大一上学期高数复习要点Word格式文档下载.docx
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首先看定义域然后判断函数的单调区间
求极值和最值
利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断(注意二阶导数的符
号)
四.不定积分:
(要求:
将例题重新做一遍)
对原函数的理解
原函数与不定积分
1基本积分表基本积分表(共24个基本积分公式)
不定积分的性质
f[/(V)±
岸(兀)依=|貞工)必
j=引(k#0)
2第一类换元法(凄微分法〉
2第二类换元法(三角代换无理代换倒
3分韶枳分法
(LT)+rr=mT-L'
V
f=f(^)r^-(UVdxj=b-Jwr
•b■"
fO(冲含有
可考虑用代换IX=<
7sinrr=Qtant
x-asecr
I
最后达到的效果是会三算两证(求极限,求导数,求积分)(极限和中值定理的证明),一
定会取得满意的成绩!
咼数咼频易错点
1.求极限请注意自变量趋向什么。
我们知道:
lim(x趋向0)sinx/x=1,但是当x趋向无穷
limsinx/x=O,原因:
无穷小量x有界函数=无穷小量。
这里:
|sinx|<
=1,1/x是无穷小量。
再次重申:
请注意x趋向什么。
2.关于极限的保号性。
若limf(x)=A,A>
0或(A<
0),则存在S>
0,当x取x0的S去心
x->
xO邻域时,f(x)>
0(或f(x)<
0)。
这是最原始结论:
如果结论中不取去心邻域,那么结论是错的。
比如举例分段函数:
当x=0时,f(x)=-1,当x不为0时,f(x)=xA2+1,显然lim(x
趋向0)f(x)=1>
0,然而并不满足f(x)>
0(在x=0处)。
介绍这个定理的作用:
解一类题。
请看:
已知f(x)可导,且当x趋向0,limf(x)/|x|=1,判断f(x)是否存在极值点。
因为f(x)可
导,那么f(x)必连续,因为lim(x趋向0)f(x)/|x|=1这个极限存在且为1,那么我们得到结
论:
lim(x趋向0)f(x)=0,否则不会存在极限的,又因为f(x)连续,那么f(0)=0,令f(x)/|x|=g(x),根据保号性,因为limg(x)=1>
0,那么:
g(x)>
0,那么由于|x|在x趋向0
时>
0,所以f(x)>
0,而0=f(0),所以f(x)>
f(0),根据极小值的定义,x=0为f(x)的极小值点。
★综上:
已知limg(x)=a,a的正负已知,可以使用保号性。
3.请注意当题目说:
x趋向无穷时,那么题目包含两个意思:
x趋向正无穷和x趋向负无穷。
在含有eAx,arctanx,等等类的题目时,请看清楚x趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无
穷。
补充:
在含有绝对值的题目时,这点尤其重要,如果说x趋向无穷,那么在去||时,必须考虑凶中x是趋向正无穷还是负无穷,当然题目不一定非要以绝对值出现,有些题会以
V(xA2)出现。
4.关于和差化积积化和差公式的记忆。
8字口诀:
同c异s,s异c同。
前者用来记住积化和
差,后者用来记住和差化积。
举例:
sinacosb=?
