人口增长模型的确定Word下载.docx
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9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
38.6
50.2
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
62.9
76.0
92.0
106.5
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
1.试用以上数据建立马尔萨斯（Malthus）人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。
2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。
3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。
2、问题分析
针对问题一，题目中已经给出了1790-1980年间美国每隔10年的人口记录，现需建立Malthus人口指数增长模型，拟合实际人口数量。
再根据已建立的模型对接下来的每隔十年预测五次人口数量，最后可以查找1990年、2000年和2010年的实际人口与预测的结果进行比较，对模型进行检验。
针对问题二，由于人口的变化受到多方面因素的影响，所以实际人口往往不是以指数形式增长的，而更可能是增长到一定程度后逐渐趋于平稳的，为此我们可以采用Logistic阻滞增长模型对人口进行预测和分析。
针对问题三，可以查阅到与表1同时期的中国人口数据，然后用再用Malthus模型和Logistic模型对中国人口进行预测，并与实际人口数据进行对比，寻找一种更适合中国人口预测的模型。
三、问题假设
1、假设不会发生大的灾难或疾病使人口数量急剧减少；
2、假设政策对生育率不进行干预；
3、假设人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育与死亡，且每个个体具有同样的生育能力与死亡率；
4、假设人口数量仅受自然资源与环境条件所限制。
四、变量说明
x（t）
t时刻的人口数量
x0
初始时刻的人口数量
r
人口增长率
xm
自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数量
五、模型建立与求解
5.1模型一的建立与求解
假设x（t）表示t时刻的人口的人口数，且x（t）连续可微。
在Malthus模型中人口的增长率为常数。
人口数量的变化是封闭的，即人口的增长与减少只取决于人口中个体的生育与死亡，且每个个体具有同样的生育率与死亡率。
由假设，由t到
时刻的人口增量为：
于是得
其解为
5.2模型二的建立与求解
由于地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量生命生存所需的条件。
随着人口的增加，自然资源、环境等条件对人口再增长的限制作用越来越明显。
如果在人口较小时，可以把增长率r看成常数，当人口增加到一定数量之后，就应该把r看成随着人口增加而减小的量。
即将增长率r表示为人口x（t）的函数r（x），且r（x）为x的减函数，由此建立logistic模型。
假设r（x）为x的线性函数，即
自然资源与环境所能容纳的最大人口数量为xm，即当
时，人口的增长率为0。
由假设可得
则有，
式（）是一个可分离变量的方程，其解为
六、结果分析
6.1问题一
采用Malthus模型对问题一求解，所得预测结果如图1和表2所示：
图1Malthus模型预测结果
表2Malthus模型预测结果
1990
2000
2010
2020
2030
Malthus预测人口（106）
405.53
502.40
622.41
771.08
955.26
实际人口（106）
248.71
281.42
308.74
由图1可知，在1930年之前，美国的人口可以认为是以指数模型增长的；
而在1930年到1940年之间，人口增长缓慢，这可能是第二次世界大战对美国人口产生了影响；
1940年之后，人口增长逐渐趋于缓慢，不再以指数模型进行增长，这与美国人口的生活观念和生活方式的转变有一定的关系。
由表2可知，Malthus模型的预测结果与实际人口相差很大，这说明Malthus模型并不能用于预测美国人口，因此该模型还需要进一步改进。
6.2问题二
采用Logistic模型对问题二求解，所得预测结果如图2和表3所示：
图1Logistic模型预测结果
表3Logistic模型预测结果
Logistic预测人口（106）
230.91
242.51
252.01
259.66
265.72
由图2可知，从1790年到1980年Logistic模型的预测数据和实际数据基本吻合。
从1990年的预测结果来看，其与实际结果非常相近，只有7.7%的误差。
这说明Logistic模型从一定程度上克服了指数增长的不足，更加符合实际人口增长的速度。
但随着时间的推移，Logistic模型的预测结果与实际结果的差距越来越大，因此这种模型也只适用于对最近几个十年的人口进行预测，如果用来预测更远的未来的人口，还需要考虑更多的不确定因素。
6.3问题三
查阅同时期中国人口数量如下表4所示：
表4中国人口记录表
人口（
）
323.45
341.6
360.7
381
409
412
377
358
368
380
400
423
472
489
518.77
551.67
662.07
825.4
987.0
分别用模型一和模型二的求解，所得预测结果如图3和表5所示：
702.16
732.44
764.20
796.96
831.33
1137.03
1352.09
1606.62
1900.1
2228.6
1135.18
1264.10
1341
由图3发现，由Malthus模型预测1790年-1980年之间的中国人口数量，与实际数据相差很大，在1840-1940年之间，人口增长明显下降，而Logistic模型更加拟合实际人口数量。
八、参考文献
[1]张志涌，杨祖樱.MATLAB教程[M].北京：
北京航空航天大学出版社,2011.
