学年高中数学 21 平面向量的实际背景及基本概念导学案 新人教A版必修4doc.docx

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学年高中数学21平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4doc

2019-2020学年高中数学2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4

【学习目标】

1.通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；

2.掌握向量的几何表示；理解向量的模、零向量与单位向量的概念.

3.在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.

【学习过程】

一、自主学习

（一）知识链接：

复习：

有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有没有，这类量我们称之为数量.而力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有又有的量；那这样的量叫什么呢？

（二）自主探究：

（预习教材P74-P77）

探究一：

向量的概念：

数学中，我们把这种既有，又有的量叫做向量.

问题1：

数量和向量的异同点有哪些？

探究二：

向量的表示法

问题2：

向量有几种表示方法？

⑴我们常用来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.

⑵以为起点，为终点的有向线段记作，线段的长度称为模，记作.有向线段包含三个要素：

⑶有向线段也可用字母如，，表示.

探究三：

几个特殊的向量

零向量：

长度为的向量；单位向量：

长度等于的向量.

平行向量（共线向量）：

方向相同或相反的非零向量.若向量，平行，记作：

.因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量

问题3：

如何理解零向量的方向？

探究四：

相等向量：

长度相等且的向量叫做相等向量，用有向线段表示的向量与相等，记作：

.

二、合作探究

1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：

⑴，点在点的正北方向；

⑵，点在点南偏东方向.

2、教材P75例1

学法指导：

请将教材上的空白处填好。

先用刻度

尺量出图上距离，再算出实际距离。

；。

3、如下图，设是正六边形的中心，分别写出图中与，

，相等的向量.

变式：

（1）与相等的向量有哪些？

（2）与相等吗？

与相等吗？

三、目标检测（A组必做，B组选做）

A组：

1、下列说法正确的是（）.

　A．向量与向量的长度不等B．两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同

　C．零向量没有方向　D．任一向量与零向量平行

2、在四边形中，，则相等的向量是（）.

A.与B.与

C.与D.与

3、边长为3的等边的底边上的中线

向量的模为.

4、四边形和都是平行四边形.

⑴与向量相等的向量有哪些？

⑵若，则向量的模等于多少？

B组：

1、若，且，则四边形的形状为（）.

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形

2、下列命题中，说法正确的有

①若，，则；②若，，则；

③若，则或；

④若，则,,,是一个平行四边形的四个顶点.

3、在正方体中，与平行的向量有哪些？

四、课后作业

这节课我学到了什么？

还有哪些地方我还没弄懂？

五、课后反思

班级：

组别：

组号：

___________姓名：

§2.2.1向量的加法运算及其几何意义

【学习目标】

1.通过实际例子，掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及几何意义。

2.灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。

【学习过程】

一、自主学习

（一）知识链接：

复习：

周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.

（二）自主探究：

（预习教材P80—P84）

探究一：

向量加法——三角形法则和平行四边形法则

问题1：

在复习中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？

1、向量加法的三角形法则：

已知非零向量，在平面内任取一点A，作

，则向量__________叫做与的和，记作_____________，

即=_______=__________。

这个法则就叫做向量求和的三角形法则。

2、向量加法的平行四边形法则：

以同起点O两个向量，（）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线___________，就是与的和。

这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。

问题2：

想想两个法则有没有共同的地方？

3、对于零向量与任意向量，我们规定+=___________=_______.

探究二：

向量加法的交换律和结合律

问题3：

数的运算律有哪些？

类似的，向量的加法是否也有运算律呢？

4、对于任意向量，，向量加法的交换律是：

_____________；结合律是：

_____________。

二、合作探究

1、已知向量、，求作向量.

讨论：

当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？

小结1：

在三角形法则中“首尾相接”，是第二个向量的与第一个向量的重合.

小结2：

当，不共线时，；

当，同向时，；当，反向时，（或）.

2、一架飞机向北飞行400km，然后改变方向向东飞行300km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.

三、目标检测（A组必做，B组选做）

A组：

1.在平行四边形ABCD中，等于（）

A．B．C．D．

2.下列等式不正确的是（）.

A.B.C.D.

3.在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点．下列结论正确的是（　　）

A．＝，＝B．＋＝

C．＋＝＋D．＋＋＝

4.=；=.