因为它们的三角函数名异名,那么使用s,
sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b)),★说明:
1,纯粹个人记忆方法,接受不了也正常;
2,这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓,比如所有的积化和差,右边是1/2(()+(或
者-)());
3,实在不会,死记硬背吧,或者请教别的大神。
5.关于极值点的3种判别法:
■法一:
定义法;
■法二:
若f(x)可导,f(xo)=0,且f'
'
(x)不为0,则f(x)在xo处取得极值,若二阶导<
0,取得极大;
>
0,极小。
法三:
(n阶判别法):
若f(xo)=二阶导(xo)=—=n-1阶导(xo)=0,且n阶导不为0,若n为偶数,且n阶导>
0,极小,反之,极大;
若n为奇数,n阶导不等于0,则(xo,f(xo)为拐点,xo不是极值点。
证明:
略
6.参数方程二阶导问题(无数不懂事的孩子搞不清楚),我们说一般地,y'
表示对x的二阶
导数,不是对参数t的二阶导数。
y"
=dA2y/dxA2=[d(dy/dx)]/dx,对于求dy/dx,我们采
用求关于t的y'
⑴,和关于t的x'
(t),因为dy/dx=(dy/dt)x(dt/dx)=y'
(t)/x‘(t)。
已知y=cost,x=tA2,那么求dy/dx,dA2y/dxA2。
标准解答:
1:
y'
(t)=-sint,x'
(t)=2t,
所以dy/dx=-sint/2t;
2:
dA2y/dxA2=d(dy/dx)/dx={d[(-sint)/2t]}/dt*
(dt/dx)=(-tcost+sint)/(4tA3)★综上:
二阶导是一个整体记号,不是简单的除法。
7.等价无穷小只能使用于乘除(题外:
其实它可以使用于加减的,这里不说,以防混淆)。
比
如:
初学者可能会认为这个极限为0,lim(x趋向0)(tanx-sinx)/xA3=0[计算思路:
(x-x)/xA3=0],事实上它等于1/2.原因:
提取tanx后等价无穷小。
等价无穷小必须自己去背的,没有人可以帮你。
8.对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。
错误一:
把变量当做常量。
比如:
y=xAx,标准
解答Iny=xInx,两边对x求导,y'
/y=1+lnx,所以y'
=(xAx)(1+lnx)。
错误做法:
y=x^x,
y'
=x(xA(x-1))=xAx。
(但愿你们找到了错误在哪),错误二:
搞不清楚对x求导是什么意思。
当然:
y=x^2求导大家都会吧,y'
=2x,当出现对yA2=xA2,很多同学就迷茫了,我们说y是
x的函数,所以最后必须乘y'
,对yA2=xA2求导,得到:
2yy'
=2x.再则:
对隐函数求导我们把其中一个看成常量,比如y=yx+xA2,那么求导:
=y+y'
x+2x。
★综上:
对隐函数求导,
若是单独y,求导为y'
,一切关于y的函数(比如中2,Iny,aAy等),先对这个函数求导再乘y'
.
9.函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题,与它的邻域无关,也就是说点可导,在中心点
的去心邻域内的点未必可导。
比如函数f(x)=0当x是有理数。
f(x)=xA2当x是无理数。
只在x=0处点连续,并可导。
按定义可验证在x=0处导数为0.
10.无穷小x有界=无穷小,但是:
无穷大x有界未必等于无穷大。
正确结论:
无穷大x有界
=未知,比如:
当x趋向正无穷,x,xA2始终为无穷大,而1/x,1/xA2为有界量。
注意到:
x*(1/xA2)=1/x就是一个无穷小,而xA2*(1/x)=x却是无穷大,而x*(1/x)=1却是有限的。
11.可导与连续是完全不一样的。
有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo连续,特别开
心,他说易得:
左导=右导=f(xo),你太天真了。
其实:
连续是说左极限=右极限=f(xo),可导是:
lim(x->
xo)f(x)=f(xo),且左导=右导。
请搞清楚你要处理的问题。
不要学了一个学
期都是云里雾里,当然一学期没上过一节课的同学,除外。
在一元函数微分学中,可导必然连续,连续未必可导(这个显然嘛,y=|x|在x=0处连续但是不可导)。
12.很多初学者认为:
/(a到x)f(t)dt中,变量是t,这是错的,你忽略了变限积分的来历,
自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。
记住:
这里x是变量,它求导=f(x)。
13.还有人问为什么高等数学中分母可以为0,他说比如0/0不是以0为分母,他的错误在于没
有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0,它表示极限0,由于极限等于0,我们
习惯称为0/0形式。
也就是说:
若没有lim这个符号,0/0没有意义。
事实上:
再比如:
货真价实的数字1,1A无穷=1,若是(极限1)a无穷,则结果待定。
★★★高等数学中由于极限的四则运算包括幕指数运算无法解决形如:
0/0,1人无穷,无穷/无穷,等等7类运算。
为此,
产生了7种特殊的式子:
不定式。
由于结果不确定,所以称之为不定式。
♦综上:
我们现在学的是高等数学,几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论,但是你不能抛弃原
有的初等数学知识理论,并且注意区分。
14.求数列极限不可直接使用洛必达,数列是整标函数,每个孤立点不连续,不可导,故不
符合洛必达的条件1,为此:
正确做法:
先令n为x,再使用洛必达,最后换为n.
