金融工程期末练习题答案文档格式.docx
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，若存在另一种概率
**
Ste-rt
=
Et
（St+τ
e-r（t+τ
）
，则称
P*
为
的等价鞅测度。
四、计算题
每季度计一次复利的年利率为
14%，请计算与之等价的每年计一次复利的年利率和连
续复利年利率。
解：
利用复利计算公式：
1
+
m
每年计一次复利的年利率=（1+0.14/4）4-1=14.75%
连续复利年利率=4ln（1+0.14/4）=13.76%。
2、一只股票现在价格是
40
元，该股票一个月后价格将是
42
元或者
38
假如无风险利
率是
8%，分别利用无风险套利方法、风险中性定价法以及状态价格定价法计算执行价格
39
元的一个月期欧式看涨期权的价值。
无风险套利方法：
考虑这样的证券组合：
购买一个看涨期权并卖出
Δ
股股票。
如果股
票价格上涨到
元，组合价值是
42Δ-3；
如果股票价格下降到
38Δ。
若两者相等，则
42Δ-3=38Δ，Δ=075。
可以算出一个月后无论股票价格是多少，组合
的
价值都是
28.5，今天的价值一定是
28.5
的现值，即
28.31=28.5
e-0.08×
0.08333。
即-
f+40Δ=28.31，f
是看涨期权价格。
f=1.69。
风险中性定价法：
按照风险中性的原则，我们首先计算风险中性条件下股票价格向上变动
的概率
p,它满足等式：
42p+38（1-p）=40e0.08×
0.08333,p=0.5669,期权的价值是：
f=（3×
0.5669+0×
0.4331）e-0.08×
0.08333=1.69
状态价格定价法：
d=38/40=0.95，u=42/40=1.05，从而上升和下降两个状态的状态价格分别
1-
0.95e-0.08/12
为：
π
u
=
de-r（T
-t）
-
d
0.5631，
1.05
0.95
πd
=
ue-r（T
-t）
-1
/
40e-0.08/12
40
=0.
4302
从而期权的价值
f
=0.5631×
3+0.4302×
0=1.69
3、一只股票现在价格是
100
有连续两个时间步，每个步长
6
个月，每个单步二叉树预
期上涨
10%，或下跌
10%，无风险利率
8%（连续复利），求执行价格为
元的看涨期
权的价值。
按照本章的符号，u=1.1,d=0.9,r=0.08,所以
p=（
e0.08×
0.5-0.9）/（1.1-0.9）=0.7041。
这里
p
是
风险中性概率。
该股票和以该股票为标的资产的期权的价格变化如下图
121
21
110
C1
100
99
C
90
C2
81
从而
C2=0,C1=（0.7041*21+0.2959*0）×
0.5=14.21
期权的价值
C=（0.7041*C1+0.2959*C2）
×
0.5=9.61
第三章
1、远期利率协议是针对多时期利率风险的保值工具。
2、买入一份短期利率期货合约相当于存入一笔固定利率的定期存款。
3、远期利率协议到期时，多头以实现规定好的利率从空头处借款。
1、远期合约的多头是（A）
A.合约的买方B.合约的卖方C.
交割资产的人D
经纪人
2、在“1×
4FRA”中，合同期的时间长度是（C）。
A.1
个月B.4
个月C.3
个月D
5
个月
3、假设
个月期利率是
9％，12
10％，18
个月期利率为
12%，则
6×
12FRA
的定价的理论价格为（D）
A.12%B.10%C.10.5%D
11%
1、FRA
买卖双方同意从未来某一商定的时期开始在某一特定时期内按协议利率借贷一笔数额
确定、以具体货币表示的名义本金的协议。
2、SAFE
双方约定买方在结算日按照合同中规定的结算日直接远期汇率用第二货币向卖方买入
一定名义金额的原货币，然后在到期日再按合同中规定的到期日直接远期汇率把一定名义
金额原货币出售给卖方的协议。
1、某股票预计在
2
个月和
个月后每股分别派发
元股息，该股票目前市价等于
30，所
有期限的无风险连续复利年利率均为
6%，某投资者刚取得该股票
个月期的远期合约空
头，请问：
①该远期价格等于多少？
若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始值等于
