六年级奥数分数百分数应用题初步.docx

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六年级奥数分数百分数应用题初步

第十一讲分数、百分数应用题初步

教学说明：

在课本上此章节应为小学六年级上半学期内容，也是整个小学的重难点，但各各学校的进度不一，有部分学校已经讲解过，在我们奥数的学习进度中也必须提前有所了解，所以教师在讲解时侧重于基础知识的理解应用提高，同时兼顾本班孩子的进度，进行适当补充，为我们以后的工程问题、经济浓度等问题打好基础！

我们将“列方程解应用题”放在此讲之前，意在让学生多一种解决分数、百分数应用题的方法，增加他们的信心，但主体仍以算术方法为主，碰到个别例题教师可讲述方程思路.

古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：

“他生命的六分之一是幸福的童年．再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一．再过了五年，他幸福地得到了一个儿子．可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半．儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”．你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？

多少岁结的婚吗？

怎么样？

你能根据大数学家丢番图的叙述找到答案么？

呵呵！

学习了今天的知识，你就可以在课后解决这个“数学趣题”了！

好了，让我们开始今天的学习吧！

内容概述

在解有关分数的应用题时，首先要弄清以下几个基本问题：

（1）如何求一个数的几分之几（或百分之几）？

求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之几就得到．

例如：

5的24%是多少？

解答：

5×24%=1.2.

（2）如何求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）？

求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个数除以后一个数就得到．

例如：

是的几分之几？

解答：

.

（3）已知一个数的几分之几（或百分之几），如何求这个数？

已知一个数的几分之几，要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之几．

例如：

一个数的等于18，那么这个数等于多少？

解答：

.

分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：

单位“1”，例如a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”．在几个量中，弄清哪一个是单位“1”很重要，否则容易出错误．而百分数应用题中所涉及的百分数，只是分母是100的分数，因而计算的方法和分数应用题是一样的，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系

类型Ⅰ：

单位“1”不变

【例1】（奥数网习题库）（难度系数：

★）六年级男生有50人，女生有40人，

（1）女生人数是男生人数的几分之几？

（2）男生人数比女生人数多百分之几？

（3）女生人数比男生人数少百分之几？

（4）女生比男生少的人数是全班人数的百分之几？

分析：

此题四个问题都是求一个数是另一个数的百分之几，解答的关键是找准单位“1”，要注意帮助学生找一些典型字眼如：

“…的”、“…占…”、“…是…”、“…比…”等.

（1）男生人数为单位“1”，40÷50=4/5；

（2）女生人数为单位“1”，（50-40）÷40=25%；

（3）男生人数为单位“1”，（50-40）÷50=20%；

（4）全班人数为单位“1”，（50-40）÷（50+40）≈11.1%.

【巩固】一个机关精简机构后有工作人员120人，比原来工作人员少40人，精简了百分之几？

分析：

“精简了百分之几”是在说“现在比原来少的人数是原来工作人员的百分之几”单位“1”就是“原来工作人数”，40÷（120+40）=25%.

【例2】

（1）（首师附入学测试题）（难度系数：

★★）小强看一本书，每天看15页，4天后加快进度，又看了全书的，还剩下30页，这本故事书有多少页？

（2）（数学趣题）（难度系数：

★★）古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：

“他生命的六分之一是幸福的童年．再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一．再过了五年，他幸福地得到了一个儿子．可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半．儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”．你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？

多少岁结的婚吗？

分析：

（1）教师可先讲解下题：

小强看一本故事书，每天看20页，5天后还剩下全书的没看，这本故事书有多少页？

分析：

（页）.回到原题：

4天看了15×4=60（页），而60+30=90页占全书的：

1-=，这本故事书有：

90÷=150（页）.

（2）活的岁数：

（岁），结婚年龄：

（岁）.

【例3】（奥数网习题库）（难度系数：

★★★）有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人数增加16人，那么现有男同学多少人？

分析：

男生增加25人，总人数只增加16人，说明女生减少9人，而女生减小5％，故9人对应的为5％，女生原人数为9÷5％=180人．

【例4】（迎春杯刊赛）（难度系数：

★★★）甲、乙、丙三人一起买了八个面包平分着吃，甲拿出五个面包的钱，乙付了三个面包的钱，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出四元钱，问：

甲应收回多少钱?

（以角为单位）

分析：

每人应付个面包的钱，丙拿出的40角就是个面包的钱，所以一个面包的价格应为：

（角），甲多付的钱为：

（角），所以甲应收回35角.

【例5】（奥数网习题库）（难度系数：

★★★）好味多西饼屋推出一款新蛋糕，第一天卖出了全部的20%，第二天卖出了剩下的，第二天比第一天多卖出40个，那么好味多西饼屋这次共推出新蛋糕多少个？

分析：

好味多西饼屋推出新蛋糕个数看作“1”，（个）.

【巩固】（迎春杯决赛）迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56％，如果再生产5040台，总产量就超过计划产量的16％．那么，原计划生产插秧机台．分析：

5400÷（1+16％一56％）=9000（台）.

【例6】（小数报数学竞赛）（难度系数：

★★★）某运输队运一批大米．第一天运走总数的多60袋，第二天运走总数的少60袋．还剩下220袋没有运走。

这批大米原来一共有多少袋？

分析：

可画图帮助学生理解，（220-60+60）÷（1--）=400（袋）．此题也可使用倒推法解决.