15.无穷大的倒数是无穷小,无穷小的倒数是无穷大[但是请注意:
这里的无穷小除去了0。
16.x趋向0,limsinx/x=1不可以使用洛必达法则证明,原因:
(sinx)‘=cosx这个公式的证
明使用了limsinx/x=1,所以犯了循环论证的错误〜
17.关于洛必达法则的运用条件绝非0/0,无穷/无穷那么简单。
洛必达的3个条件:
⑴x^a
时,limf(x)=0,limF(x)=0;
⑵在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;
⑶xfa时,lim(f(x)/F'
(x))存在或为无穷大
则xfa时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F'
(x)),♦♦♦请注意:
1,第三点很容易
被忽略,一般地:
含有lim(x趋向无穷)sinx,或者cosx,是不会采用洛必达的;
2,在解
含有抽象函数f(x)时尤其注意第二点,在求最后一步导时我们使用的是导数定义,也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来,因为你不确定它最后一步时是否满足第二个条件,所
以每次做含有抽象函数的题使用洛必达+最后一步使用导数定义!
3,单侧极限对于第二点
的要求只是去心邻域内单侧可导。
(如果你不注意以上这些,虽然在平常考试时有些老师不
在意,但是如果你考研的话是会扣一半分以上的)
18.一般地:
我们有以下结论:
lim(x趋向xo)f(x)=a,则必然有lim(x趋向xo)|f(x)|=|a|。
★若a不为0,上述结论的逆命题未必成立[大多是不成立的],若a=0,上述结论逆
命题仍然成立!
19.并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解[尽管极坐标是一个好方法]。
在使用极
坐标时,应该同时注意到:
B和p的任意性。
(x,y)趋向(0,0),求lim(xy)/(xy),容易证明该极限不存在(一条路径:
y=x,另一条:
y=xA2-x),倘若使用极坐标,则得:
limp(cos0sin0)/(cos0+sin0),此时有分母出现0的可能(取0=45度),因此不确定该极限是否存在,本法失效,或者说:
你无法证明(cos0sin0)/(cos0+sin0)有界。
综
上:
倘若使用极坐标,须同时考虑0,p的任意性,不可盲目使用。
20.注意仅当y=f(x)时有:
=f(x)。
若y=f(■),■不等于x时,y'
不等于f(■)。
y=f(xA2),y'
=f(xA2)2x,而不是等于珍人2)。
下面说明f(■)和[f(■)]'
的区别:
f(■)表示已知f(x)的表达式,并且把■当做x代入,这个过程是代值过程;
而[f(■)]'
的意思是求导,至于对谁求导,则根据■确定。
仅当■=x时,f(■)=[f(■)]'
即:
f(x)=[f(x)]'
,其他情况没有这个式子。
综上:
[f(■)]'
=f'
(■)・’。
21.一元函数中说f(x)连续可导不是指f(x)既连续又可导,“连续可导”意思是说f(x)的
导函数连续。
ps:
f(x)的导函数连续当然有f(x)既可导又
连续,反之不然。
22.还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式:
asinx+bcosx=V但人2+匕人2罔n(x+u),其
中u=arctan(b/a),强制要求a>
0;
asinx+bcosx=V(aA2+bA2)cos(x+u),其中
u=arctan(-a/b),强制要求
b>
0。
■ps:
为什么要强制要求?