多少？
②3
个月后，该股票价格涨到
35
元，无风险利率仍为
6%，此时远期价格和该合约
空头价值等于多少？
（1）2
个月后派发的
元股息的现值=e-0.06⨯2/12+e-0.06⨯5/12=1.96
远期价格=（30-1.96）e0.06⨯0.5=28.89
元
若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价格为
0。
（2）3
个月后的
个月派发的
元股息的现值=
e-0.06⨯2/12=0.99
远期价格=（35-0.99）e0.06⨯3/12=34.52
此时空头远期合约价值=（28.89-34.52）e-0.06⨯3/12=-5.55
2、假设目前白银价格为每盎司
80
元，储存成本为每盎司每年
元，每
个月初预付一次，
所有期限的无风险连续复利率均为
5%，求
个月后交割的白银远期的价格。
个月储藏成本的现值=0.5+0.5e-0.05⨯3/12+0.5e-0.05⨯6/12=1.48
白银远期价格=（80+1.48）e0.05⨯9/12=84.59
3、1992
年
月
18
日（交易日），一家德国公司预计在
1993
月份需要
500
万德国马
克资金，由于担心未来利率上升，于是当天签订了一份名义本金为
万德国马克的
FRA，合约利率为
7.23%，合约期限为
186
天。
在确定日
日，德国马克的
LIBOR
固定在
7.63%的水平上。
假定公司能以
7%的利率水平投资。
在
日，
公司可以按当时的市场利率加上
30
个基本点借入
万德国马克，这一协议是结算日
20
日签订的，并于
天后在最终结算日
22
日进行偿付。
计算净借款
成本及相应的实际借款利率。
日收到的结算总额为：
（参考利率－合同利率）×
合同金额×
（合同
期限/天数基数）/（1+参考利率×
（合同期限/天数基数））
（0.0763－0.0723）×
5000000×
（186/360）/[1+0.0763×
186/360]＝9941.43
在最后到期日的具体现金流量为：
359.55=9941.43×
7%×
186/360
投资收益
从
FRA
中获得的总收入：
（9941.43+359.55）=10300.98
以
7.93%借入
万马克
天的利息：
204858.33=
7.93%×
186/360
减去
收入后的净借款成本
194557.35=10300.98－204858.33
与净借款成本相应的实际借款利率
7.53%
194557.35/
5000000/
（186/360
4、假设
10％，求：
（1）6×
12FRA
的定价；
（2）当
个月利率上升
1％时，FRA
的价格如何变动；
（3）当
12
（4）当
个月利率均上升
的价格如何变动。
∧
答案要点：
由远期利率的计算公式
r
（
*
t
T
）-
r（T
t
T
的定价为
11%。
=（10％*12-9％*6）/6
（2）该
的价格下降
1%。
（3）该
的价格上升
2%。
（4）该
第四章
1、在利率期货交易中，若未来利率上升则期货价格下降。
2、利率期货的标的资产是利率。
3、如果不存在基差风险，则方差套期保值比率总为
1。
4、由于在
CBOT
交易的债券期货合约的面值为
万美元，因此，为了对价值
1000
万美
元的债券资产完全保值，必须持有
份合约。
5、根据逐日结算制，期货合约潜在的损失只限于每日价格的最大波动幅度。
1、利用预期利率的上升，一个投资者很可能（A）
A．出售美国中长期国债期货合约B
在小麦期货中做多头
C
买入标准普尔指数期货和约D
在美国中长期国债中做多头
在芝加哥交易所按
2005
月的期货价格购买一份美国中长期国债期货合约，如果
期货价格上升
个基点，到期日你将盈利（损失）（D）乘数
1000
损失
2000
美元B
美元C.盈利
美元D
盈利
美元
3、在期货交易中，由于每日结算价格的波动而对保证金进行调整的数额称为（C）。
A.初始保证金B.维持保证金C.变动保证金D.以上均不对
4、若一种可交割债券的息票率高于期货合约所规定的名义息票率，则其转换因子（A）。
A.大于
1B.等于
1C.小于
1D.不确定
5、当一份期货合约在交易所交易时，未平仓合约数会（D）
增加一份B.
