成常量，比如y=yx+xA2，那么求导：
=y+y'
x+2x。
★综上：
对隐函数求导，
若是单独y,求导为y'
，一切关于y的函数（比如中2，Iny,aAy等），先对这个函数求导再乘y'
.
9.函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题，与它的邻域无关，也就是说点可导，在中心点
的去心邻域内的点未必可导。
比如函数f（x）=0当x是有理数。
f（x）=xA2当x是无理数。
只在x=0处点连续，并可导。
按定义可验证在x=0处导数为0.
10.无穷小x有界=无穷小，但是：
无穷大x有界未必等于无穷大。
正确结论：
无穷大x有界
=未知，比如：
当x趋向正无穷，x,xA2始终为无穷大，而1/x,1/xA2为有界量。
注意到：
x*（1/xA2）=1/x就是一个无穷小，而xA2*（1/x）=x却是无穷大，而x*（1/x）=1却是有限的。
11.可导与连续是完全不一样的。
有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo连续，特别开
心，他说易得：
左导=右导=f（xo），你太天真了。
其实：
连续是说左极限=右极限=f（xo），可导是：
lim（x->
xo）f（x）=f（xo），且左导=右导。
请搞清楚你要处理的问题。
不要学了一个学
期都是云里雾里，当然一学期没上过一节课的同学，除外。
在一元函数微分学中，可导必然连续，连续未必可导（这个显然嘛，y=|x|在x=0处连续但是不可导）。
12.很多初学者认为：
/（a到x）f（t）dt中，变量是t,这是错的，你忽略了变限积分的来历，
自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。
记住：
这里x是变量，它求导=f（x）。
13.还有人问为什么高等数学中分母可以为0,他说比如0/0不是以0为分母，他的错误在于没
有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0,它表示极限0,由于极限等于0,我们
习惯称为0/0形式。
也就是说：
若没有lim这个符号，0/0没有意义。
事实上：
再比如：
货真价实的数字1,1A无穷=1，若是（极限1）a无穷，则结果待定。
★★★高等数学中由于极限的四则运算包括幕指数运算无法解决形如：
0/0,1人无穷，无穷/无穷，等等7类运算。
为此，
产生了7种特殊的式子：
不定式。
由于结果不确定，所以称之为不定式。
♦综上：
我们现在学的是高等数学，几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论，但是你不能抛弃原
有的初等数学知识理论，并且注意区分。
14.求数列极限不可直接使用洛必达，数列是整标函数，每个孤立点不连续，不可导，故不
符合洛必达的条件1,为此：
正确做法：
先令n为x，再使用洛必达，最后换为n.
15.无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大［但是请注意：
这里的无穷小除去了0。
16.x趋向0,limsinx/x=1不可以使用洛必达法则证明，原因：
（sinx）‘=cosx这个公式的证
明使用了limsinx/x=1，所以犯了循环论证的错误〜
17.关于洛必达法则的运用条件绝非0/0,无穷/无穷那么简单。
洛必达的3个条件：
⑴x^a
时，limf（x）=0,limF（x）=0;
⑵在点a的某去心邻域内f（x）与F（x）都可导，且F（x）的导数不等于0;
⑶xfa时，lim（f（x）/F'
（x））存在或为无穷大
则xfa时，lim（f（x）/F（x））=lim（f（x）/F'
（x））,♦♦♦请注意：
1,第三点很容易
被忽略，一般地：
含有lim（x趋向无穷）sinx，或者cosx，是不会采用洛必达的；
2,在解
含有抽象函数f（x）时尤其注意第二点，在求最后一步导时我们使用的是导数定义，也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来，因为你不确定它最后一步时是否满足第二个条件，所
以每次做含有抽象函数的题使用洛必达+最后一步使用导数定义！
3，单侧极限对于第二点