[以
第一个为例,第二个同理]原因在于:
我们既然采用了用u=arctan[b/a]来确定u的值,好
处在于u在[-派/2,派/2]上是一一对应的(因为y=tanx在该范围内单调),事实上,u的范围就是卜派/2,派/2],由此我们再来看给出的公式:
asinx+bcosx=V但人2+匕人2罔n(x+u),
将右边展开得:
V(aA2+bA2)cosusinx+V但人2+匕人2罔nucosx,根据待定系数原则可得:
cosu=a/V(aA2+bA2),倘若我们不控制a>
0,比如取a<
0的话,那么cosu<
0,显然u的范围
已经落在二三象限中去了,而我们规定u在[-派/2,派/2],即一四象限,由此出现矛盾,
所以a必须大于0,u的范围才吻合公式左右。
23.有谁考虑过为什么要强制要求重积分中上限不小于下限?
其实,原因很简单。
在于:
d0,
d0,dp,dx,dy,dz,dr都是正数。
24.一个关于三角换元小疑问的研究与解答。
我相信不止一个人考虑过这个问题。
求
定积分1=/[0,a]V[aA2-xA2]dx,当然可以用面积来做,这里为了说明疑问,不用面积做,
而用三角换元做。
★书上对定积分换元法的说明是这样的:
设f(x)在[a,b]上连
续,【当t从a变到3时,x=0(t)要从0(a)=a(单调地)变到0(3)=b,这里不必要求0(t)单调,即不必要求x=0(t)有反函数存在】,但不允许x=0(t)的取值变到区间[a,b]
之外。
此外,还要求0(t)在[a,3]上具有连续的导数0'
(t),这时,定积分的换元公式
才成立。
■:
简单说就是满足两个条件,单值加连续导数。
■
下面来做本题:
令x=asint,则dx=acostdt,【当x=0时,t取0,x=a时,t取:
派/2】,对于这个【】里面的过程有些同学无法接受,[问题1]凭什么x=0,t要取0,为什么不可以
取派或者别的使得式子成立的t?
[问题2]凭什么一定要上限>
下限。
解答问题1:
首先为
了满足单值,不可以取一个形如[派,5派/2]的区间去对应原来的[0,a]尽管相对于x
尽管相对x=asint来说不存在任何问题,但是你忽略了定积分换元的条件[单值],在此区间[派,5派/2]内x=asint不是单值的[意思是:
令x=k,解得t不唯一]。
所以不能取一个区间不满足单值的。
你取一个[0,派/2]这样的就是合适的,当然你取[派,派/2]这个
也是对的,为什么请看证明?
我们无疑地知道1=/[0,a]V[aA2-xA2]dx=派aA2/4[用面积
显然],下面通过计算来说明为什么取t属于[派,派/2]也是正确的。
匸/[0,
a]V[aA2-xA2]dx=/[派到(派/2)]a|cost|costdt。
[说明:
这里开根号注意是绝对值],由
于此时t的范围是[派,派/2],所以cost<
0,去绝对值时请注意这点,下面再用降幕公式
易证答案正确。
ps:
你取任何一个单值区间满足题意都是正确的。
只不过计算
过程的问题。
解答问题2:
事实[问题1]证明在换元时可以上限<
■:
三角换元可以取你想取的值,但是请注意使用条件以及计算的简便化。
末了附注:
本题中a>
25.收敛级数加括号仍然收敛,发散级数加括号未知;
正项级数敛散形不受加括号的影响。
求极限的计算方法总结(转)
极限定义.运算注则和一瞬果
1.走义:
(各种类型的极限的严格定义参见《嵩等数学》函援教材‘这里不一一叙述人4
说明:
(1)一些最简单的数列或国数的极限(极限值可次观察得到)都可以.用上面的・
极限严格定义证明,例如:
lim—=0(a占为常数且口h0)jlim(3x-1)=5艸悶an
ot当I^|<
19寸不存在,当I0Z1时
⑴在后面求极限时,
(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需
再用根限严格定义证明。
•
2-扱限运算法则
主理1已知曲f(x),品匱(Q都存在,极限值分别为zbE,则下面极限都存在,
且有
(1)^a[f(x)±
s^=A±
B^
(2)Em/(x)-^(x)=A-
⑶臥型二乜,此时需月hQ成立”SWB
说明;
摄限号下面的根限过程是一致的」同时注青法则成立的条件,当条件不満足时,
不能用。
屮
3-两个重要橇眼
萨sinx”
(1)lim=1
%
1
⑵lim(1+x)x=e
HT0
不仅要能够运用这两个重要根限本身,还应能够熟练运用它们破形形式』”
4-等价无穷齐
走哩工无穷寸弓有界函数的乘积仍然是无穷小(即概限是0人・
定理3^x->
0时,下歹|歴癮都是无穷中I即极限是Q片即有:
X~sinx~tanx〜arcsinx~arctanx^In(l-hx)^eJ-1*屮
当上Si毎何釣中苏自变量斗换成詆©
时(g(©
T0)・仍有上面的等价"
3x2
关系成立”例如当XTq时*e~x-1~3xtln(l-x2)〜-x\.