减少一份C.不变D.以上都有可能
6、在下列期货合约的交割或结算中，出现“卖方选择权”的是（B）。
A.短期利率期货B.债券期货C.股价指数期货D．每日价格波动限制
1、转换因子
芝加哥交易所规定，空头方可以选择期限长于
15
年且在
年内不可赎回的任何国债
用于交割。
由于各种债券息票率不同，期限也不同，因此芝加哥交易所规定交割的标准券
为期限
年、息票率为
6%的国债，其它券种均得按一定的比例折算成标准券。
这个比例
称为转换因子。
2、利率期货
利率期货是指标的资产价格依赖于利率水平的期货合约，如长期国债期货、短期国债
期货和欧洲美元期货。
1、假设标准普尔
指数现在的点数为
点，该指数所含股票的红利收益率每年为
5%，3
个月期的标准普尔指数期货的市价为
950
点，3
个月期无风险连续复利年利率为
10%，3
个月后指数现货点数为
1100
点。
请问如何进行套利？
（复利计算）
假定套利金额为
万美元。
第一步，按各成份股在指数中所占权重卖空成分股；
第
二步，将卖空成分股所得款项
万美元按无风险利率贷出
个月；
第三步，买入
分
个月期的标准普尔
指数期货；
第四步，3
个月后收回本金
万美元，利息收入为：
1000×
（e0.1×
-1）=25.32（万美元）；
第五步，3
个月后按市价买回成分股，平掉股票的空
仓，则股票现货亏损（1100-1000）×
1000/1000=100[（1000-1100）/1000]×
1000（万美元）；
第六步，3
个月后按指数现货点数
对期货头寸进行结算，盈利（1100-950）
500×
20=1500000（美元）=150（万美元）；
第七步，此次套利总盈利：
25.32-
100+150=75.32
2、假设
XX
日，某公司投资经理
A
得知
个月后公司将会有一笔$970,000
资金流入并将用于
90
天期国库券投资。
已知当前市场上
天期国库券的贴现率为
12%，
收益曲线呈水平状（即所有的远期利率也均为
12%），明年
月份到期的
天国库券期货
合约的价格为$970,000。
请说明如何进行套期保值。
解答：
该投资经理预计
个月后的那笔资金$970,000
刚好购买一份面值为$1,000,000
的
天期国库券。
为了预防
个月后
天期国库券的价格上涨，该投资经理决定买入
份
个
月后到期的
天期短期国库券期货合约进行套期保值。
假设到了
日，市场上
天期国库券的收益下降为
10%，则同样购买
份面值为
$1,000,000
天期国库券需要的资金为
$975,000（$975,000=$1,000,000－0.10×
$1,000,000×
90/360），因此，现货市场上亏损了
$5,000。
而此时，原有的国库券期货合约恰好到期，期货的收益率应等于现货的收益率，
也为
10%，故该期货合约的价格也上涨为$975,000，期货市场上的盈利就为$5,000。
期货
市场与现货市场的盈亏恰好可以相抵，有效地达到了保值的目的。
3、假定我们已知某一国债期货合约最合算的交割券是息票利率为
14%，转换因子为
1.3650
的国债，其现货报价为
118
美元，该国债期货的交割日为
270
天后。
该交割券上一
次付息是在
60
天前，下一次付息是在
122
天后，再下一次付息是在
305
天后，市场任何期
限的无风险利率均为年利率
10%（连续复利）。
请根据上述条件求出国债期货的理论价格。
首先，可以运用公式求出交割券的现金价格为：
60
182
其次，要算出期货有效期内交割券支付利息的现值。
由于期货有效期内只有一次付息，
是在
天（0.3342
年）后支付
7
美元的利息，因此利息的现值为：
7e-0.3342⨯0.1=6.770
再次，由于该期货合约的有效期还有
天（即
0.7397
年）可以运用公式算出交割券
期货理论上的现金价格为：
（120.308－7.770）⨯e0.7397⨯0.1=121.178
再其次，要算出交割券期货的理论报价。
由于交割时，交割券还有
148
270-
天）的累计利息，而该次付息期总天数为
183
天－122
天）运用公式，可求
出交割券期货的理论报价为：
121.178
⨯
148
183
15.5168美元
84.628或84
20
最后，可以求出标准券的期货报价：
115.5168
4、7
日，一家服装零售公司看好今年的秋冬季服装市场，向厂家发出大量订单，并准
备在
日从银行申请贷款以支付货款
月份利率为
9.75%，该公司考虑
若
月份利率上升，必然会增加借款成本。
于是，该公司准备用
月份的
天期国库券期
货做套期保值。
（a）设计套期保值方式，说明理由；
（b）9
日申请贷款
万美元，期限
个月，利率
12%，计算利息成本；
（c）7
日，9
天期国库券期货报价为
90.25；
日，报价为
88.00，计算
期货交易损益；
（d）计算该公司贷款实际利率。
答案：
①该公司欲固定未来的借款成本，避免利率上升造成的不利影响，应采用空头套期
保值交易方式：
日卖出
天期国库券期货，待向银行贷款时，再买进
9
天期国库券期货平仓。
期货交易数量为