【巩固】小强看一本故事书，第一天看了全书的还多21页，第二天看了全书的少6页，还剩172页，这本故事书一共有多少页？

分析：

如右图，

【例7】（奥数网习题库）（难度系数：

★★★）奥数网派出60名选手参加2008年“华罗庚金杯小学数学邀请赛”，其中女选手占．正式比赛时有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的．正式参赛的女选手有多少名？

分析：

因为女选手人数有变化，男选手人数未变，所以抓住男选手人数不变求解．把总人数视为“1”，男选手人数是60×（1-）=45（人），男选手人数占正式参赛选手总数的1-，所以正式参赛选手总数是：

45÷（1-）=55（人），正式参赛的女选手人数是55×=10（人）．

【例8】（小数报数学竞赛初赛）（难度系数：

★★★）甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是86元.在人民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的，乙买一件衬衫花去了人民币16元．这样两人身上所剩的钱正好一样多．问甲、乙两人原先各带了多少钱?

分析：

把甲所带的钱视为单位“1”，那么甲原来带了（元），乙原来带了41元．

类型Ⅱ：

单位“1”变化

【例9】（小数报数学竞赛二试）（难度系数：

★）专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的倍．鸭比鸡少几分之几？

分析：

把鸭看成1，那么鸡就是，鸭比鸡少：

（-1）÷=.（此时的单位“1”是鸡的只数）

【巩固】某校男生比女生多，女生比男生少几分之几？

分析：

男生比女生多，则男生有1+=，女生比男生少÷=.

【例10】

（1）（十一中学入学考试题）（难度系数：

★★）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比元月份增产了还是减产了？

（2）一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？

分析：

（1）一定会有同学认为三月份比元月份不增不减，这对吗？

工厂二月份比元月份增产10％，我们就要将元月份产量看作1，将元月份产量看作1，则二月份产量为：

，三月比二月减产10％，则三月份产量为：

，所以三月份比元月份减产了.

（2）1×（1+15%）×（1-15%）=0.9775＜1，所以现在的价格比原价降低了.

【例11】（迎春杯决赛）（难度系数：

★★）—路铁水凝成铁块，其体积缩小了，那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），其中体积增加了几分之几?

分析：

设铁水的体积为1，则铁块为1-=．现在变回来，那么铁块的体积就要变为单位1，则铁水的体积就为l÷=，故体积增加了：

.

【例12】（07年希望杯培训试题）（难度系数：

★★★）某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的，后来又有20名同学参加大扫除，实际参加的人数是未参加人数的，这个学校有多少人？

分析：

（人）.

【巩固】（迎春杯决赛）（难度系数：

★★★）小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的，第二次运了50块，这时已运来的恰好是没运来的.问还有多少块蜂窝煤没有运来？

分析：

运完第一次后，还剩下没运，再运来50块后，已远来的恰好是没运来的，也就是说没运来的占全部的，所以，第二次运来的50块占全部的：

，全部蜂窝煤有：

（块），没运来的有：

（块）.

【例13】（华杯赛口试）（难度系数：

★★★）一根木杆，第一次截去了全长的，第二次截去所剩木杆的，第三次截去所剩木杆的，第四次截去所剩木杆的，这时量得所剩木杆长为6厘米．问：

木杆原来的长是多少厘米?

分析：

法1：

设木杆原长为1，第一次截后所剩为原长的；第二次截后所剩为×（1一）=；第三次截后所剩为×（1一）=；第四次截后所剩为×（1一）=，即原长的等于6厘米，由部分求整体得：

木杆原长=6÷=6×5=30（厘米）．

法2:

倒推法！

注意单位“1”的不断变化.此法方便学生解答出类似附加8的题目.

【巩固】建筑工地需要一批水泥，从仓库第一次运走全部的，第二次运走余下的，第三次运走（前两次运后）又余下的，这时还剩下15吨水泥没运走．这批水泥共是多少吨？

分析：

法1：

把这批水泥视为单位“1”，第一次远走后所剩为：

，第二次远走后所剩为：

，第二次远走后所剩为：

，即原来的即为15吨，原来有水泥=（吨）

法2:

画线段图帮助分析，依据逆向思路可以得出，最后剩下的15吨对应的是“又余下”的，因此求出“又余下”为60吨，这时60吨对应得恰好是“余下”的，这样可以求出“余下”的吨数为90吨，即全部的，所以原有水泥150吨.

附加题目

【附1】（华杯赛初赛）（难度系数：

★★★）右图是一个园林的规划图，其中，正方形的是草地；圆的是竹林；竹林比草地多占地450平方米．问：

水池占多少平方米?

分析：

把水池的面积作为1个单位，那么草地的面积便是3个单位，而竹林的面积是6个单位。

从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3个单位。

3个单位的面积是450平方米，可见1个单位的面积是450÷3=150（平方米）。

【附2】（迎春杯刊赛）（难度系数：

★★★）村里种了新瓜，男女老少品尝它．小伙每人吃一个，姑娘两人分一瓜；老人一瓜三人吃，四个小孩吃一瓜．男女老少四个组，一共吃了五十瓜，各组人数都相等，每组多少人品尝瓜？

分析：

把各组人数都视为“1”，那么有：

50÷（1+++）=24（人）.

【附3】（北大附中入学测试题）（难度系数：

★★★★）有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的，把这三堆棋子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之几?

分析：

不妨认为第二堆全是黑子，第一堆全是白子，（即将第一堆黑子与第二堆白子互换），第二堆黑子是全部棋子的，同时，又是黑子的1-．所以黑子占全部棋子的÷（1-）=，白子占全部棋子的1-=.

【附4】（小学数学奥林匹克初赛）（难度系数：

★★★★