主理4如果函数/(门岸(巧/00偽⑴都是XT%时的无穷小,且/(X)—
f(X)f(x)
ZW,/力~釣00,则当limd二存在时,lim-i—也存在且等于g\(x)与gOO
/(x)lim攀,和Hm供Jim唄'
上T%g](工)丄-%g(工)fSl(X)
4洛比达法则
定aMi设当目变量Y趋近干某一运值(或无穷大)at函数/(刈和烈刈兩足:
⑴"
0和童3的极眼都罡o戒都绘无穷大…
(2)fs和倉(对都可导,且g(p的导数不为0八」
(3〉lim厶①存柱〈或屋无穷大八
gM
廷理5称为洛比达法血用i亥法则^极限时,应注倉条件眾否;
》足」只要有一《不
鬲足,济比达法!
Wlt不能应用女特别要注惫条件(I)罡否满足,定曙证所求按限
0oc
是否为嘤”型或一,'
型声件⑴一瞬晦足・而条件⑶则衽求导完毕
0x
厉可以知道是否満足。
另?
卜,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前部需要注
意条件。
珅
忙连续性*
定理6一切连续函数在其定冥去间内的底处都连续,即如果兀是函数/U)的定义去间
内的一点扌则有血/(x)=/(忑)—
XT屯
二桜限存在准则
定理7(准则1)单调有界数列必有損限。
卩
定理S(准则2)已知{耳}*{儿},{耳}为三个数列,且满定:
+
⑴儿兰耳3耀,(丹=丄2,3八)屮
(2)limvp=aflimzM=
JW®
JW®
则极限Hm兀一罡存在,且极限倩也是a,即lim叭二a。
a
两re用fas
二*求桜限方法举例
k用初需方妙吃氐再利用楸限返算甑俅顾
注:
本顆也可朗潘比达潮b
曲——)
—1(工一1)(伍二T-丄)4
洌1Inn石(J匚-2_Jh_])
…亦KM"
)-。
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叨T7胃心庙辭匣式七g.时-
例3fcn
九利用函徵踽删<
^B«
)彌目
例』limx:
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剧眈心•2SEM/(■<
)=1的一个谨鏡扬
所以原式心:
訂二斗拓*
九利用两牛墜要勰求极幅
v1-COSX
酸辄飞厂
專俺址可叨昭比达潴和
例6limJJ-3sinx)xI-fiHirEY曲
诫:
原式=Km(1—3sinx)_Ji:
rj'
=limT(1-3sinx)]一7-
XTQXTV*
例学Inn(巴二)"
n-t-1
qJJ*1_qft+1-3^
解:
原^=Hm(1+—^-)~=Hm[(1+。
iH-r1fW+l
4利用圭遲】求瘍艮
原式Tt定理】的结果k
h利用等价无穷小优换4)求穰眶
Cl|n怙xki(1^3x)
例9血.厂忘
arctan(jt)
®
X->
C0寸jln(l-3玄)~3x,arctanCr;
)^x:
f
r-女
-■-原S=lim^=3o
tx
解用也m弋也咅m
J。
x-smxh*x-smx
下面的鶴法是错误的: