排列组合问题经典题型解析含答案可编辑修改word版文档格式.docx
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（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有
444
A、1284种B、
1284种C、
443
1283种D、
444
CCC
1284
3
3种
6.全员分配问题分组法:
例6.
（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）
A、480种B、240种C、120种D、96种
7.名额分配问题隔板法:
例7：
10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
8.限制条件的分配问题分类法:
例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同
学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
9.多元问题分类法：
元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
例9
（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有
A、210种B、300种C、464种D、600种
（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
10.交叉问题集合法：
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式
n（A⋃B）=n（A）+n（B）-n（A⋂B）
例10.从6名运动员中选出4人参加4×
100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？
11.定位问题优先法：
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；
再排其它的元素。
例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
12.多排问题单排法:
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
例12.
（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）
A、36种B、120种C、720种D、1440种
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共
有（）
A、140种B、80种C、70种D、35种
14.选排问题先取后排:
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.
例14.
（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方
法？
15.部分合条件问题排除法:
在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.
例15.
（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）
A、70种B、64种C、58种D、52种
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）
A、150种B、147种C、144种D、141种
16.圆排问题单排法:
把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：
a1,a2,a3,an;
a2,a3,a4,,an,;
an,a1,,an-1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n
个元素的圆排列数有n!
种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的n-1元素全排列.
n
例16.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
17.可重复的排列求幂法:
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方法.
例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
18.复杂排列组合问题构造模型法:
例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也
不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要
求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:
例20.
（1）30030能被多少个不同偶数整除？
（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？
21.利用对应思想转化法:
对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.
例21.
（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？
（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？
22.全错位排列问题公式法:
全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可
瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：
用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。
把错装的总数为记作f（n）。
假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：
（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f（n-2）种错装法。
（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）份信纸b、c……装入
（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f（n-1）种。
总之在a装入B的错误之下，共有错装法f（n-2）+f（n-1）种。
a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f（n-2）+f（n-1）种错装法，因此:
得到一个递推公式：
f（n）=（n-1）{f（n-1）+f（n-2）}，分别带入n=2、3、4等可推得结果。
也可用迭代法推导出一般公式：
f（n）=n!
（1-1+1-1+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+（-1）n1）
1!
2!
3!
n!
排列组合问题经典题型与通用方法解析版
4
解析：
把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A4=24种，
答案：
D.
除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A2种，不同的排法种数是A5A2=3600
5
种，选B.
656
例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有
B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即
1A5=60种，选B.
25
例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）
先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；
第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×
3×
1=9种填法，选B.
例5.
（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）
先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7
1087
人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C2C1C1=2520种，
选C.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有
A、1284种B、
1284种
C、1283种D、
A.
把四名学生分成3组有C2种方法，再把三组学生分配到三所学校有A3种，故共有C2A3=36种方
4343
法.
说明：
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
A、480种B、240种C、120种D、96种答案：
B.
10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10
9
个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C6=84
种.
因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
8
①若甲乙都不参加，则有派遣方案A4种；
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余
学生有A3方法，所以共有3A3；
③若乙参加而甲不参加同理也有3A3种；
④若甲乙都参加，则先安排甲乙，
888
有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A2种，共有7A2方法.所以共有不同的派遣方法总数
88
8888
为A4+3A3+3A3+7A2=4088种.
元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.
按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A5个，A1A1A3,A1A1A3,A1A1A3,A1A3
543333323333
个，合并总计300个,选B
.
（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法
（不计顺序）共有多少种？
被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A={7,14,21,98}共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合
14
记做A={1,2,3,4,,100}共有86个元素；
由此可知，从A中任取2个元素的取法有C2，从A中任取
一个，又从A中任取一个共有C1C1
，两种情形共符合要求的取法有C2+C1C1
=1295种.
将I={1,2,3,100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A={4,8,12,100}；
能被4除余1的数集B={1,5,9,97}，能被4除余2的数集C={2,6,,98}，能被4除余3的数集
D={3,7,11,99}，易见这四个集合中每一个有25个元素；
从A中任取两个数符合要；
从B,D中各取一个数也符合要求；
从C中任取两个数也符合要求；
此外其它取法都不符合要求；
所以符合要求的取法共
有C2+C1C1+C2种.
25252525
设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据
求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
6554
n（I）-n（A）-n（B）+n（A⋂B）=A4-A3-A3+A2=252种.
老师在中间三个位置上选一个有A1种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法；
所以共有A1A4=72
种。
434
6
前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A6=720种，选C.
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A2种，某1个元素排在后半段的四个位
置中选一个有A1种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有A1A2A5=5760种排法.
45
445
例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）
945
解析1：
逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C3-C3-C3=70种,选.C
5454
解析2：
至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：
甲型1台乙型2台；
甲型2台乙型1台；
故不同的取法有C2C1+C1C2=70台,选C.
先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C2种，再排：
在四个盒中每次排3个有A3种，
44
故共有C2A3=144种.
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
解析：
先取男女运动员各2名，有C2C2种，这四名运动员混和双打练习有A2中排法，故共有C2C2A2=120
542
542
正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C4四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C4-12=58个.
10
10个点中任取4个点共有C4种，其中四点共面的有三种情况：
①在四面体的四个面上，每面内四
点共面的情况为C4，四个面共有4C4个；
②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；
③过棱上三点
66
106
与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是C4-4C4-3-6=141种.
把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在
于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：
n!
个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的n1元素全排列.
首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A4种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式24⨯25=768种不同站法.
从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1Am种不同排法.
mn
完成此事共分6步，第一步；
将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：
将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案.
例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C3种方法,所以满足条件
的关灯方案有10种.
一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.
例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法
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