的要求只是去心邻域内单侧可导。
（如果你不注意以上这些，虽然在平常考试时有些老师不
在意，但是如果你考研的话是会扣一半分以上的）
18.一般地：
我们有以下结论：
lim（x趋向xo）f（x）=a，则必然有lim（x趋向xo）|f（x）|=|a|。
★若a不为0,上述结论的逆命题未必成立［大多是不成立的］，若a=0,上述结论逆
命题仍然成立！
19.并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解［尽管极坐标是一个好方法］。
在使用极
坐标时，应该同时注意到：
B和p的任意性。
（x,y）趋向（0,0）,求lim（xy）/（xy）,容易证明该极限不存在（一条路径：
y=x，另一条：
y=xA2-x），倘若使用极坐标，则得：
limp（cos0sin0）/（cos0+sin0），此时有分母出现0的可能（取0=45度），因此不确定该极限是否存在，本法失效，或者说：
你无法证明（cos0sin0）/（cos0+sin0）有界。
综
上：
倘若使用极坐标，须同时考虑0,p的任意性，不可盲目使用。
20.注意仅当y=f（x）时有：
=f（x）。
若y=f（■），■不等于x时，y'
不等于f（■）。
y=f（xA2）,y'
=f（xA2）2x,而不是等于珍人2）。
下面说明f（■）和［f（■）］'
的区别：
f（■）表示已知f（x）的表达式，并且把■当做x代入，这个过程是代值过程；
而［f（■）］'
的意思是求导，至于对谁求导，则根据■确定。
仅当■=x时，f（■）=［f（■）］'
即：
f（x）=［f（x）］'
，其他情况没有这个式子。
综上：
［f（■）］'
=f'
（■）・’。
21.一元函数中说f（x）连续可导不是指f（x）既连续又可导，“连续可导”意思是说f（x）的
导函数连续。
ps：
f（x）的导函数连续当然有f（x）既可导又
连续，反之不然。
22.还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式：
asinx+bcosx=V但人2+匕人2罔n（x+u）,其
中u=arctan（b/a）,强制要求a>
0;
asinx+bcosx=V（aA2+bA2）cos（x+u）,其中
u=arctan（-a/b）,强制要求
b>
0。
■ps：
为什么要强制要求？
［以
第一个为例，第二个同理］原因在于：
我们既然采用了用u=arctan［b/a］来确定u的值，好
处在于u在［-派/2，派/2］上是一一对应的（因为y=tanx在该范围内单调），事实上，u的范围就是卜派/2，派/2］，由此我们再来看给出的公式：
asinx+bcosx=V但人2+匕人2罔n（x+u）,
将右边展开得：
V（aA2+bA2）cosusinx+V但人2+匕人2罔nucosx，根据待定系数原则可得：
cosu=a/V（aA2+bA2），倘若我们不控制a>
0，比如取a<
0的话，那么cosu<
0，显然u的范围
已经落在二三象限中去了，而我们规定u在［-派/2，派/2］，即一四象限，由此出现矛盾，
所以a必须大于0,u的范围才吻合公式左右。
23.有谁考虑过为什么要强制要求重积分中上限不小于下限？
其实，原因很简单。
在于：
d0,
d0,dp,dx,dy,dz,dr都是正数。
24.一个关于三角换元小疑问的研究与解答。
我相信不止一个人考虑过这个问题。
求
定积分1=/［0,a］V［aA2-xA2］dx,当然可以用面积来做，这里为了说明疑问，不用面积做，
而用三角换元做。
★书上对定积分换元法的说明是这样的：
设f（x）在［a,b］上连
续，【当t从a变到3时，x=0（t）要从0（a）=a（单调地）变到0（3）=b,这里不必要求0（t）单调，即不必要求x=0（t）有反函数存在】，但不允许x=0（t）的取值变到区间［a,b］
之外。
此外，还要求0（t）在［a,3］上具有连续的导数0'
（t），这时，定积分的换元公式
才成立。
■:
简单说就是满足两个条件，单值加连续导数。
■
下面来做本题：
令x=asint，则dx=acostdt,【当x=0时，t取0,x=a时，t取：
派/2】，对于这个【】里面的过程有些同学无法接受，［问题1］凭什么x=0,t要取0,为什么不可以
取派或者别的使得式子成立的t?
［问题2］凭什么一定要上限>
下限。
解答问题1:
首先为
了满足单值，不可以取一个形如［派，5派/2］的区间去对应原来的［0,a］尽管相对于x
尽管相对x=asint来说不存在任何问题，但是你忽略了定积分换元的条件［单值］，在此区间［派，5派/2］内x=asint不是单值的［意思是：
令x=k，解得t不唯一］。
所以不能取一个区间不满足单值的。
你取一个［0,派/2］这样的就是合适的，当然你取［派，派/2］这个
也是对的，为什么请看证明？
我们无疑地知道1=/［0,a］V［aA2-xA2］dx=派aA2/4［用面积
显然］,下面通过计算来说明为什么取t属于［派，派/2］也是正确的。
匸/［0,
a］V［aA2-xA2］dx=/［派到（派/2）］a|cost|costdt。
［说明：
这里开根号注意是绝对值］，由
于此时t的范围是［派，派/2］，所以cost<
0，去绝对值时请注意这点，下面再用降幕公式
易证答案正确。
ps：
你取任何一个单值区间满足题意都是正确的。
只不过计算
过程的问题。
解答问题2：
事实［问题1］证明在换元时可以上限<
■:
三角换元可以取你想取的值，但是请注意使用条件以及计算的简便化。
末了附注：
本题中a>
25.收敛级数加括号仍然收敛，发散级数加括号未知；
正项级数敛散形不受加括号的影响。
求极限的计算方法总结（转）
极限定义.运算注则和一瞬果
1.走义：
（各种类型的极限的严格定义参见《嵩等数学》函援教材‘这里不一一叙述人4
说明：
（1）一些最简单的数列或国数的极限（极限值可次观察得到）都可以.用上面的・
极限严格定义证明，例如：
lim—=0（a占为常数且口h0）jlim（3x-1）=5艸悶an
ot当I^|<
19寸不存在，当I0Z1时
⑴在后面求极限时，
（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需
再用根限严格定义证明。
•
2-扱限运算法则
主理1已知曲f（x）,品匱（Q都存在，极限值分别为zbE,则下面极限都存在,
且有
（1）^a[f（x）±
s^=A±
B^
（2）Em/（x）-^（x）=A-
⑶臥型二乜,此时需月hQ成立”SWB
说明；
摄限号下面的根限过程是一致的」同时注青法则成立的条件，当条件不満足时,
不能用。
屮
3-两个重要橇眼
萨sinx”
（1）lim=1
%
1
⑵lim（1+x）x=e
HT0
不仅要能够运用这两个重要根限本身，还应能够熟练运用它们破形形式』”
4-等价无穷齐
走哩工无穷寸弓有界函数的乘积仍然是无穷小（即概限是0人・
定理3^x->
0时，下歹|歴癮都是无穷中I即极限是Q片即有：
X~sinx~tanx〜arcsinx~arctanx^In（l-hx）^eJ-1*屮
当上Si毎何釣中苏自变量斗换成詆©
时（g（©
T0）・仍有上面的等价"
3x2
关系成立”例如当XTq时*e~x-1~3xtln（l-x2）〜-x\.
主理4如果函数/（门岸（巧/00偽⑴都是XT%时的无穷小，且/（X）—
f（X）f（x）
ZW,/力~釣00,则当limd二存在时，lim-i—也存在且等于g\（x）与gOO
/（x）lim攀，和Hm供Jim唄'
上T%g]（工）丄-%g（工）fSl（X）
4洛比达法则
定aMi设当目变量Y趋近干某一运值（或无穷大）at函数/（刈和烈刈兩足：
⑴"
0和童3的极眼都罡o戒都绘无穷大…
（2）fs和倉（对都可导，且g（p的导数不为0八」
（3〉lim厶①存柱〈或屋无穷大八
gM
廷理5称为洛比达法血用i亥法则^极限时，应注倉条件眾否;
》足」只要有一《不
鬲足，济比达法!
Wlt不能应用女特别要注惫条件（I）罡否满足，定曙证所求按限
0oc
是否为嘤”型或一，'
型声件⑴一瞬晦足・而条件⑶则衽求导完毕
0x
厉可以知道是否満足。
另?
卜，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前部需要注
意条件。
珅
忙连续性*
定理6一切连续函数在其定冥去间内的底处都连续，即如果兀是函数/U）的定义去间
内的一点扌则有血/（x）=/（忑）—
XT屯
二桜限存在准则
定理7（准则1）单调有界数列必有損限。
卩
定理S（准则2）已知｛耳｝*｛儿｝,｛耳｝为三个数列，且满定：
+
⑴儿兰耳3耀，（丹=丄2,3八）屮
（2）limvp=aflimzM=
JW®
JW®
则极限Hm兀一罡存在，且极限倩也是a,即lim叭二a。
a
两re用fas
二*求桜限方法举例
k用初需方妙吃氐再利用楸限返算甑俅顾
注：
本顆也可朗潘比达潮b
曲——）
—1（工一1）（伍二T-丄）4
洌1Inn石（J匚-2_Jh_]）
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例』limx:
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）=1的一个谨鏡扬
所以原式心：
訂二斗拓*
九利用两牛墜要勰求极幅
v1-COSX
酸辄飞厂
專俺址可叨昭比达潴和
例6limJJ-3sinx）xI-fiHirEY曲
诫：
原式=Km（1—3sinx）_Ji：
rj'
=limT（1-3sinx）]一7-
XTQXTV*
例学Inn（巴二）"
n-t-1
qJJ*1_qft+1-3^
解：
原^=Hm（1+—^-）~=Hm[（1+。
iH-r1fW+l
4利用圭遲】求瘍艮
原式Tt定理】的结果k
h利用等价无穷小优换4）求穰眶
Cl|n怙xki（1^3x）
例9血.厂忘
arctan（jt）
®
X->
C0寸jln（l-3玄）~3x,arctanCr;
）^x:
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r-女
-■-原S=lim^=3o
tx
解用也m弋也咅m
J。
x-smxh*x-smx
下面的鶴法是错误的:
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