张合约（每张期货合约面值
元）。
②利息成本：
1000万美元万12%
3个月
12个月
30
③
日：
每
美元的期货价值为
f＝100－（100－IMM
指数）（90/360）=100－（100－90.25）（90/360）＝97.5625（美元）
每张合约的价值为
1000000×
97.5625÷
100＝975625（美元）
卖出
张期货合约，总价值为
10×
975625＝9756250（美元）
元的期货价值为
f=100－（100－88.00）（90/360）＝97（美元）
97÷
100＝970000（美元）
买进
970000＝9700000（美元）
所以，期货交易赢利
9756250－9700000＝56250（美元）
④套期保值后实际利息成本＝利息成本－期货交易盈利＝300000－56250（1+12%×
0.25）
＝242060
美元。
实际利率
242060
360
10000000
第五章
1、互换头寸的结清方式之一是对冲原互换协议，这一方式完全抵消了违约风险。
1、下列说法正确的是（C）
A．互换协议从
1984
年开始走向标准化，开始在交易所内交易
B．利率互换中固定利率的支付频率与浮动利率的支付频率是相同的
C．利率互换采取净额结算的方式
D．以上说法都不对
1、利率互换
利率互换（Interest
Rate
Swaps）是指双方同意在未来的一定期限内根据同种货币的同
样的名义本金交换现金流，其中一方的现金流根据浮动利率计算出来，而另一方的现金流
根据固定利率计算。
2、货币互换
货币互换是在未来约定期限内将一种货币的本金和固定利息与另一货币的等价本金和
固定利息进行交换。
1、考虑一个
2003
日生效的三年期的利率互换，名义本金是
亿美元。
B
公司同
意支付给
公司年利率为
5％的利息，同时
公司同意支付给
公司
个月期
利息，利息每半年支付一次。
请画出
公司的现金流量表。
公司的先进流量如下表：
日期LIBOR（5%）收到的浮动利息支付的固定利息净现金流
2003.9.14.20
2004.3.14.80+2.10－2.50－0.40
2004.9.15.30+2.40－2.50－0.10
2005.3.15.50+2.65―2.50＋0.15
2005.9.15.60+2.75－2.50＋0.25
2006.3.15.90+2.80－2.50＋0.30
2006.9.16.40+2.95－2.50＋0.45
2、A
公司和
公司如果要在金融市场上借入
年期本金为
万美元的贷款，需支付的
年利率分别为：
固定利率浮动利率
公司12.0％LIBOR+0.1%
公司13.4％LIBOR+0.6%
公司需要的是浮动利率贷款，B
公司需要的是固定利率贷款。
请设计一个利率互换，
其中银行作为中介获得的报酬是
0.1％的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。
公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势，但
公司想借的是浮动利率贷款。
而
公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势，但
公司想借的是固定利率贷款。
这
为互换交易发挥作用提供了基础。
两个公司在固定利率贷款上的年利差是
1.4%，在浮动利
率贷款上的年利差是
0.5。
如果双方合作，互换交易每年的总收益将是
1.4%－0.5%=0.9%。
因为银行要获得
0.1%的报酬，所以
公司每人将获得
0.4%
的收益。
这意味着
公司将分别以
LIBOR－0.3%和
13%的利率借入贷款。
合适
的协议安排如图所示。
12.3%12.4%
12%A金融中介BLIBOR+0.6%
LIBORLIBOR
6、设计一个案例，说明利率互换可以降低互换双方的融资成本。
信用评级分别为
AA
和
BB
的两个公司均需进行
万美元的
年期借款，
公司欲以浮动利率融资，而
公司则希望借入固定利率款项。
由于公司信用等级不同，
故其市场融资条件亦有所差别，如下表所示：
固定利率浮动利率
公司11％LIBOR＋0.1％
公司12％LIBOR＋0.5％
与
公司相比，BB
公司在浮动利率市场上必须支付
个基点的风险溢价，而在固
定利率市场的风险溢价高达
个基点，即
公司拥有浮动利率借款的比较优势，于是
双方利用各自的比较优势向市场融资，然后进行交换：
公司以
11％的固定利率、BB
公
司以（LIBOR＋0.5％）的浮动利率各借款
万美元，然后二者互换利率，AA
按
LIBOR
向
支付利息，而
11.20％向
支付利息。
利率互换的流程如下：
11.2％
公司BB
公司
11％LIBOR＋0.5％
固定利率市场
浮动利率市场
通过互换，二者的境况均得到改善：
对于
公司，以
11％的利率借款，收入
的固定利息并支付
的净结果相当于按
减
个基点的条件借入浮动利率资金；
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