[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模（第三版）习题参考解答[M],北京，高等教育出版社，2002.
[3]齐欢.数学模型方法[M].武汉：
华中理工大学出版社，2005.
[4]谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件[M].北京，清华大学出版社，2005
[5]李工农，阮晓，青徐晨.经济预测与决策及其MATLAB实现[M].北京：
清华大学出版社，2007.
九、附录
程序1
clear
clc
t=1790:
10:
1980;
x（t）=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];
y=log（x（t））;
a=polyfit（t,y,1）
r=a
（1）,x0=exp（a
（2））
t1=1790:
2030;
x1=x0.*exp（r.*t1）;
plot（t,x（t）,'
r'
t1,x1,'
b'
）;
axis（[179020100700]）;
程序2
%定义向量（数组）
x=1790:
y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...
92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5];
plot（x,y,'
*'
x,y）;
%画点，并且画一直线把各点连起来
holdon;
a0=[0.001,1];
%初值
%最重要的函数，第1个参数是函数名（一个同名的m文件定义），第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点
a=lsqcurvefit（'
curvefit_fun2'
a0,x,y）;
disp（['
a='
num2str（a）]）;
%显示结果
%画图检验结果
xi=1790:
2010;
yi=curvefit_fun2（a,xi）;
plot（xi,yi,'
%预测1990年的数据
x1=1990;
y1=curvefit_fun2（a,x1）
%预测2000年的数据
x2=2000;
y2=curvefit_fun2（a,x2）
%预测2010年的数据
x3=2010;
y3=curvefit_fun2（a,x3）
%预测2020年的数据
x4=2020;
y4=curvefit_fun2（a,x4）
%预测2030年的数据
x5=2030;
y5=curvefit_fun2（a,x5）
holdoff
美国人口预测
实际
Logistic
Malthus
相对误差（Malthus）
相对误差（Logistic）
5.59167
-43.37615385
5.16691
6.92733
-30.70433962
2.511132075
6.8354
8.58203
-19.19486111
5.063888889
9.02534
10.63198
-10.74979167
5.986041667
11.88703
13.17159
-2.105348837
7.85248062
15.60494
16.31783
4.574093567
8.743040936
20.39912
20.2156
12.8637931
12.07275862
26.52166
25.04442
20.24070064
15.53611465
34.24477
31.02667
19.62002591
11.28297927
43.83676
38.43787
23.43053785
12.67577689
55.52269
47.61936
24.29354531
11.72863275
76
69.43027
58.99399
22.37632895
8.644381579
92
85.52814
73.08562
20.5591087
7.034630435
103.57255
90.54326
14.98285446
2.748779343
123.08527
112.17094
8.952159091
0.093125
143.38309
138.96472
-5.516112377
-8.870987092
163.66332
172.15862
-14.23929662
-8.602070338
183.12602
213.28139
-18.95225321
-2.133865031
204
201.09536
264.22698
-29.52302941
1.423843137
217.10295
327.34173
-44.5217351
4.148807947
--
230.91488
405.53242
242.50778
502.40017
252.01481
622.4063
259.6639
771.07778
265.7242
955.26175
中国人口预测
中国
301.81471
303.9
6.688913279
6.044210852
314.8293
305.14258
7.836855972
10.67254684
360.75
328.40509
306.78056
8.966018018
14.96034373
342.56629
308.9394
10.08758793
18.91354331
357.33813
311.78408
12.63126406
23.76917359
372.74695
315.5314
9.52743932
23.41470874
388.82021
320.46584
5.626162621
22.21702913
405.58657
326.96015
-7.582644562
13.27316976
423.07592
335.50171
-18.17763128
6.284438547
441.31943
346.72593
-19.92375815
5.780997283
460.34961
361.45825
-21.14463421
4.879407895
480.2004
380.76564
-20.0501
4.80859
500.90718
406.01837
-18.41777305
4.01456974
522.50686
438.96102
-10.70060593
6.999783898
545.03794
481.78915
-11.45970143
1.474611452
518
568.54058
537.22329
-9.756868726
-3.711059846
593.05669
608.56421
-7.502073703
-10.31308753
618.62995
699.70282
6.5612473
-5.684114973
825.42
645.30597
815.04422
21.82089482
1.25703036
987.05
673.13228
959.2922
31.803629
2.812197964
702.1585
1137.03535
732.43636
1352.09174
764.01983
1606.62412
796.96522
831.33125
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