B组：

1、在矩形ABCD，，则向量的长度等于（）

A．B．C．12D．6

2、已知||＝8，||＝5，则||的取值范围是

3、若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA

的中点，求证：

＝

四、课后作业

五、课后反思

这节课我学到了什么？

还有哪些地方我还没弄懂？

班级：

组别：

组号：

___________姓名：

§2.2.2向量的减法运算及其几何意义

【学习目标】

1.通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；

2.能运用向量减法的几何意义解决一些问题。

【学习过程】

一、自主学习

（一）知识链接：

复习：

求作两个向量和的方法有法则和法则。

（二）自主探究：

（预习教材P85—P87）

探究：

向量减法——三角形法则

问题1：

我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？

如何理解向量的减法呢？

相反向量：

与的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是。

问题2：

任一向量与其相反向量的和是什么？

如果、是互为相反的向量，那么，，.

2、向量的减法：

我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即是互为相反的向量，

那么=____________，=____________，=____________。

问题3：

请同学们利用相反向量的概念，思考的作图方法.

3、已知，，在平面内任取一点O，作，则__________=，即可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量的终点到的终点作向量，那么所得向量是________。

这就是向量减法的几何意义.以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.

二、合作探究

1、阅读并讨论P86例3和例4

变式：

如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）

A.＝B.＋＝

C.－＝D.＋＝

2、在△ABC中，是重心，、、分别是、、的中点，

化简下列两式：

⑴；

⑵.

变式：

化简.

三、目标检测（A组必做，B组选做）

A组

1.下列等式中正确的个数是（）

.①；②；③；④；⑤

A.2B.3C.4D.5

2.在△ABC中，，则等于（）

.A.B.C.D.

3.化简的结果等于（）

.A.B.C.D.

4.在正六边形中，，，则=.

5.已知、是非零向量，则时，应满足条件.

B组

1、化简：

=_______________。

2、在△ABC中，向量可表示为（）

①②③④

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④

四、课后作业

五、课后反思

这节课我学到了什么？

还有哪些地方我还没弄懂？

班级：

组别：

组号：

___________姓名：

§2.2.3向量数乘运算及其几何意义

【学习目标】

1.掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；

2.理解两个向量共线的含义；掌握向量的线性运算性质及其几何意义.

【学习过程】

一、自主学习

（一）知识链接：

复习：

向量减法的几何意义是什么？

（二）自主探究：

（预习教材P87—P90）

探究：

向量数乘运算与几何意义

问题1：

已知非零向量，作出：

①；②.通过作出图形，

同学们能否说明它们的几何意义？

1、一般地，我们规定_______________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作，它的长度与方向规定如下：

（1）=________;

（2）当_________时，的方向与的方向相同；

当_______时，的方向与方向相反，

当_________时，=。

问题2：

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意义.

2、向量数乘运算律，设为实数。

（1）_______；

（2）_________；（3）_________；

（4）________=___________；（5）______________；

（6）对于任意向量,，任意实数恒有=_______________。

问题3：

引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？

3、两个向量共线（平行）的等价条件：

如果共线，那么_____________。

二、合作探究

1、计算：

⑴；⑵；

⑶.

已知两个两个向量和不共线，，，，

求证：

、、三点共线.

如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，，

你能用、表示、、、吗？

三、目标检测（A组必做，B组选做）

A组

1.下列各式中不表示向量的是（）

A.B.C.D.（，且）

2.下列向量、共线的有（）

①；②；③；

④（不共线）

A.②③B.②③④C.①③④D.①②③④

3.中，，，且与边相交于点，的中线与相交于点.设，，用、分别表示向量.

B组

1、设两非零向量不共线，且，则实数k的值为

2、若，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

四、课后作业

五、课后反思

这节课我学到了什么？

还有哪些地方我还没弄懂？

班级：

组别：

组号：

___________姓名：

§2.3.1平面向量基本定理

§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

【学习目标】

1.掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.。

【学习过程】

一、自主学习

（一）知识链接：

复习1：

向量、是共线的两个向量，则、之间的关系可以表示为.

复习2：

给定平面内任意两个向量、，请同学们作出向量、.

（二）自主探究：

（预习教材P93—P96）

探究：

平面向量基本定理

问题1：

复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？

1.平面向量的基本定理:

如果,是同一平面内两个的向量，是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数使。

其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。

问题2：

如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？

2.两向量的夹角与垂直：

:

我们规定：

已知两个非零向量，作，则叫做向量与的夹角。

如果则的